張 晗, 周菊玲, 董翠玲

(新疆師范大學 數(shù)學科學學院, 新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

艾拉姆咖分布是武器裝備維修理論中的常用分布.張月等利用概率密度函數(shù)的變窗核估計方法,討論了艾拉姆咖分布參數(shù)θ的經(jīng)驗Bayes檢驗問題[1].王敏在復合Linex對稱損失下對不同先驗分布的艾拉姆咖分布參數(shù)進行了估計[2].呂佳等討論了當參數(shù)的先驗分布為Gamma分布時,在復合Linex對稱損失下,艾拉姆咖分布的參數(shù)估計并證明其容許性[3].龍兵在定數(shù)截尾數(shù)據(jù)下給出了不同先驗分布的艾拉姆咖分布參數(shù)的Bayes點估計和區(qū)間估計,還討論了在全樣本場合不同損失函數(shù)對參數(shù)估計的影響[4-5].季海波分別在平方損失、二次損失、Linex損失、熵損失、對稱熵損失和平衡損失函數(shù)下研究了k階Erlang分布參數(shù)的Bayes估計問題[6].復合Mlinex損失是金秀巖在Mlinex損失函數(shù)的基礎上定義的一種對稱損失函數(shù)[7].本文基于復合Mlinex對稱損失函數(shù),得到了艾拉姆咖分布在先驗分布為共軛先驗、無信息先驗以及Jeffreys先驗下的Bayes估計,并通過隨機模擬對估計進行了比較.

單參數(shù)艾拉姆咖分布的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為

(1)

其中x>0,且θ>0是參數(shù)

金秀巖提出的復合Mlinex對稱損失函數(shù)[7]形式為

(2)

其中δ為θ的估計.

設X1,X2,…,Xn為來自艾拉姆咖分布總體的一個隨機樣本,則X=(X1,X2,…，Xn)的聯(lián)合概率密度為

(3)

1 參數(shù)θ的Bayes估計

引理1[8]在復合Mlinex對稱損失函數(shù)和模型下,對任一先驗分布π(θ),θ具有唯一的Bayes估計:δ=[E(θc|X)/E(θ-c|X)]1/2c,且估計是容許的.

1.1 共軛先驗下的參數(shù)估計

定理1 設隨機變量X服從艾拉姆咖分布,當參數(shù)θ的先驗分布服從逆伽瑪分布IG(a,b)時,在損失函數(shù)式(2)下,θ具有唯一的Bayes估計

(4)

證明已知參數(shù)θ的先驗分布服從逆伽瑪分布IG(a,b),其密度函數(shù)為

(5)

根據(jù)Bayes公式,由式(3)、(5)可得θ的后驗概率密度函數(shù):

(6)

即θ的后驗概率密度函數(shù)服從逆伽瑪分布IG(2n+a,b+2t).

又因為

(7)

同理

(8)

所以,根據(jù)式(7)、(8)可得θ的唯一Bayes估計

(9)

定理得證.

1.2 無信息先驗下的參數(shù)估計

定理2 設隨機變量X服從艾拉姆咖分布(1),當參數(shù)θ的先驗分布服從無信息先驗時,在損失函數(shù)式(2)下，θ具有唯一的Bayes估計

(10)

證明參數(shù)θ的無信息先驗分布為

π2(θ)=1

(11)

由式(3)、(11)可得θ的后驗密度為

(12)

因此在復合Mlinex損失函數(shù)下,θ的Bayes估計為

(13)

定理得證.

1.3 Jeffreys先驗信息下的參數(shù)估計

定理3 隨機變量服從艾拉姆咖分布(1),當參數(shù)θ的先驗分布服從Jeffreys先驗時,在損失函數(shù)式(2)下，θ具有唯一的Bayes估計

(14)

證明取參數(shù)θ的先驗分布為Jeffreys先驗

(15)

由式(3)、(15)可得θ的后驗密度為

(16)

則在復合Mlinex損失下有

(17)

定理得證.

2 數(shù)值模擬與實證分析

2.1 數(shù)值模擬

利用MATLAB進行數(shù)值模擬,通過Monte-Carlo法產(chǎn)生一組容量n=30的艾拉姆咖分布隨機樣本,根據(jù)不同的先驗分布由定理1、定理2、定理3計算出參數(shù)θ的Bayes估計值.

1) 在復合Mlinex對稱損失下,當參數(shù)θ的先驗分布為逆伽瑪分布時,Bayes估計值如表1和表2.

表1 n=30,θ=1,t=30.1400,a=1時δB的結(jié)果

表2 n=30,θ=1,t=30.1400,b=1時δB時的結(jié)果

觀察表1和表2中的數(shù)據(jù),可以看出在復合Mlinex對稱損失下,當參數(shù)θ的先驗分布為共軛先驗IG(a,b)時,超參數(shù)a,b的取值對參數(shù)θ的估計沒有明顯的影響.

2) 在復合Mlinex對稱損失下,當θ的先驗分布為無信息先驗和Jeffreys先驗時,參數(shù)的Bayes估計值如表3.

表3 n=30,θ=1,t=30.1400時δN、δJ的結(jié)果

根據(jù)表1、2、3中的極差R，可以看出在復合Mlinex對稱損失下,三種先驗分布下參數(shù)θ的Bayes估計值的精確度和穩(wěn)健性沒有明顯的差別；并且c的θ變化對的影響也不明顯.

3) 三種先驗分布下參數(shù)θ的Bayes估計值,如表4所示.

表4 參數(shù)θ的Bayes估計

從表4中可以看出,對于θ的不同取值,三種先驗分布下的估計都是一樣穩(wěn)健的.通過比較,在復合Mlinex對稱損失函數(shù)下,當參數(shù)的先驗分布為共軛先驗時,計算所得的Bayes估計比其他先驗分布下的估計更加精確并且樣本容量越大，估計越接近真值.

為了進一步表明艾拉姆咖分布在復合Mlinex對稱損失函數(shù)下的Bayes估計值更加精確,與其他損失函數(shù)進行對比.下面直接給出兩個結(jié)論:在先驗分布為共軛先驗時，艾拉姆咖分布參數(shù)的Bayes估計在二次損失函數(shù)和熵損失函數(shù)下的表達式為

比較結(jié)果如表5所示.

表5 n=30,θ=1,t=30.1400時復合Mlinex對稱損失、二次損失和熵損失下的Bayes估計

表5說明了先驗分布為共軛先驗時，通過選擇合適的逆伽瑪分布參數(shù)和c的值,艾拉姆咖分布參數(shù)在復合Mlinex對稱損失函數(shù)下的Bayes估計比在二次損失函數(shù)和熵損失函數(shù)下更接近真值.

2.2 實證分析

例1[9]在某型坦克維修過程中,經(jīng)過47次觀察得到基層I級預防性維修二級保養(yǎng)時間的觀測值，如表6所示.

表6 預防性維修二級保養(yǎng)時的實驗統(tǒng)計觀測值

通過文[9]可知, 上述觀測值近似地服從參數(shù)θ=5.46的艾拉姆咖分布.對該數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析, 見表7.

表7 復合Mlinex對稱損失、二次損失和熵損失函數(shù)下的參數(shù)估計

觀察表7可知,在同一損失函數(shù)下,參數(shù)θ的先驗分布為共軛先驗時,Bayes估計更穩(wěn)健.同時數(shù)據(jù)也表明艾拉姆咖分布參數(shù)在復合Mlinex對稱損失函數(shù)下的Bayes估計比在二次損失函數(shù)和熵損失函數(shù)下更精確.

3 總結(jié)

本文主要研究了當艾拉姆咖分布參數(shù)θ的先驗分布為共軛先驗、無信息先驗和Jeffreys先驗時,在復合Mlinex對稱損失函數(shù)下的Bayes估計.數(shù)值模擬的結(jié)果表明,損失函數(shù)中的參數(shù)c不影響θ的估計值；當先驗分布為共軛先驗時,Bayes估計值最接近艾拉姆咖分布的真值.和二次損失和熵損失進行了簡單對比,結(jié)果表明艾拉姆咖分布參數(shù)θ在復合Mlinex對稱損失下的Bayes估計更精確.最后通過實證分析證明了模擬的結(jié)果.