冉春江， 付 強， 楊海天

(大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系，工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，大連 116024)

1 引 言

盾構(gòu)法是目前穿越江海大型隧道建設(shè)的主要施工方法[1]。作為盾構(gòu)隧道的主要承力結(jié)構(gòu)，管片襯砌的力學(xué)行為直接影響著整個隧道的安全與使用[2]。管片接頭部分是盾構(gòu)管片襯砌環(huán)的薄弱部位，其受力/變形狀態(tài)是設(shè)計中必須計及的重要因素之一[3]，其相關(guān)研究一直受工程界和學(xué)者們關(guān)注[4-9]。

越江海隧道防水設(shè)計尤為重要，防水失效可引起隧道滲漏和隧道不均勻沉降，影響到隧道結(jié)構(gòu)的安全及運營。大量工程實踐表明[10]，盾構(gòu)隧道的滲漏主要發(fā)生在管片接縫處，而接頭張開與錯臺[11]是導(dǎo)致接縫防水性能下降的重要因素[12]。相關(guān)研究表明[11,13]，當(dāng)接頭張開量大于6 mm，或者接頭錯臺量大于8 mm時，接頭抗?jié)B性能會受到較大影響。此外，管片錯臺可導(dǎo)致錯臺處內(nèi)力顯著增加，李宇杰等[11]對已有10 mm縱縫錯臺管片進行三維有限元分析，得到管片錯臺軸力最大增加幅度為281%，彎矩最大增加幅度為275%。

本文從兩方面對接頭張開與錯臺開展研究。

(1) 管片結(jié)構(gòu)計算中常采用梁-彈簧模型，其在接頭處以旋轉(zhuǎn)彈簧模型來等效接頭對管片抗彎剛度的削弱作用[4]，但彈簧等效抗彎剛度的取值一般很難確定[14]，不僅與管片和接頭處螺栓以及襯墊部件的幾何尺寸、材料性質(zhì)、接頭的構(gòu)造形式和螺栓預(yù)緊力等因素有關(guān)，還與接頭處的內(nèi)力存在非線性關(guān)系[4,5,15-17]。這些因素不僅增加了相關(guān)實驗研究的經(jīng)濟與時間成本，也使得目前各種接頭剛度的理論分析模型和經(jīng)驗公式都難免有一定的局限性[1]。本文利用高精度有限元數(shù)值解模擬實驗結(jié)果，借助基于撓度等效的反問題求解，提出了一種確定管片接頭等效抗彎剛度的新方法。另一方面，利用不同軸力-彎矩組合下反演的結(jié)果，建立了基于Kriging代理模型的軸力-彎矩-等效抗彎剛度的非線性關(guān)系，提出了由此關(guān)聯(lián)的管片結(jié)構(gòu)非線性問題的數(shù)值求解方法。

(2) 李宇杰等[11]指出，通過有限元計算得到的錯臺量較一些現(xiàn)場監(jiān)測和室內(nèi)試驗結(jié)果偏小，這可能是由有限元仿真中施工情況模擬不充分所致。而作為影響管片接頭錯臺重要因素[18]的螺栓孔間隙和橡膠襯墊變形，在已有的數(shù)值模型[9,11,19-25]中考慮不夠充分，文獻[19-21]直接將螺栓簡化為梁單元，將橡膠襯墊簡化為法向彈簧單元處理，文獻[9]則將襯墊作為墊片單元處理，文獻[11,22-25]雖然將螺栓和襯墊考慮為三維實體單元，但并沒有考慮螺栓孔間隙和襯墊變形對接頭錯臺的影響。為此本文建立了考慮螺栓/螺栓孔間隙以及橡膠襯墊的三維有限元接觸計算模型，通過數(shù)值分析，著力探討了螺栓間隙及襯墊對管片接頭錯臺的影響。

2 管片接頭等效抗彎剛度的反演模型

本文基于目前模型實驗和數(shù)值仿真中常采用的直管片-接頭模型[4,9,15,26-28]進行研究，如圖1所示。管片一端為固定鉸支座，另一端為可水平移動的鉸支座，兩端施加軸向荷載N,在距兩端a=L/2處施加豎向荷載P。

在梁-彈簧模型中，接頭處的等效抗彎剛度kθ定義為在給定軸向壓力作用下，相鄰管片在接頭處產(chǎn)生單位相對轉(zhuǎn)角所需要的彎矩[4]。

kθ=M/θ

(1)

目前，接頭等效剛度的確定主要有兩類方法,(1) 通過試驗或三維有限元數(shù)值仿真，獲取如圖2所示的接縫轉(zhuǎn)角，或通過張開量計算相應(yīng)的轉(zhuǎn)角，再利用式(1)計算等效抗彎剛度[4,9,27,28]； (2) 通過假定管片接縫處的受力形態(tài)[14,25,29-33]或?qū)⒐芷宇^面的相關(guān)部分簡化為彈簧和剛性板或梁等結(jié)構(gòu)[8,34-36]，利用接頭處的平衡和變形協(xié)調(diào)關(guān)系[5]導(dǎo)出彎矩-轉(zhuǎn)角的關(guān)系，從而得到管片接頭抗彎剛度的顯式或隱式表達。

以上處理方法的優(yōu)點是物理意義明確，便于直接操作，但利用信息比較局部。另一方面，由于接頭處的情況比較復(fù)雜，如何將這些信息有效地等效為與梁-彈簧模型相適應(yīng)的轉(zhuǎn)角是一個值得進一步深入探討的問題。

準(zhǔn)確預(yù)測等效剛度的最主要目的，是為了使梁-彈簧等效模型更有效地等效三維管片-接頭問

圖1 管片接頭受載示意圖

圖2 管片接頭變形示意圖

題的變形和受力分析。為此，本文基于三維管片-接頭模型與梁-彈簧模型的整體撓度等效，建立了一個確定等效抗彎剛度的反問題求解方法。

將圖1所示模型按梁模型等效，管片在接頭處位移(撓度)連續(xù)，接頭處的轉(zhuǎn)角-彎矩關(guān)系為M=PL/2=kθθ(本文限于θ為有限值)，由此可得梁的撓度曲線方程為

(2)

式中x為梁的軸向坐標(biāo)，θ是未知的并與載荷相關(guān)的相對轉(zhuǎn)角。

若將三維管片-接頭有限元分析獲取的位移，作為參數(shù)θ未知的梁彈簧模型的撓度測量信息，則θ的確定可以看作一個參數(shù)辨識反問題，并可通過下列以式(2)為約束條件的優(yōu)化問題求解。

(3)

式中wθ(x,θ)由式(2)給出，w*由三維管片-接頭有限元分析給出。

本文利用ANSYS對圖1的結(jié)構(gòu)進行三維接觸有限元分析，將其相關(guān)結(jié)果作為等效梁彈簧模型的縱向撓度，利用MATLAB軟件中的fminsearch函數(shù)實現(xiàn)式(3)的極小化。θ值確定后，由式(1)計算相應(yīng)的kθ作為管片接頭的等效抗彎剛度。

3 管片接頭的三維接觸有限元模型

圖3為直管片接頭的三維有限元模型，單個直管片的長度為4 m，寬為2 m，厚度為0.7 m。管片主體部分選用8節(jié)點空間六面體單元，螺栓孔和手孔附近采用4節(jié)點四面體單元，六面體單元和四面體單元連接處采用5節(jié)點五面體單元過度；管片部分的有限元模型包含64622個單元和38113個節(jié)點。兩管片間由三顆M36螺栓連接，螺栓有限元模型包含16986個8節(jié)點六面體單元，每個螺栓中間添加了PRETS179預(yù)緊力單元，并通過SLOAD命令施加了150 kN的預(yù)緊力。

圖3 管片和螺栓的有限元網(wǎng)格

兩管片之間，以及管片與螺栓之間存在接觸關(guān)系，如圖4所示。其中A處采用的是面-面接觸單元模擬，用單元高斯積分點來判斷接觸狀態(tài)，接觸類型為粗糙；不考慮螺栓螺紋的影響，螺栓與管片混凝土在B處考慮為綁定接觸；螺栓與螺栓孔壁有2 mm的間隙，在C處螺栓與螺栓孔壁間設(shè)置了接觸單元以處理可能發(fā)生的接觸；由于預(yù)緊力的存在，螺帽與管片之間不會發(fā)生滑移，故D處考慮為綁定接觸。

混凝土管片和螺栓考慮為線彈性材料，彈性模量分別為37.5 GPa和210 GPa，泊松比分別為 0.17 和0.30，建模不考慮管片配筋的影響。

為確保數(shù)值結(jié)果對網(wǎng)格的穩(wěn)定性，將網(wǎng)格數(shù)量加密到原來的兩倍后，以軸力10000 kN和偏心距為4000 kNm試算，兩種網(wǎng)格下中點位移僅相差 2.61%，表明采用的網(wǎng)格尺寸可以保證數(shù)值結(jié)果的穩(wěn)定性。

4 反演結(jié)果及接頭剛度的Kriging代理模型

利用以上反演模型，對164組載荷組合進行等效抗彎剛度預(yù)測。軸力N取10000 kN,20000 kN,30000 kN和40000 kN四組，每組軸力下彎矩M取41組，彎矩=偏心距×軸力，偏心距在-0.4 m～0.4 m 以間隔0.02 m均勻取值。

圖5(a)為不同軸力下等效抗彎剛度-偏心距曲線。圖5(b)為不同軸力下接頭端面張開量隨偏心距的變化，張開量為三維有限元模擬所得的兩個管片接頭端面上的最大張開距離。

從圖5可以看出，(1) 等效抗彎剛度是載荷相關(guān)的。在相同軸力作用下，當(dāng)偏心距小于0.18 m時，彎矩的效應(yīng)很小，整個接縫面幾乎都處于受壓狀態(tài)，因此接頭端面的張開很小，從而導(dǎo)致接頭等>效抗彎剛度變得很大;當(dāng)偏心距大于0.18 m后，隨偏心距的增加，彎矩的效應(yīng)逐漸增強，接縫面張開也隨之增大，從而導(dǎo)致等效抗彎剛度減小。(2) 軸力對等效剛度的反演影響較小，如圖5所示，四條曲線雖然軸力變化很大，但反演得到的接頭剛度變化卻很小，說明等效剛度的變化主要是軸力偏心引起的彎矩所致。

圖4 接觸面

為建立抗彎剛度與載荷之間關(guān)系，本文利用以上164組計算結(jié)果作為測量信息，應(yīng)用DACE工具箱[37]提供的Kriging模型來近似(代理)接頭剛度和接頭張開量與軸力及偏心距(彎矩)之間的近似非線性關(guān)系。Kriging代理模型作為估計方差最小的無偏估計模型，在解決非線性程度較高的問題時較易取得理想的擬合結(jié)果[38]。

所建代理模型的性態(tài)如圖6所示。表1給出了樣本點以外的四種載荷組合下反演的等效剛度與代理模型預(yù)測值之間的比對，表明Kriging 模型代理可提供精度合用的代理預(yù)測。

在后續(xù)的計算分析過程中，若給定接頭處的軸力和彎矩，可通過代理模型便捷地獲取相應(yīng)的接頭抗彎剛度。

圖5 不同軸力下等效剛度和接頭端面張開量隨偏心距變化

5 管片-接頭的非線性分析

借助以上建立的Kriging代理模型，可進行基于梁-非線性彈簧模型的管片襯砌結(jié)構(gòu)的計算分析，計算流程如圖7所示。

取管片截面厚為0.7 m，寬為2.0 m；管片外徑為15.5 m，內(nèi)徑為14.1 m，計算模型包含一環(huán)管片襯砌，由十片管片構(gòu)成；管片材料為C70混凝土，彈性模量取37 GPa，泊松比取0.17，密度取2300 kg/m3；載荷采用水土合算，水深為80 m，埋深為40 m；土層容重為19600 N/m3；側(cè)壓力系數(shù)為0.65，土層抗力系數(shù)取5000 kN/m3；螺栓預(yù)緊力設(shè)為150 kN。所建代理模型包含了算例中軸力和偏心距的變化范圍。

三維管片-螺栓-接觸有限元計算所得管片位移云圖如圖8所示?？梢钥闯?，管片環(huán)變形最大的地方在襯砌底部和頂部，其次是襯砌的兩側(cè)，變形最小的地方在襯砌的上下左右45°位置，整個襯砌變形后呈上下壓扁的橢圓形狀。

圖6 代理模型性態(tài)

表1 等效抗彎剛度比較

圖9～圖12分別是梁-非線性彈簧模型計算得到的管片軸力、彎矩、剪力和位移與三維有限元計算結(jié)果的對比，表2是軸力、彎矩、剪力和位移結(jié)果的最大偏差。三維有限元分析的內(nèi)力計算結(jié)果，由相關(guān)截面上的應(yīng)力通過數(shù)值積分得到。

圖7 迭代計算流程

圖8 管片變形云圖(放大系數(shù)：10)

圖9 軸力結(jié)果對比

圖10 彎矩結(jié)果對比

結(jié)果表明,梁-非線性等效彈簧模型所計算的內(nèi)力和變形與三維管片接觸有限元模型的計算結(jié)果基本一致，等效效果良好。在0°，90°，180°和270°個別位置處兩者偏差較大，一方面是用一維模型來近似三維模型會有一定的誤差，雖然用非線性接頭彈簧考慮了接頭對管片剛度的削弱作用，但并不能完全考慮手孔和螺栓孔等部件的影響；另外，三維結(jié)構(gòu)的內(nèi)力是由相關(guān)截面上的應(yīng)力通過數(shù)值積分等效的，會產(chǎn)生數(shù)值誤差。

6 基于三維接觸有限元計算的管片錯臺分析

6.1 三維數(shù)值計算模型

參照原型實驗[39]，管片尺寸取為667 mm×700 mm×2000 mm，管片兩端約束條件為簡支，采用1/3幅寬進行數(shù)值模擬。以順剪的形式加載，如圖13所示。軸力N取2000 kN，剪力Q取2000 kN，斜螺栓預(yù)緊力取100 MPa。

圖11 剪力結(jié)果對比

圖12 位移結(jié)果對比

表2 兩種算法計算結(jié)果最大偏差對比

斜螺栓采用M30螺栓，考慮到螺栓與螺栓孔之間存在間隙，根據(jù)《盾構(gòu)隧道管片設(shè)計》[40]，M30螺栓孔直徑可取范圍為35 mm～38 mm，本文取36 mm，襯墊厚度取3 mm。

螺栓側(cè)面分為含螺紋部分與不含螺紋的光滑部分，如圖14所示。含螺紋部分與管片接觸采用綁定連接，不含螺紋的光滑部分采用法向硬接觸和切向光滑的接觸模式。管片與襯墊之間采用法向硬接觸和切向摩擦的接觸模式。

計算模型中包含管片、螺栓和襯墊，均采用三維實體單元。管片和襯墊采用四節(jié)點線性四面體單元(C3D4)，斜螺栓采用八節(jié)點線性六面體單元,非協(xié)調(diào)模式(C3D8I)，有限元模型如圖15所示，其中管片和螺栓包含150628個單元，超彈性的襯墊則由程序自適應(yīng)加密網(wǎng)格以降低大變形引起的單元畸變。所采用的計算模型通過網(wǎng)格加密驗證了有限元網(wǎng)格的獨立性。

混凝土與螺栓均采用線彈性材料本構(gòu)模型，本構(gòu)參數(shù)列入表3。

盾構(gòu)隧道管片的軟木橡膠襯墊以橡膠和軟木粉粒為主要原料，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系具有較強的非線性特征[42]。本文采用Mooney-Rivlin一階本構(gòu)模型[43]，如式(4)所示。

圖13 加載方式

圖14 接頭螺栓及管片有限元網(wǎng)格

表3 混凝土與螺栓材料參數(shù)

W=C10(I1-3)+C01(I2-3)

(4)

式中I1和I2為變形張量不變量，

(5)

(6)

λ1，λ2和λ3為主伸長比。本文計算中，以三元乙丙橡膠[44-45]為參考，C10=561 kPa，C01=225 kPa。

6.2 計算結(jié)果與分析

考慮螺栓與螺栓孔壁之間存在間隙，表4為襯墊材料采用線彈性(彈性模量取150 MPa，泊松比取0.32[24])與超彈性本構(gòu)模型所得錯臺量的比較。與線彈性情況相比，襯墊材料為超彈性時的錯臺量增加幅度為111%。

考慮襯墊為超彈性材料，表5給出螺栓孔間隙對接頭錯臺量的影響，與不考慮情形相比，增加幅度為197%。螺栓孔間隙的存在，使得受載時螺栓與孔壁接觸需要一個過程，在此期間螺栓的不完全參與會導(dǎo)致錯臺量的增加。圖15給出了加載過程中接頭錯臺量的變化歷程，圖16給出了A,B和C三個時刻螺栓與螺栓孔壁間的接觸情況，可以看出，接頭錯臺主要發(fā)生在A-B和 B -C 階段，總計達到了 6.78 mm，這兩個階段是螺栓與兩邊的螺栓孔壁接觸的過程；C-D階段產(chǎn)生的錯臺量約為2.24 mm，與不考慮螺栓孔間隙時的錯臺量相當(dāng)，此時螺栓與螺栓孔壁已經(jīng)完全接觸，這部分錯臺主要由螺栓、管片和襯墊的變形產(chǎn)生。

表4 襯墊本構(gòu)模型對錯臺量的影響

表5 螺栓孔間隙對接頭錯臺的影響

圖15 接頭錯臺量變化歷程

綜上可以看出，螺栓孔間隙和橡膠襯墊本構(gòu)關(guān)系對管片縱縫錯臺量有著顯著影響。

以上計算中的摩擦系數(shù)根據(jù)文獻[41]取0.3，當(dāng)摩擦系數(shù)取為0.4和0.5時，得到的最大錯臺量分別為8.91 mm和7.62 mm，表明摩擦系數(shù)對錯臺量也有影響，但影響較小。

圖16 不同加載時刻螺栓接觸情況

7 結(jié) 論

首先，本文提出了一種以三維接觸有限元模擬結(jié)果作為測量信息，借助基于撓度等效的反問題求解確定管片接頭等效抗彎剛度的方法；利用所提方法，通過不同軸力-偏心距組合下的反演結(jié)果，建立基于Kriging代理模型的軸力-彎矩-等效抗彎剛度的非線性關(guān)系，并提出了一個由此關(guān)聯(lián)的管片結(jié)構(gòu)非線性問題的數(shù)值求解模型。

準(zhǔn)確預(yù)測等效剛度的主要目的是使梁-彈簧模型更有效地等效三維管片-接頭問題的變形和受力行為。因此,從兩個模型整體的等效效果出發(fā)確定等效抗彎剛度，比利用局部信息更為合理。本文基于這個思路，給出了一種基于整體撓度等效的預(yù)測方法。梁-彈簧模型將管片作為梁處理，是為便捷計算的一種近似，為更準(zhǔn)確地描述管片的力學(xué)特性，還可考慮基于殼模型的等效方法研究。

管片接頭等效抗彎剛度是載荷相關(guān)的[4,5,15-17]，由于實際問題中截面載荷是預(yù)先未知的，這種相關(guān)性導(dǎo)致了結(jié)構(gòu)分析的非線性。利用基于代理模型的載荷-等效抗彎剛度的非線性關(guān)系，可方便地預(yù)測不同載荷下接頭的等效抗彎剛度，因而可將此非線性關(guān)系用于管片襯砌的非線性分析。與三維有限元結(jié)果相比，所提管片結(jié)構(gòu)非線性計算模型可較為準(zhǔn)確地預(yù)測管片結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形，表現(xiàn)出良好的整體等效性。

其次，本文建立了考慮螺栓孔間隙和橡膠襯墊超彈性本構(gòu)的三維有限元接觸計算模型，著力探討了螺栓孔間隙與襯墊本構(gòu)關(guān)系對管片縱向錯臺量的影響。

就數(shù)值結(jié)果而言，本文錯臺量計算值與文獻[39]同尺度同載荷無襯墊錯臺實驗結(jié)果10 mm很接近。文獻[11]在總結(jié)一些文獻后曾指出，一些有限元模擬計算得到的錯臺量約為1.5 mm，而現(xiàn)場觀測與室內(nèi)試驗的結(jié)果約為10 mm。由于研究的具體問題/模型不同，數(shù)值結(jié)果相近的原因需進一步深入分析。但從本文數(shù)值模擬的結(jié)果來看，在管片縱縫錯臺的研究中需充分考慮螺栓孔間隙和襯墊本構(gòu)模型的影響。