胡有林

[摘要]數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵著獨(dú)特而奇異的美，這種美具有鮮明的內(nèi)在性、內(nèi)驅(qū)性、鑒別性、層次性和精神理性，發(fā)現(xiàn)這種美，勢(shì)必為數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)教學(xué)提供一條切實(shí)可行的捷徑。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)美;內(nèi)在性;鑒別性;理性精神

數(shù)學(xué)中處處蘊(yùn)涵著美——形式的美與內(nèi)容的美，獨(dú)立的美與統(tǒng)一的美，這些美反映了一種自然的秩序與規(guī)律，彰顯了人的最深層次的本質(zhì)力量對(duì)象化的外部結(jié)果。

一、數(shù)學(xué)美的內(nèi)在性

在客觀世界紛繁雜蕪的各種變化與現(xiàn)象中，時(shí)刻貫穿、孕育著各種各樣的美。美是雜亂中的秩序，是變化中的規(guī)律。美是客觀世界的本質(zhì)屬性，是引領(lǐng)整個(gè)客觀世界向前發(fā)展的內(nèi)在動(dòng)力。數(shù)學(xué)美作為科學(xué)美的重要方面，就是對(duì)自然界中客觀存在的秩序與規(guī)律從數(shù)與形的角度給予反映和揭示。對(duì)于數(shù)學(xué)美的存在性，可以從兩個(gè)方面來(lái)認(rèn)識(shí)與考察。

首先，客觀世界中處處滲透與體現(xiàn)著數(shù)學(xué)美，數(shù)學(xué)美是對(duì)客觀世界內(nèi)在規(guī)律的反映。對(duì)于數(shù)學(xué)美與客觀世界之間的相互聯(lián)系，古希臘時(shí)期的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就開始著手研究。畢氏學(xué)派在研究音樂(lè)樂(lè)理的諧音與天體運(yùn)行的軌道時(shí)，發(fā)現(xiàn)二者在數(shù)量關(guān)系上都滿足整數(shù)比，從而得出結(jié)論“宇宙間萬(wàn)物的總規(guī)律，其本質(zhì)就是數(shù)的嚴(yán)整性和和諧性”，“美是和諧與比例”。在這樣的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上，畢氏學(xué)派試圖從數(shù)和數(shù)的比例中求得美和美的形式，并終于從五角星形中發(fā)現(xiàn)了“黃金分割”，進(jìn)而得到黃金比。這是數(shù)學(xué)美學(xué)認(rèn)識(shí)史上的一大突破。

其次，溯源于客觀世界的數(shù)學(xué)理論內(nèi)部也充滿著數(shù)學(xué)美。這種美本質(zhì)上間接地表征了客觀世界的固有規(guī)律。古代哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家普洛克拉斯甚至斷言：“哪里有數(shù)，哪里就有美。”的確，數(shù)學(xué)中美的例子可謂俯拾即是。例如，皮亞諾算術(shù)公理系統(tǒng)，就是邏輯結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單美的典范;希爾伯特以非構(gòu)造方法成功解決了代數(shù)不變量理論中的戈丹問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)方法的簡(jiǎn)單美;代數(shù)中的共扼根式、共扼復(fù)數(shù)、對(duì)稱多項(xiàng)式、對(duì)稱矩陣等。幾何中的軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、鏡面對(duì)稱等，都表現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美;運(yùn)算、變換、函數(shù)，這三個(gè)分別隸屬代數(shù)、幾何、分析等不同數(shù)學(xué)分支的重要概念。在集合論建立之后，便可以統(tǒng)一于映射的概念，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一美……

二、數(shù)學(xué)美的理性精神

英國(guó)著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家羅素曾經(jīng)這樣描述過(guò)數(shù)學(xué)的美：“數(shù)學(xué)，如果正確地看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美，正象雕刻的美，是一種冷而嚴(yán)肅的美、這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒(méi)有繪畫或音樂(lè)那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完滿的境地?！绷_素的這番精彩論述以“冷而嚴(yán)肅”“純凈”“崇高”“嚴(yán)格”“完滿的境地”等字眼來(lái)形容數(shù)學(xué)的美，將數(shù)學(xué)美的與眾不同淋漓盡致地展現(xiàn)在人們面前。羅素所指認(rèn)的理性美突出地表現(xiàn)于以下兩個(gè)方面。

第一，數(shù)學(xué)的美是內(nèi)在的美、隱蔽的美、深邃的美。數(shù)學(xué)美是客觀規(guī)律的反映，但這種反映不是像照鏡子那樣直接反映，而是人的能動(dòng)反映，是自然社會(huì)化的結(jié)果，是人的本質(zhì)力量對(duì)象化的結(jié)果。它所反映的不單純是客觀事物，而是融合了人的思維創(chuàng)造。因此，要領(lǐng)悟數(shù)學(xué)美必須透過(guò)，“抽象、枯燥”的符號(hào)、公式及定理等洞察其內(nèi)部的數(shù)學(xué)思想 。

第二，從價(jià)值追求的角度看，數(shù)學(xué)美實(shí)質(zhì)上體現(xiàn)了人的審美精神，這種精神說(shuō)到底是一種理性的精神，恰恰是這種精神，“使得人類的思想得以運(yùn)用到非常完善至美的程度”，即“完滿的境地”;正是這種精神，“從一定程度上影響人類的物質(zhì)、道德和社會(huì)生活，以試圖回答有關(guān)人類自身提出的一些問(wèn)題”;正是這種精神，“使得人們能盡可能地去理解、了解、控制自然，掌握客觀世界的規(guī)律”;正是這種精神，“使人們有可能去探求和確立已經(jīng)獲得的知識(shí)的最深刻的、最完美的學(xué)科內(nèi)涵”，并使之“純凈到崇高的地步”。這是數(shù)學(xué)美固有的獨(dú)特內(nèi)涵。

三、數(shù)學(xué)美的內(nèi)驅(qū)性

對(duì)于數(shù)學(xué)美的追求歷來(lái)是科學(xué)家進(jìn)行發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的重要內(nèi)部驅(qū)動(dòng)力。阿達(dá)瑪與彭加勒都曾從心理學(xué)角度闡釋美與發(fā)明創(chuàng)造之間的關(guān)系。他們認(rèn)為，創(chuàng)造的本質(zhì)就是做出選擇，就是要拋棄不合適的方案，保留合適的方案，而支配這種選擇的正是科學(xué)美感。數(shù)學(xué)史的研究表明，希臘幾何學(xué)家之所以研究橢圓，可以說(shuō)除了美感之外，再?zèng)]有什么其他動(dòng)力了。著名物理學(xué)家麥克斯韋在沒(méi)有任何實(shí)驗(yàn)依據(jù)的情況之下，僅從數(shù)學(xué)美的考慮出發(fā)，將實(shí)驗(yàn)得出的電磁理論方程重新改寫，以求得方程形式上的對(duì)稱優(yōu)美。令人驚異的是，改寫的方程競(jìng)被后來(lái)的實(shí)驗(yàn)證實(shí)了，而且利用方程還可推導(dǎo)出一系列令人陶醉的結(jié)果，電磁理論決定性的一步就這樣跨出了。這不能不讓人相信美的確具有如此巨大的推動(dòng)力與支配力。

人類對(duì)數(shù)學(xué)美的追求也在不斷推動(dòng)整個(gè)數(shù)學(xué)向前發(fā)展，數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史不啻是一部追求數(shù)學(xué)美的前進(jìn)史。比如，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，數(shù)學(xué)家們堅(jiān)持不懈地追求數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性，從而相繼誕生出三部數(shù)學(xué)巨著：歐幾里德的《幾何原本》，羅素與懷德海合著的《數(shù)學(xué)原理》，布爾巴基學(xué)派的《數(shù)學(xué)原本》。再如，出于邏輯簡(jiǎn)單性的考慮，數(shù)學(xué)家們很早就對(duì)歐氏平行公理的自明性和獨(dú)立性產(chǎn)生懷疑，經(jīng)過(guò)幾個(gè)世紀(jì)的研究，最終導(dǎo)致非歐幾何的建立。此外，對(duì)于奇異性的追求也同樣推動(dòng)了數(shù)學(xué)發(fā)展，對(duì)此，哥德爾不完備定理的提出可以說(shuō)是一個(gè)極好的例子，紐曼和耐格爾曾把這一定理稱為“數(shù)學(xué)與邏輯學(xué)發(fā)展史中的里程碑”。

綜上所述， 無(wú)論是對(duì)個(gè)人的創(chuàng)新，還是對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)的整體發(fā)展，數(shù)學(xué)美的推動(dòng)作用都是毋庸質(zhì)疑的。

四、數(shù)學(xué)美的鑒別性

古往今來(lái)的很多數(shù)學(xué)家、科學(xué)家都將數(shù)學(xué)美視作衡量自己或他人研究成果的重要評(píng)價(jià)尺度之一。數(shù)學(xué)美猶如一個(gè)篩子，數(shù)學(xué)家們利用這個(gè)篩子對(duì)理論中的各種因素做總體上的甄別與評(píng)判，剔除丑陋保留美好，力圖最終獲得“美”與“真”的完美統(tǒng)一。

數(shù)學(xué)家與科學(xué)家們之所以如此看重?cái)?shù)學(xué)美，就是因?yàn)閿?shù)學(xué)美的甄別性在一定程度上為該理論的發(fā)展前景作出了預(yù)測(cè)，同時(shí)也在一定程度上為科學(xué)家們的工作指明了方向。如眾所知，概率論的產(chǎn)生始于17世紀(jì)，在當(dāng)時(shí)，由于人們對(duì)概率概念所存有的不同理解，所以建立的理論體系也不完全一樣。在這些理論體系中，最迷人的是前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫建立在公理集合論上的測(cè)度論的概率論。以數(shù)學(xué)美的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)評(píng)價(jià)，柯氏的理論體系，無(wú)疑極大地顯示了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單美與統(tǒng)一美，不僅對(duì)論述無(wú)限隨機(jī)實(shí)驗(yàn)序列或一般的隨機(jī)過(guò)程給出了足夠的邏輯基礎(chǔ)，而且應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)學(xué)也很方便。歷史的發(fā)展充分地證明了，在這些理論中，惟有柯氏的概率論不斷得到進(jìn)一步發(fā)展，而且后來(lái)還產(chǎn)生了不少新的分支。正如Nobel物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者狄拉克所言：“一種理論如果是正確的，它就應(yīng)該是美的，一種美的理論有普適性，它有能力預(yù)言、解釋、提供范例，可用它來(lái)進(jìn)行工作，因而數(shù)學(xué)美能激起人們的熱情，對(duì)它的追求就好像是一種信仰行為……數(shù)學(xué)美是對(duì)理論具有決定取舍作用的一個(gè)準(zhǔn)則。”

五、數(shù)學(xué)美的層次性

根據(jù)前面的分析，數(shù)學(xué)美的本質(zhì)體現(xiàn)在兩個(gè)發(fā)方面，它既是一種客觀世界的本質(zhì)屬性，又是人對(duì)于這種本質(zhì)屬性的主觀認(rèn)識(shí)與感受，且二者之間是辯證的融合。從本質(zhì)上說(shuō)，這種美的層次性特征既表達(dá)了客體美對(duì)人的感官、思維的沖擊上的層次差異性，又體現(xiàn)了個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)美的主觀認(rèn)識(shí)上的階段性與發(fā)展性。張猷宙和木振武兩位教授可謂對(duì)這一課題做了獨(dú)特而深入的研究，他們結(jié)合數(shù)學(xué)美育，從主觀認(rèn)識(shí)與客觀反映之間辨證聯(lián)系的角度出發(fā)，提出了數(shù)學(xué)美的四個(gè)層次：美觀、美好、美妙、完美，并以此為基點(diǎn)，探究?jī)?yōu)化課堂教學(xué)的策略與構(gòu)想。

總之，一向被人們認(rèn)為枯燥乏味的數(shù)學(xué)，實(shí)則蘊(yùn)涵著豐富的美，在研究和教學(xué)實(shí)踐中，不斷地尋找數(shù)學(xué)美，無(wú)疑是做好研究和教學(xué)工作的一條重要而有效的路徑。

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