張玥 鄒健

摘?要：本文針對(duì)一個(gè)不定積分的題目進(jìn)行探討，提出5 種計(jì)算方法，分別是湊微分法、正切代換、無(wú)理代換、歐拉代換和雙曲代換。以此引導(dǎo)學(xué)生突破思維的局限性，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和綜合能力。

關(guān)鍵詞：不定積分;湊微分法;發(fā)散思維

不定積分是微積分學(xué)中最基本的概念之一[1]，能正確地計(jì)算不定積分是學(xué)生學(xué)習(xí)微積分學(xué)必須掌握的基本能力之一。與微分計(jì)算相比較，不定積分的計(jì)算方法更靈活多變，有時(shí)計(jì)算結(jié)果形式上也會(huì)不一樣，換句話(huà)說(shuō)就是比較開(kāi)放，而這種開(kāi)放性對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維很有幫助[2]。本文對(duì)課堂教學(xué)中的一道不定積分題目的多種解法展開(kāi)討論，以期培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的能力。

該方法屬于正切代換的方法，通過(guò)正切代換達(dá)到去根號(hào)的目的。該方法與湊微分方法相比，形式固定，只要掌握基本的三角公式、sectdt的積分公式以及輔助直角三角形法，問(wèn)題就能得到解決，所以學(xué)生容易掌握。

該方法屬于無(wú)理代換的方法，與方法2一樣，通過(guò)無(wú)理代換達(dá)到去根號(hào)的目的。但該方法比方法2更直接，只要能夠掌握1t2-a2dt的積分公式，問(wèn)題就能得到解決，所以該方法往往是學(xué)生首選的。

該方法屬于歐拉代換的方法，相比于前三種方法，歐拉代換的方法能將無(wú)理函數(shù)的不定積分直接化為有理函數(shù)的不定積分，雖然代換方法學(xué)生不易接受，但是解題過(guò)程卻是最簡(jiǎn)單的。

該方法屬于雙曲代換的方法。相比于前四種方法，該方法中變換形式的選擇以達(dá)到去根號(hào)的目的來(lái)確定，因而目的明確，容易掌握。通過(guò)與前四種方法的解題過(guò)程相比較，該方法的不定積分求解最易。但是最終求解原不定積分需要計(jì)算sh-1t，對(duì)于基礎(chǔ)較弱的同學(xué)來(lái)說(shuō)，也是有一定困難的。教學(xué)實(shí)踐表明，方法3最易被學(xué)生接受;在教學(xué)中，雖然方法1最先被講解，但是想要找到合適的函數(shù)來(lái)湊微分并不是一件容易的事。通過(guò)這一道不定積分題目的多種解法的講解，可以幫助學(xué)生靈活地掌握知識(shí)之間的聯(lián)系，解放解題思維模式，培養(yǎng)和發(fā)揮創(chuàng)造性。

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2001（第4版）.

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[3]譚香.幾類(lèi)三角函數(shù)有理式不定積分的求法[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018，24：2-3.

項(xiàng)目：安徽工程大學(xué)校級(jí)教學(xué)質(zhì)量提升計(jì)劃項(xiàng)目《大學(xué)數(shù)學(xué)課程中立德樹(shù)人實(shí)現(xiàn)路徑的研究》（項(xiàng)目編號(hào)：2018jyxm68）