韓 聰 (廣東省中山市華僑中學(xué) 528400)

1 問(wèn)題提出

“對(duì)數(shù)”是符號(hào)化的數(shù)學(xué)，因抽象難懂使其成為高中生難以理解的概念之一[1]. 國(guó)外學(xué)者Kastberg認(rèn)為在教學(xué)時(shí)，最難教的概念就是對(duì)數(shù)函數(shù)[2]. 對(duì)數(shù)函數(shù)是高一的內(nèi)容，既然對(duì)數(shù)這么難學(xué)，對(duì)數(shù)函數(shù)如此難教，對(duì)數(shù)函數(shù)內(nèi)容在高考中又高頻出現(xiàn)，那么高一學(xué)生關(guān)于對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)表現(xiàn)如何，在學(xué)習(xí)過(guò)程中存在哪些學(xué)習(xí)困難都是很值得研究的問(wèn)題. 弄清這些問(wèn)題可以更有針對(duì)性地幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)困難，對(duì)教師教學(xué)也有一定的指導(dǎo)作用.

2 研究的設(shè)計(jì)

2.1 研究對(duì)象

在廣東省中山市某中學(xué)高一年級(jí)隨機(jī)選取6個(gè)班的學(xué)生作為研究對(duì)象. 樣本中，男生125人，女生204人；文科166人，理科163人；重點(diǎn)班110人，平行班219人. 受便利樣本的影響，樣本中男女生人數(shù)略有差異，文理科人數(shù)基本持平.

2.2 研究工具

包括測(cè)試卷和問(wèn)卷，其中測(cè)試卷用來(lái)了解學(xué)生對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)表現(xiàn)和學(xué)習(xí)困難，問(wèn)卷主要用來(lái)測(cè)量學(xué)生關(guān)于對(duì)數(shù)函數(shù)的情感態(tài)度.

結(jié)合文獻(xiàn)與《考試大綱》的知識(shí)要求，自編測(cè)試卷[3-5]. 測(cè)試卷從對(duì)數(shù)的概念、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)四個(gè)維度考查學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)內(nèi)容的理解和掌握情況. 在正式測(cè)驗(yàn)前先對(duì)測(cè)試卷進(jìn)行預(yù)測(cè)，并對(duì)測(cè)試題目進(jìn)行修改和完善，形成了最終測(cè)試卷.

問(wèn)卷主要測(cè)量高一學(xué)生學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)所表現(xiàn)的學(xué)習(xí)興趣、自我效能感和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī). 施測(cè)項(xiàng)目共5題，每題采用李克特量表5級(jí)計(jì)分方式，從5(表示“非常符合”)到1(表示“非常不符合”). 得分越高說(shuō)明學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的情感態(tài)度越積極. 題目主要參考了趙聞敏、王中雷等人設(shè)計(jì)的問(wèn)卷[6-7].

本研究共發(fā)放調(diào)查卷329份，收回有效調(diào)查卷共313份，有效率為95.14%.

3 數(shù)據(jù)整理與分析

3.1 測(cè)試卷總體情況

表1呈現(xiàn)了學(xué)生在對(duì)數(shù)函數(shù)內(nèi)容四個(gè)維度上的表現(xiàn). 從表中數(shù)據(jù)可見(jiàn)，高一學(xué)生在對(duì)數(shù)概念和對(duì)數(shù)函數(shù)的概念這兩個(gè)維度得分率較高，對(duì)數(shù)的性質(zhì)其次，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)維度得分率最低. 筆者認(rèn)為，對(duì)數(shù)概念和對(duì)數(shù)函數(shù)概念涉及到的知識(shí)點(diǎn)較少且二者相關(guān)性強(qiáng)，故二者得分率較高；而對(duì)數(shù)的性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)由于涉及知識(shí)點(diǎn)較多，考點(diǎn)較綜合，故學(xué)生掌握較差.

表1 高一學(xué)生在不同維度上的總體表現(xiàn)

3.2 學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的情感態(tài)度分析

學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)較強(qiáng)，自我效能感次之，興趣很低. 學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的情感態(tài)度與對(duì)數(shù)函數(shù)測(cè)試成績(jī)呈顯著正相關(guān)，數(shù)據(jù)詳見(jiàn)表2、表3.

表2 情感態(tài)度、測(cè)試成績(jī)基本情況

表3 情感態(tài)度與學(xué)習(xí)表現(xiàn)之間的相關(guān)分析

**表示在0.01水平(雙側(cè))上顯著相關(guān)

4 結(jié)果分析

4.1 對(duì)數(shù)函數(shù)四個(gè)維度的學(xué)習(xí)表現(xiàn)

(1) 在對(duì)數(shù)概念維度，學(xué)生能解題，但不理解對(duì)數(shù)的概念

超過(guò)93%的高一學(xué)生可以完成指對(duì)互化、知道真數(shù)大于0、能記住兩個(gè)常用結(jié)論“l(fā)ogaa=1，loga1=0(a>0，a≠1)”. 但不能從指數(shù)出發(fā)理解對(duì)數(shù)各要素的含義，也不理解對(duì)數(shù)符號(hào)的意義. 此外，也有學(xué)生混淆三種符號(hào)log,lg和ln.

(2) 在對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)維度，能完成對(duì)數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)算，機(jī)械記憶公式明顯

超過(guò)70%的學(xué)生能運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行基本運(yùn)算，模仿解題. 但當(dāng)題目結(jié)構(gòu)與運(yùn)算法則不同時(shí)，解題正確率則下降至50%，并衍生出各種各樣的錯(cuò)誤“性質(zhì)”. 也就是說(shuō)，將近一半的學(xué)生采取機(jī)械記憶的方式背誦對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，不能從根本上理解對(duì)數(shù)運(yùn)算的本質(zhì).

(3) 在對(duì)數(shù)函數(shù)概念維度，知道對(duì)數(shù)函數(shù)定義域，但會(huì)忽略對(duì)定義域的考察

在對(duì)數(shù)函數(shù)概念維度，有近95%的學(xué)生知道對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，但當(dāng)題目較綜合沒(méi)有直接考察定義域時(shí)，則有26.20%的學(xué)生會(huì)忽略對(duì)定義域的考察.

(4) 在對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)維度，知道對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但分類討論意識(shí)不足

主要體現(xiàn)在當(dāng)?shù)讛?shù)是一個(gè)未知量時(shí)，只有87%左右的學(xué)生意識(shí)到要進(jìn)行分類討論才能判斷單調(diào)性. 在函數(shù)圖象上，有些學(xué)生分不清指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，畫(huà)錯(cuò)圖象，不理解圖象過(guò)定點(diǎn)的含義. 在運(yùn)用圖象和性質(zhì)比較大小問(wèn)題上，有7.35%的學(xué)生不會(huì)比較大小或不會(huì)選擇合適的中間量比較大小.

4.2 學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)出現(xiàn)的學(xué)習(xí)困難

(1)符號(hào)理解困難

數(shù)學(xué)符號(hào)可以分為元素符號(hào)、運(yùn)算符號(hào)、關(guān)系符號(hào)和輔助符號(hào)[8]. 對(duì)數(shù)符號(hào)屬于運(yùn)算符號(hào). 在對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)維度和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)維度的調(diào)查中都顯示學(xué)生在對(duì)數(shù)符號(hào)的理解上存在困難，主要體現(xiàn)在不能將對(duì)數(shù)符號(hào)logab視為一個(gè)整體，看作是一種運(yùn)算，而是將其視為loga和b的乘積關(guān)系，在進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)不等式的求解時(shí)出現(xiàn)將loga看作因式提取或約去的現(xiàn)象.

(2)運(yùn)算性質(zhì)理解困難

學(xué)生在對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用上呈現(xiàn)出機(jī)械模仿的特征，死記硬背公式明顯. 學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的理解僅達(dá)到工具性理解階段，尚未達(dá)到關(guān)系性理解. 可以運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，但還不能解決一些需要較高認(rèn)知水平的題目.

(3)數(shù)學(xué)思想應(yīng)用困難

分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的判斷上離不開(kāi)對(duì)底數(shù)的分類討論. 當(dāng)?shù)讛?shù)是常數(shù)時(shí)，學(xué)生不難判斷函數(shù)的單調(diào)性. 但當(dāng)?shù)讛?shù)是未知數(shù)a時(shí)，則有學(xué)生不知道要對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論才能判斷函數(shù)單調(diào)性.

(4)復(fù)合函數(shù)理解困難

從函數(shù)y=loga(3x-4)圖象過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)，學(xué)生不知道對(duì)數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)型函數(shù)的區(qū)別，不能將函數(shù)y=loga(3x-4)視為對(duì)數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，誤以為對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax圖象與對(duì)數(shù)型函數(shù)y=loga(3x-4)圖象經(jīng)過(guò)相同的定點(diǎn).

4.3 有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)的情感態(tài)度

對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)，高一學(xué)生表現(xiàn)出學(xué)習(xí)興趣不濃，不知道學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)有什么用. 自我效能感也比較低. 盡管學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)較強(qiáng)，但往往是從考試為出發(fā)點(diǎn)，而不是源于對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)應(yīng)用價(jià)值的認(rèn)識(shí). 學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的情感態(tài)度與對(duì)數(shù)函數(shù)測(cè)試成績(jī)呈顯著正相關(guān).

5 教學(xué)建議

(1) 重視概念的形成過(guò)程

“對(duì)數(shù)”是符號(hào)化的數(shù)學(xué)，抽象的符號(hào)定義給學(xué)生的理解帶來(lái)了困難[9].學(xué)生如果不能理清對(duì)數(shù)符號(hào)、底數(shù)、真數(shù)之間的關(guān)系，必將直接影響對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的理解和運(yùn)用，導(dǎo)致數(shù)學(xué)推理的錯(cuò)誤. 因此，教師在對(duì)數(shù)概念教學(xué)時(shí)應(yīng)著重強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)符號(hào)中底數(shù)、真數(shù)的含義，利用好指對(duì)互化，規(guī)范學(xué)生對(duì)數(shù)符號(hào)的書(shū)寫(xiě)，幫助學(xué)生從本質(zhì)上理解對(duì)數(shù)的概念.

(2) 加強(qiáng)對(duì)數(shù)運(yùn)算本質(zhì)的理解，克服負(fù)遷移帶來(lái)的消極影響

遷移是一種心理現(xiàn)象，是一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)所產(chǎn)生的影響. 遷移有正遷移和負(fù)遷移之分. 認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，如果認(rèn)知結(jié)構(gòu)的功能出現(xiàn)偏差或某個(gè)認(rèn)知環(huán)節(jié)有缺陷，便會(huì)出現(xiàn)學(xué)習(xí)中的負(fù)遷移[10]. 對(duì)數(shù)運(yùn)算與四則運(yùn)算的結(jié)構(gòu)不同，學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)符號(hào)的錯(cuò)誤理解導(dǎo)致運(yùn)算性質(zhì)的學(xué)習(xí)出現(xiàn)偏差，得出一些錯(cuò)誤結(jié)論.

(3) 充分利用教材中的閱讀材料

通過(guò)訪談得知，絕大多數(shù)教師并沒(méi)有介紹對(duì)數(shù)的發(fā)展歷史及其在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用，學(xué)生也沒(méi)有閱讀教材中關(guān)于對(duì)數(shù)歷史的閱讀材料. 也就是說(shuō)學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用一無(wú)所知，完全感受不到引入對(duì)數(shù)的必要性. 這種情況下學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)，學(xué)生無(wú)疑會(huì)覺(jué)得非常突兀. 筆者認(rèn)為教師在教學(xué)中應(yīng)向?qū)W生介紹對(duì)數(shù)的發(fā)展史，或引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)教材中的閱讀材料，充分體會(huì)引入對(duì)數(shù)的必要性.

附錄一 測(cè)試卷

1. (7分)把3a=b改寫(xiě)為對(duì)數(shù)式；把改寫(xiě)為指數(shù)式.

2. (7分)使對(duì)數(shù)loga(4-a)有意義的實(shí)數(shù)a的取值范圍是

( )

A．a(chǎn)<4 B．0

C．a(chǎn)>0,且a≠1 D．0

3. (7分)已知數(shù)log5(log2x)=0，求x的值.

5.計(jì)算((1)、(3)每題7分，(2) 9分):

(1)log354-log38+log34

(2) lg 21g 50+1g 5lg 20-lg 100lg 51g 2

(3) log34×log29

6. (7分)函數(shù)y=log3(3x-2)的定義域?yàn)?

8. (7分)已知lnx

9. (12分)求使不等式loga(x+1)>loga(1-x)成立的x的集合，其中a>0且a≠1.

11. (5分)函數(shù)y=loga(3x-4)圖象過(guò)定點(diǎn).(其中a>0且a≠1)

附錄二 測(cè)試卷