趙佳耀， 黃 丹， 徐業(yè)鵬， 王 磊

(河海大學(xué) 力學(xué)與材料學(xué)院，南京 211100)

1 引 言

目前，我國已建或在建的大型水利工程大多處于地震多發(fā)區(qū)[1]，面對地震的強破壞性和不可預(yù)知性，結(jié)構(gòu)物極易受到損傷破壞并導(dǎo)致水災(zāi)、滑坡和海嘯等災(zāi)害發(fā)生。因而針對水工建筑物系統(tǒng)開展抗震分析非常重要，廣受力學(xué)和相關(guān)工程領(lǐng)域關(guān)注。

在水工建筑中，水體由于地震而產(chǎn)生的動水壓力會顯著影響結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)，不可忽視。20世紀30年代，Westergaard[2]針對水工建筑物中最典型的壩體所受的動水壓力開展研究，并在假設(shè)壩體和地基均為剛性的條件下，提出了垂直壩面動水壓力模型。隨后，眾多學(xué)者對壩面動水壓力問題進行了深入研究。如Zhou等[3]通過振動臺試驗研究了地震引起動水壓力的發(fā)展過程；王忠陽[4]首次采用等效替代方式模擬地震引發(fā)的庫水作用，通過某閘墩模型研究該方法的作用機理，并驗證了試驗方法的可行性與適用性；王銘明等[5,6]通過振動臺上壩體-庫水系統(tǒng)動力模型試驗與數(shù)值計算結(jié)果對比，表明附加質(zhì)量法夸大了庫水對壩體結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)。

隨著數(shù)值方法研究的深入和計算機技術(shù)的發(fā)展，基于數(shù)值模擬開展動水壓力和流固耦合計算成為另一個重要的途徑。如陳懷海等[7]基于級數(shù)展開和線性疊加原理，提出了求解壩面動水壓力的計算方法；Maity等[8]通過有限元離散迭代實現(xiàn)流固界面的相互作用。Zeinizadeh等[9]提出在開口收縮縫中應(yīng)用動水壓力的算法來研究收縮縫水壓力對拱壩的影響。針對工程結(jié)構(gòu)的流固耦合問題，文獻[10，11]對流體-結(jié)構(gòu)-地基相互作用問題開展數(shù)值分析；熊春寶等[12]對地基中的熱-水-力耦合問題進行了研究；Fu等[13]考慮了混凝土面板堆石壩-庫水的耦合效應(yīng)；申躍奎等[14]則基于有限體積法對結(jié)構(gòu)表面流固耦合問題進行了研究。針對壩面動水壓力，邱流潮等[15]分析了地震作用下，拱壩上游壩面動水壓力的影響因素；杜修力等[16,17]提出了一種計算直立壩面上地震動水壓力的時域公式，并研究了動水壓力對壩體地震反應(yīng)的影響。此外，文獻[18-21]基于比例邊界有限元法開展了壩面動水壓力求解和模擬研究。

在已有研究基礎(chǔ)上，本文通過結(jié)合動水壓力和罰函數(shù)耦合算法，在不增加自由度的條件下降低網(wǎng)格精度的要求以提高求解速度，構(gòu)建分析地震作用下庫水-壩體-地基系統(tǒng)動力響應(yīng)的數(shù)值模型和方法，經(jīng)過模型驗證后，應(yīng)用于某重力壩系統(tǒng)動力分析。該模型可全面考慮壩體和地基的彈塑性、壩體-地基間相互作用以及地震動激勵下的非線性動力響應(yīng)。

2 模型和方法

2.1 力學(xué)模型

將庫水受地震作用引起的動力響應(yīng)轉(zhuǎn)化為動水壓力施加于壩體。構(gòu)建庫水-壩體-地基耦合系統(tǒng)的簡化力學(xué)模型如圖1所示。

設(shè)地震作用下結(jié)構(gòu)受到的動水壓力P滿足波動方程：

(1)

式中c為水中聲速，2為拉普拉斯算子。

邊界條件為

S1： 流固耦合面

(2)

S2： 底面

(3)

S3： 無限遠處，采用無反射邊界

(4)

S4： 自由表面處，無壓力作用

P=0

(5)

2.2 流固耦合界面處理

為分析地震作用下庫水-壩體-地基系統(tǒng)的整體動力響應(yīng)，在耦合界面處遵循幾何相容條件以及力平衡條件：

vf=vs=?u/?t|χ，F(xiàn)f+Fs=0

(6，7)

式中vf和vs為耦合界面水流速度和固體材料速度；Ff和Fs為流體和固體結(jié)構(gòu)作用在耦合界面的力。

在數(shù)值模型中引入罰函數(shù)算法處理流固耦合界面，如圖2所示。界面間作用力為

(8)

圖1 庫水-壩-地基力學(xué)模型

式中Z為穿透量，ξ為阻尼系數(shù)。

引入罰函數(shù)算法可在不增加自由度的條件下，與利用顯式積分求解含有慣性項接觸問題時的控制方程協(xié)調(diào)。結(jié)合動水壓力模型和罰函數(shù)耦合算法，可加快計算收斂，在保證計算精度的前提下提高計算效率。

對結(jié)構(gòu)模型進行離散，考慮耦合效應(yīng)的系統(tǒng)運動方程可表示為

(9)

同時，在邊界上滿足：

(10)

式中

(11)

(12)

(13)

(14)

式中S為變換矩陣，將壓力轉(zhuǎn)換為節(jié)點力作用在耦合面上，Re表示計算域。

結(jié)構(gòu)物受地震作用時，阻尼的取值影響到結(jié)構(gòu)物的地震動力響應(yīng)，在分析中，采用Rayleigh 阻尼，其表達式為

C=α·M+β·K

(15)

對于Rayleigh阻尼，其與臨界阻尼的比值為

(16)

通過計算結(jié)構(gòu)物前2階自振頻率ω1和ω2及阻尼比ξ得到待定系數(shù)α和β。

2.3 模型驗證

以文獻[22,23]的庫-水模型試驗為原型，驗證本文計算模型和方法的可行性。模型如圖1所示，長L1=15 m，H=180 m的矩形壩體，右側(cè)水體L2=900 m，此時右側(cè)邊界可近似為無反射邊界，網(wǎng)格共計164700個，網(wǎng)格尺寸大小為1 m。

圖2 耦合方法

與文獻工況一致，地震水平加速度時程曲線采用EI-Centro波，地震波峰值加速度為0.2784g[22,23]，地震加速度從模型底部輸入，壩基為固定端。時間步長取值遵循courant=cΔt/Δx≤1，其中Δt為時間步長，Δx為最小網(wǎng)格尺寸。

3 算例分析

以某混凝土重力壩結(jié)構(gòu)為例，應(yīng)用本文模型和方法分析其地震響應(yīng)。壩高為100 m，壩頂長度為909.26 m。基巖以河湖沼澤相砂巖、泥巖以及含煤底層為主。本文主要研究結(jié)合動水壓力模型與罰函數(shù)流固耦合算法分析庫水-壩體-地基系統(tǒng)的動力響應(yīng)，簡化地基中的軟弱夾層和陡傾破碎帶，整體分析模型如圖5所示。模型邊界從半無限域土體中選取有限域土體作為計算區(qū)域，為消除地震作用下邊界反射對結(jié)構(gòu)物的影響，對模型底部和兩側(cè)設(shè)置粘彈性人工邊界[24]。壩體及地基材料采用

圖3 位移結(jié)果對比

圖4 動水壓力結(jié)果對比

Drucker-Prager準則描述，材料參數(shù)列入表1。

為驗證本文方法對于各類結(jié)構(gòu)的普適性，同時為便于與理論解、試驗和工程實測值對比，對計算結(jié)果進行無量綱化處理。

對壩高與壓力作無量綱化處理，y為高程，h為水深。圖6為計算所得壩面處動水壓力沿高程方向與Westergaard解析解[2,6]的對比?？梢钥闯?，壩面動水壓力分布情況與Westergaard解析解[2,6]吻合很好，且符合實際規(guī)律，表明本方法模擬動水壓力問題的可行性和高精度。

為分析地震作用下動水壓力與庫水自振頻率的關(guān)系，對壩踵處動水壓力進行傅里葉變換，對頻率與壓力作無量綱化處理。圖7結(jié)果表明，在自振頻率附近，壩體受動水壓力影響較大，尤其在一階自振頻率處，壩面上動水壓力出現(xiàn)峰值，其后動水壓力迅速減小，規(guī)律與文獻[6，19]的結(jié)果一致，再次表明本文結(jié)合動水壓力模型和罰函數(shù)耦合算法模擬壩體結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)是可行的。

表1 材料參數(shù)

圖5 庫水-壩體-地基數(shù)值模型

圖6 壩面動水壓力分布

為進一步驗證本文方法對實際庫水-壩體-地基系統(tǒng)動力學(xué)分析的適用性，結(jié)合新豐江水庫實測地震數(shù)據(jù)[25]，對壩體系統(tǒng)動力響應(yīng)進行分析。

壩體地震加速度沿壩高的分布如圖8所示。其中實測值為1967年壩基東西向地震記錄，試驗?zāi)Ｐ捅葹?∶200[25]。本文模擬結(jié)果與大壩實測值和模型試驗值均吻合較好，在壩踵處模擬結(jié)果相對試驗值更接近實測值，進一步驗證了本文模型的可行性和模擬精度。其中，壩體頂部和壩踵處的加速度時程曲線如圖9所示，在地震作用下，壩體頂部水平加速度相對壩踵處放大約7倍，與文獻[25]實測數(shù)據(jù)吻合?？梢姡疚姆椒苓m用于庫-水相互作用下壩體系統(tǒng)抗震動力響應(yīng)，且采用罰函數(shù)描述流固耦合界面，計算效率較高。

為對比靜水壓力和考慮流固耦合動水壓力作用下系統(tǒng)的動力響應(yīng)，取壩頂處的順河向位移時程曲線如圖10(a)所示。在不考慮庫水動態(tài)作用時，位移響應(yīng)峰值為0.0301 m，與考慮動水壓力和耦合情況下的位移峰值0.0539 m相差79%。圖10(b)對比了分別采用庫水-壩體模型與考慮地基影響下的庫水-壩體-地基模型時壩頂位移的時程曲線?？梢钥闯觯紤]地基時振動規(guī)律與庫水-壩體模型一致，但幅值變化較大。對比表明，在地震荷載作用下進行壩體動力分析時，模型考慮動水壓

圖7 壩踵處動水壓力頻響曲線

圖8 最大加速度分布

力與流固耦合以及考慮地基對庫水-壩體系統(tǒng)的影響是必要的。

圖9 壩體加速度時程曲線

圖10 壩頂位移時程曲線比較

4 結(jié) 論

本文結(jié)合動水壓力模型和罰函數(shù)耦合算法，考慮地基和壩體結(jié)構(gòu)的接觸以及邊界效應(yīng)，構(gòu)建了動水壓力和流固耦合作用下的庫水-壩體-地基地震響應(yīng)分析模型與方法。結(jié)論如下。

(1) 結(jié)合動水壓力模型與罰函數(shù)耦合算法可以有效地模擬流體-結(jié)構(gòu)間相互作用，得到的動水壓力作用和動位移與試驗結(jié)果及解析解吻合較好。同時，采用該模型在不增加自由度的同時降低了網(wǎng)格精度要求，加快收斂，可提高計算效率。

(2) 構(gòu)建的計算模型可在時域求解庫水-壩體-地基系統(tǒng)的地震響應(yīng)，壩面動水壓力和壩踵動水壓力頻響曲線規(guī)律均與文獻及實測結(jié)果一致，表明本文模型適用于分析地震作用下的庫水-壩體-地基系統(tǒng)動力響應(yīng)。

(3) 在進行流固耦合作用下的水工結(jié)構(gòu)等地震分析時，考慮動水壓力與流固耦合以及地基對庫水-壩體系統(tǒng)的影響是必要的，本文在流體-結(jié)構(gòu)-基礎(chǔ)系統(tǒng)的地震動力分析方面的思路和措施可供參考。