潘俊堯?袁俊麗

摘要：通過分析幾道美國高中生數(shù)學(xué)作業(yè)題目，我們發(fā)現(xiàn)美國高中數(shù)學(xué)教育具有知識(shí)覆蓋廣和訓(xùn)練維度高這兩個(gè)特點(diǎn)并結(jié)合當(dāng)今數(shù)學(xué)發(fā)展趨勢潮流來闡釋這兩個(gè)特點(diǎn)的重要性與必要性。這為我國進(jìn)一步深化數(shù)學(xué)教育改革提供了一些有意義的參考。

關(guān)鍵詞：美國數(shù)學(xué)教育;數(shù)學(xué)教育改革

一、美國數(shù)學(xué)教育特點(diǎn)

美國作為世界頭號(hào)數(shù)學(xué)強(qiáng)國，他們的數(shù)學(xué)教育思想與方法是值得我們借鑒推廣的，國內(nèi)也有很多數(shù)學(xué)教育工作者從事相關(guān)研究，如文獻(xiàn)[1-3]。我們在生活中遇到了幾道典型的美國高中生作業(yè)題目，發(fā)現(xiàn)這些題目恰好反映出美國數(shù)學(xué)教育的兩個(gè)特點(diǎn)。同時(shí)，這幾道題目也為其他數(shù)學(xué)教育工作者進(jìn)一步深入思考提供了很好的范例。

1.設(shè)n為一個(gè)大于1的整數(shù)。如果集合中有小于個(gè)素?cái)?shù)對于任意正整數(shù)系數(shù)首1多項(xiàng)式恒成立，那么稱n為“混亂”整數(shù)。存在有限個(gè)“混亂”整數(shù)嗎？

2.給定一個(gè)n×n棋盤（n為正整數(shù)），棋盤上有若干個(gè)棋子。在一次操作中，任意棋子可以吃掉同行或同列的另一個(gè)棋子（吃掉指拿掉另一個(gè)棋子并挪至其所在位置），如此操作至不能操作為止。

（1）設(shè)計(jì)一個(gè)的算法并計(jì)算最多的操作次數(shù);

（2）設(shè)計(jì)一個(gè)的算法并計(jì)算最少的操作次數(shù)。

3.如下三條規(guī)則可以添加在字符串任何位置，也可以把它從字符串中刪掉，規(guī)則如下：

（i）AA（ii）BBB（iii）ABAB。例如，AB→ABAA→ ABABBBA→BBA。

（1）這三條規(guī)則為什么不能把BA變?yōu)锳B？

（2）證明任意字符串通過這三條規(guī)則可以變?yōu)椋嚎兆?，A，B，BB，AB，ABB中的某一個(gè)。

4.對一個(gè)固定的加法下的阿貝爾群G，I為有限個(gè)G的子集族。如果族I滿足下面兩點(diǎn)：

（i）若，，那么也在族I之中（ii）任意，有也在族I之中，那么稱I為G—允許族。如果為有限集，那么令A(yù)為包含A的最小G—允許族。

（1）對于每個(gè)Z—允許族，都存在某個(gè)子集A使得A等于該Z—允許族嗎？

（2）描述所有Z—允許族。

（3）對于n=5，6，9， 的允許族有幾個(gè)？

認(rèn)真分析上述題目，我們不難發(fā)現(xiàn)美國高中數(shù)學(xué)教育具有如下兩個(gè)特點(diǎn)：

（1）知識(shí)覆蓋廣：作為美國高中生的作業(yè)題目，它們涉及到了高代、數(shù)論、近世代數(shù)、微積分以及計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域;

（2）訓(xùn)練維度高：以數(shù)論、計(jì)算機(jī)以及群論知識(shí)等不同背景訓(xùn)練學(xué)生發(fā)現(xiàn)總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律的能力。

二、思考與啟發(fā)

當(dāng)今數(shù)學(xué)發(fā)展最顯著的特點(diǎn)就是不同領(lǐng)域的交叉研究，如懷爾斯揭示出橢圓曲線與模形式之間的關(guān)而證明了350年未解的費(fèi)馬大定理;拉佛閣對于任意給定的函數(shù)域建立了其伽羅瓦群表示和與該域相伴的自守型之間的精確聯(lián)系;高爾斯應(yīng)用組合數(shù)學(xué)方法改變了巴拿赫空間幾何全貌、本格林和陶哲軒應(yīng)用組合數(shù)學(xué)方法證明了存在任意長素?cái)?shù)等差數(shù)列這一著名數(shù)論定理;奧昆科夫建立了概率論、代數(shù)表示以及代數(shù)幾何之間的聯(lián)系;文卡特什綜合運(yùn)用數(shù)論、齊次動(dòng)力系統(tǒng)、拓?fù)浼氨硎菊撝R(shí)解決了算術(shù)對象分布方面的著名難題等。

那么數(shù)學(xué)工作者如何才能適應(yīng)21世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的這一顯著特點(diǎn)呢？首先，數(shù)學(xué)工作者本身要掌握豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)、盡可能通曉多個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，否則不具備將不同領(lǐng)域知識(shí)交叉的基礎(chǔ)。其次，數(shù)學(xué)工作者要學(xué)會(huì)從多個(gè)維度審視問題，否則不具備將不同領(lǐng)域知識(shí)交叉的能力。一位數(shù)學(xué)工作者，只有具備這兩點(diǎn)才能適應(yīng)當(dāng)今數(shù)學(xué)發(fā)展的趨勢潮流、有機(jī)會(huì)成為新世紀(jì)的數(shù)學(xué)弄潮兒。

美國高中數(shù)學(xué)教育的知識(shí)量大、覆蓋面廣、訓(xùn)練維度高、訓(xùn)練有深度及技巧的特點(diǎn)恰恰能夠與這一趨勢高度契合，這些特別值得我們深思。

參考文獻(xiàn)：

[1]蔡金法;是是非非：走近美國數(shù)學(xué)教育;數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào);2018年02期

[2]鞏子坤，何聲清，殷文娣，江春蓮;美國數(shù)學(xué)資優(yōu)生教育：是非與評述;數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào);2018年02期

[3]吳有昌;美國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中案例的特點(diǎn)分析;中學(xué)數(shù)學(xué)月刊;2012年06期

作者簡介：潘俊堯（1981.4）男，漢族，吉林省九臺(tái)市，博士研究生，講師，研究方向：代數(shù)組合。