李廣修 (江蘇省無(wú)錫市第一中學(xué) 214031)

數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，我們時(shí)常被告誡不能就題論題，可我們通常仍是難免就題論題．也許是因?yàn)榻虒W(xué)任務(wù)繁重，無(wú)暇多做研究；也許是因?yàn)椴恢绾芜M(jìn)一步探索，無(wú)力深入研究；也許是因?yàn)檫€沒(méi)有認(rèn)識(shí)到經(jīng)常深入地研究一些數(shù)學(xué)題會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生積極影響．

1 統(tǒng)元識(shí)，識(shí)“好題”

實(shí)際上，抓住一些典型數(shù)學(xué)題，尤其是對(duì)一些大型考試中的數(shù)學(xué)題進(jìn)行“解麻雀”，可以促使我們擴(kuò)充個(gè)人的數(shù)學(xué)知識(shí)邊界，加深個(gè)人對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，精進(jìn)數(shù)學(xué)技能，強(qiáng)化應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的意識(shí)，從而達(dá)到“庖丁解牛”的境界，引來(lái)學(xué)生“技蓋至此乎”的感嘆．

之所以選擇大型考試中的題目，是因?yàn)橐话愣源笮涂荚嚹軌蛞哉n程標(biāo)準(zhǔn)為準(zhǔn)繩，從教材中挖掘試題素材；每道試題都有明確的測(cè)量指向，其考查要求具有較好的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性，而且由設(shè)置適當(dāng)情境而提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠有效地考查數(shù)學(xué)的必備知識(shí)、關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)；每道試題都是經(jīng)過(guò)斟酌又斟酌，精挑細(xì)選．特別是大型考試中初識(shí)便讓人耳目一新的試題，可把它作為“追獵”的對(duì)象．所謂的“好題”，就是能生“金蛋”的題：研究它，能促使我們產(chǎn)生好多新的認(rèn)識(shí)，能派生出一些新的問(wèn)題刺激我們進(jìn)一步研究．

這里以2019-2020年度江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研(二)的一道填空題為例，談?wù)勅绾螌?duì)一道數(shù)學(xué)題進(jìn)行深入研究.

此題既綜合了直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系，又綜合了解析幾何、平面幾何、向量、不等式等內(nèi)容，數(shù)形結(jié)合味道特別明顯．這類(lèi)問(wèn)題還是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，是近年高考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)問(wèn)題．

2 立深識(shí)，識(shí)要切

我們?nèi)绻匾韵滤悸纷鞒鲅芯?，便可以讓此題發(fā)揮出小中見(jiàn)大的作用，如此進(jìn)行，也可以舉一反三，觸類(lèi)旁通．

第一步 研究題目意圖

要深入研究數(shù)學(xué)題，首先就要研究題目的意圖．為此，先通過(guò)適當(dāng)?shù)姆绞浇庾x題目的顯性含義，明晰題目的已知條件、求解目標(biāo)以及已知與未知的關(guān)系．就本題而言，要按其敘述一步一步地把圖、式、關(guān)系勾勒出來(lái)，從全局的角度去觀(guān)察，研判圖形結(jié)構(gòu)、量之間的關(guān)鍵關(guān)系，而不是點(diǎn)、線(xiàn)、三角形、四邊形、圓一個(gè)個(gè)看過(guò)去，變?cè)粋€(gè)個(gè)思量，只進(jìn)行孤立分析．要在看題和思考的過(guò)程中，通過(guò)想象各種符號(hào)、對(duì)象、運(yùn)算所構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)，充分發(fā)揮想象的直觀(guān)作用，感知整體，抓住要點(diǎn)與關(guān)鍵，暫不去考慮邏輯細(xì)節(jié)．繼而，要完完全全地把題目解答出來(lái)．在明確了解題切入口、路徑后，要制定詳細(xì)的解題方案并一步不落地執(zhí)行，以檢驗(yàn)解題方案的可行性、優(yōu)劣度．只有通過(guò)這樣切實(shí)的解題實(shí)踐活動(dòng)，才能清楚地知悉完成題目解答所需的知識(shí)、技能、思想方法是哪些，要有怎樣的認(rèn)知過(guò)程，也才能真正明白題目的意圖到底是什么，從而有效地選擇破題之策．

圖1

比如，圖形被完整地畫(huà)出來(lái)后(圖1)，要從整體上看，發(fā)現(xiàn)OMNO1，ON∥O1M，ON是△ABM的中位線(xiàn)，AM=2ON，AO1長(zhǎng)度是3．于是點(diǎn)A是圓O：x2+y2=1與O2：(x-a)2+y2=9的公共點(diǎn)．這樣一來(lái)，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為圓和圓有公共點(diǎn)的問(wèn)題，其解題路徑以向量運(yùn)算或解析幾何為主渠道．至此，這道題的命制意圖就很清楚了：從數(shù)學(xué)內(nèi)部構(gòu)建了一個(gè)關(guān)于兩圓位置關(guān)系的綜合情境，提出了一個(gè)數(shù)與形結(jié)合的問(wèn)題．

第二步 剖析試錯(cuò)原委

反省解題發(fā)生錯(cuò)誤的原委，是條件沒(méi)用全．可以把這樣的解題錯(cuò)誤歸因于審題不細(xì)致，要把它作為一條經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)來(lái)吸?。绻覀?cè)偕钊氲叵胍幌耄瑫?huì)有更多收獲：無(wú)論是在解題還是教學(xué)中，我們總是通過(guò)圖形的性質(zhì)、通過(guò)代數(shù)的整體化來(lái)求解直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系問(wèn)題，很少“硬求”兩圓的交點(diǎn)，而這里竟然就這么做了，好像也只有這么做才行的通．因此，本例又可以作為促進(jìn)我們端正對(duì)數(shù)形結(jié)合的認(rèn)識(shí)的典型例子，它能讓我們認(rèn)識(shí)到解數(shù)學(xué)題既不可完全依賴(lài)數(shù)，也不可完全依賴(lài)形．這些思考也深刻揭示了剖析試錯(cuò)原委的重要價(jià)值．

第三步 探討轉(zhuǎn)化等價(jià)

求證類(lèi)問(wèn)題是證明命題的“必要性”，也就是從已知、定義、公式、定理、公理、運(yùn)算律、運(yùn)算法則出發(fā)，邏輯性地推出結(jié)論．而對(duì)于求解類(lèi)問(wèn)題，不僅要求可以順推，還要求能夠逆推，即求解的結(jié)果要和已知等價(jià)，是充要條件．這就要求在解決問(wèn)題時(shí)，每一步操作都能進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．有時(shí)解答出錯(cuò)，原因就出在轉(zhuǎn)化不等價(jià)．解題的嚴(yán)密性對(duì)數(shù)學(xué)教師來(lái)講是基本素養(yǎng)的體現(xiàn)，也是非常重要的要求．

第四步 探索其他解法

不同解法對(duì)應(yīng)著對(duì)同一問(wèn)題或知識(shí)的不同理解與表征，作為教師，我們多多少少能感受到一題多解對(duì)解題及教學(xué)的作用．下面，我們以此題為例探索其他解法．

首先，可以通過(guò)題目條件的要素探索解法．很明顯，題目中共線(xiàn)的條件較多，而數(shù)乘向量是解決點(diǎn)共線(xiàn)的銳利武器，不妨沿此方向進(jìn)行探索．

其次，可以通過(guò)問(wèn)題的歸類(lèi)尋求通性通法．作為一道數(shù)形結(jié)合問(wèn)題，解析幾何的方法是解決數(shù)形轉(zhuǎn)換的有力工具，順著這條途徑可以獲得如下解法：

除此之外，我們還可以研究本題的各種解法所體現(xiàn)的共同思想、本題和曾經(jīng)解答過(guò)的某些題的共性，研究本題解法的可遷移性以及變式等．

3 再認(rèn)識(shí)，識(shí)升華

由上可知，對(duì)具有一定意蘊(yùn)的數(shù)學(xué)題作深入研究，有利于反思所教、溯本求源、回到產(chǎn)生知識(shí)的起點(diǎn)，溝通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，阻斷知識(shí)的碎片化，跳出題海，抽象出數(shù)學(xué)模式；有利于進(jìn)一步地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想和方法，提升理性思維，促進(jìn)思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展；也有利于培養(yǎng)好奇、好問(wèn)、好思的良好研究習(xí)慣，提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．要做到深入研究，我們就要有自覺(jué)意識(shí)，有獨(dú)立思考意識(shí)、批判意識(shí)，并為此付出持續(xù)努力．

抓初識(shí)是深入研究數(shù)學(xué)題的時(shí)機(jī)，抓“好題”則是深入研究數(shù)學(xué)題的選題標(biāo)準(zhǔn)，標(biāo)準(zhǔn)反映了深入研究的題目應(yīng)是有代表性的思想方法值得學(xué)習(xí)的這一要求．“弱水三千，只取一瓢飲”，單墫博士曾指出[1]：從大洋中舀一瓢水，細(xì)細(xì)品味，就可以知道大洋的成分．當(dāng)然，深入研究數(shù)學(xué)題的哪些方面、研究到什么程度，則應(yīng)量“題”裁衣、量力而行．成熟的、經(jīng)驗(yàn)豐富的教師對(duì)大多數(shù)數(shù)學(xué)題都能“耳熟能詳”，而要深入研究數(shù)學(xué)題，則要注意以理論為指導(dǎo)，還要注意探求已得答案的意義．羅增儒教授曾經(jīng)形象化地指出[2]：解題前的分析如同在黑房間里摸索，而解題后的回顧如同拉開(kāi)了房間的電燈，后者比前者多了很多信息，其中結(jié)論也是已知信息．