華應(yīng)龍

有很多人認(rèn)為，數(shù)學(xué)之所以難學(xué)，既有數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，也有學(xué)生的原因，更有老師的原因。但筆者認(rèn)為，身為教師更應(yīng)從自身找原因。教師們面對經(jīng)過多位專家編寫、多輪審查的國家教材，就更應(yīng)該有信心把課本上的“一切知識有趣、有效地教給一切人”。這是教師的責(zé)任和使命。

一、數(shù)學(xué)是否真的難學(xué)

很多人都說數(shù)學(xué)難學(xué)，它到底難在哪？真的難學(xué)嗎？筆者認(rèn)為，要回答這一問題教師是關(guān)鍵。作為一名數(shù)學(xué)老師要“手下留情”，有時教師不經(jīng)意的一句話、一個舉動也許會斬斷學(xué)生的奇思妙想。當(dāng)教師讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)難學(xué)了，那數(shù)學(xué)就不是數(shù)學(xué)了。這樣，教師就會“了斷學(xué)生的一門心思”。其實，數(shù)學(xué)并不難學(xué)。

接下來，筆者和大家分享三個案例，看看數(shù)學(xué)是否真的難學(xué)。這三個案例分別是數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的“找次品”、圖形與幾何領(lǐng)域的“角的度量”、統(tǒng)計與概率領(lǐng)域的“游戲公平”。

1.找次品

通過實踐教學(xué)，這節(jié)課的確有一定的難度。那么，它到底難在哪？這節(jié)課最重要的目標(biāo)是什么？為了達成目標(biāo)，教師必須“舍”去什么？經(jīng)過閱讀、思考、推敲，筆者通過以下方式來組織這節(jié)課。

筆者首先出示一組玩蹺蹺板的圖片，然后問學(xué)生：“什么時候把你翹到天上去？”學(xué)生就此開始暢所欲言。接著，筆者和學(xué)生們聊比爾·蓋茨，當(dāng)學(xué)生說“比爾·蓋茨開了一家公司叫微軟”后，筆者追問：“為什么叫微軟？”因為比爾·蓋茨特別喜歡一個中國人叫老子，老子說“上善若水”。最高的善像水一樣，所以硬不好、軟不好，微軟才好。

微軟公司招聘員工時，出過這樣一道題：“假定你有81個乒乓球，其中只有1個球比其他球稍重。如果只能利用沒有砝碼的天平，請問你最少要稱幾次才能保證找到稍重的球？”如果是你去應(yīng)聘，你將如何作答？學(xué)生大概的回答是：80、1、40。筆者讓學(xué)生說說理由，他們說出了各自的道理。學(xué)生們圍繞三個錯誤答案進行交流，讓他們更好地理解了題意。此時，筆者特意幫學(xué)生概括：天平可能平衡，也可能不平衡；重球有可能在左邊、右邊或下邊，這三種情況都有。

對這個問題的研究看似有點難，但其實不難。老子說：“天下難事，必作于易。”筆者問學(xué)生：“你覺得這個問題從幾個球開始思考比較合適？”筆者引導(dǎo)學(xué)生從最簡單的2個球開始研究，只需稱一次就能找到。那3個球最少需要稱幾次才能找到？有學(xué)生說3次，筆者請他進一步說明。后來他說著說著，發(fā)現(xiàn)不對了，原來只需1次。很多的時候，學(xué)生錯著錯著就對了。

筆者指著2個球和3個球的板書說：“同學(xué)們，能提出什么問題嗎？”有學(xué)生說：“怎么球的個數(shù)多了，最少還是一次呀？”經(jīng)過討論，學(xué)生們明白了：原來3個球中，只稱了2個，第3個球是推斷出來的。那么，4個球呢？通過對不同的稱法進行比較，學(xué)生們明白：既然要保證找到，就要從最壞的角度去考慮，最少需要稱2次。有了4個球做鋪墊，那8個球呢？學(xué)生會很自然地得到3次。若是9個球呢？學(xué)生通過分析得知：4、4、1，答案是3次。此時，筆者便問：“還有不同的想法嗎？”有學(xué)生提出3、3、3，稱2次就能保證找到。筆者再請學(xué)生確認(rèn)：最少2次，怎么保證？然后，我指著8個球和9個球的板書說：“同學(xué)們，能提出什么問題嗎？”一石激起千層浪：“9個球2次，8個球怎么3次了？” “球的個數(shù)多了，怎么稱的次數(shù)還少了？”隨之學(xué)生便發(fā)現(xiàn)問題了：8個球，2次就能保證找到。比較不同之后，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)：分成3份比分成2份好。于是，筆者提出了這樣一個問題：“天平幾個盤子？”當(dāng)有學(xué)生狐疑地說“3個”時，筆者接過話頭說：看到天平有三個盤子，高明；用上第三個盤子，就是高手。

再回到81個球，學(xué)生基本都能將其分成“27、27、27”，最少4次就能找到重球。最后揭題“找次品”，即找?guī)讉€有意思的次數(shù)，慢慢來品一品。當(dāng)學(xué)生們品出方法、品出道理時，難題就變簡單了。

此時，筆者再請學(xué)生們誦讀完老子的“道生一，一生二，二生三，三生萬物”后，便說：“同學(xué)們，世上的事物往往都是一分為三的：上、中、下，左、中、右，好、中、差，正數(shù)、負(fù)數(shù)……”學(xué)生齊答：“零?！惫P者說：“質(zhì)數(shù)、合數(shù)”學(xué)生齊答：“1”筆者說：“過去、現(xiàn)在”學(xué)生齊答：“未來?！薄蠹叶奸_心地笑了。

2.角的度量

這節(jié)課是劉堅教授2005年布置給筆者的任務(wù)，上課地點在河南鄭州。

拿到課題時，筆者就思考：①我們讓學(xué)生量了各種各樣的角，學(xué)生感受到了量角的用處了嗎？量角的大小是屠龍之技，還是生活中必不可少的技能？②“角的度量”一課教學(xué)的難點是什么？為什么會有這樣的難點？量角器的結(jié)構(gòu)很復(fù)雜，量角之前先要認(rèn)識量角器，那要認(rèn)識量角器的什么呢？原來只是認(rèn)識中心點、0刻度線、內(nèi)圈外圈刻度，就認(rèn)識這些嗎？還有嗎？怎么認(rèn)識量角器？關(guān)于量角的技能，以往教學(xué)中簡要概括出了“二合一看” “0度刻度線在左邊看外圈，0度刻度線在右邊看內(nèi)圈”等。教師一步一步地教，可到量角時，學(xué)生拿著量角器，轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)去，都不知道把量角器怎么放到角上，遑論讀出度數(shù)了。為什么學(xué)生還是不會量角？③教師的教學(xué)有三個層次：教知識、教方法、教思想。以前我們只是教了量角的知識和技能，那這節(jié)課可教給學(xué)生什么方法？讓其思想有所提升呢？

筆者回憶以前的教學(xué)：沒教之前，學(xué)生怎么量？您看過學(xué)生這么量的嗎？（見1圖），為什么這么量？這使學(xué)生知道量角是要用角對著角來量。問題只是在于學(xué)生不知道量角器上的角在哪，如果能幫學(xué)生認(rèn)識到量角器上的角在哪里，那量角就水到渠成了。原來，我們之前的教學(xué)犯了“只見樹木不見森林”的錯，對“點、線”等局部都有了認(rèn)知，但對組合起來的整個“角”沒有認(rèn)識。

接著，就可以簡單的分享一下這節(jié)課：先后出示三個滑梯（見圖2），教師問學(xué)生：“玩過嗎？想玩哪個？現(xiàn)在呢？”學(xué)生們笑了，笑后是醒悟：第三個滑梯不能玩，第一個滑梯不好玩。再問：“這三個滑梯的不同之處在哪里？”學(xué)生們不約而同地說：“角度不同?！?/p>

圖1 角的度量

圖2 觀察三個滑梯的不同之處

教師接著問學(xué)生：“滑梯的角多大才合適呢？這時就需要量角了。怎么量角？”學(xué)生們興奮地說：“用量角器?！?教師：“會量嗎？” 學(xué)生信心滿滿：“會！”“那就自己量吧！”每次量的時候，都有學(xué)生像圖1那樣量。 于是，筆者便請學(xué)生上臺展示，此時就有學(xué)生質(zhì)疑。筆者先肯定展示的學(xué)生勇于嘗試，再肯定他對準(zhǔn)了零度刻度線，然后肯定他知道量角就是用角對著角，最后還要感謝他帶給大家的思考和啟發(fā)。

現(xiàn)在的問題是量角器上有角嗎？它的角在哪？我讓學(xué)生在量角器上畫90°的角、60°的角、1°的角和156°的角，分別是直角、銳角、單位角、鈍角。學(xué)生們在量角器上看到了若干個大小不同的角，接著筆者便呈現(xiàn)了開口朝向不同的角，這是教材中沒有的，學(xué)生們量得不亦樂乎。

“兒童散學(xué)歸來早，忙趁東風(fēng)放紙鳶?！惫P者組織學(xué)生思考：怎么放風(fēng)箏才是比他人放得高？只要量出風(fēng)箏線和地面所呈的角度即可。筆者再呈現(xiàn)學(xué)生們熟悉的椅子，餐桌邊配的椅子其后背向后傾斜9°，學(xué)習(xí)的椅子其后背向后傾斜8°，沙發(fā)的靠背一般向后傾斜11°。然后，回到開始的問題：滑梯的角多大才合適呢？筆者告訴學(xué)生們：“我請教了三位工程師，滑梯的角在40°到56°之間?！弊詈螅P者帶著學(xué)生回憶測量長度、面積、角度的方法，還用了華羅庚的一句話“數(shù)起源于數(shù)，量起源于量”作為總結(jié)。

這樣去教“角的度量”，才能讓學(xué)習(xí)像呼吸一樣自然。

3.游戲公平

下面是2008年在上海，劉堅教授安排筆者在全國教學(xué)研討會上上的一節(jié)課。這節(jié)課的關(guān)鍵是要不要做實驗？有時不做實驗學(xué)生很清晰，做了實驗，學(xué)生反而糊涂了。鑒于此，筆者就思考：這節(jié)課做什么實驗?zāi)兀康降自趺醋鰧嶒灒?/p>

關(guān)于這節(jié)課，大家一定會回想到尷尬的場面：課上讓學(xué)生拋10次硬幣，學(xué)生拋出了2次正面、8次反面；或9次正面、1次反面。這樣的事件經(jīng)常發(fā)生。小概率事件怎么變成大概率事件了？這是為什么？鑒于此，教師請大家思考：一個硬幣拋1米高和1厘米高，可以同日而語嗎？原來我們只規(guī)定了實驗的次數(shù)，沒有規(guī)定實驗的高度、力度和角度。

結(jié)合剛剛閉幕的北京奧運會，筆者上出了一節(jié)被張奠宙先生高度稱贊的課。只有一張奧運會籃球決賽的門票，筆者和兒子誰去現(xiàn)場看呢？兒子提議拋啤酒瓶蓋來決定：正面朝上，兒子去；反面朝上，爸爸去。筆者問學(xué)生們：“這個方法好不好？”然后，組織學(xué)生把啤酒瓶蓋裝在水杯里拋10次，最大限度地上下甩三次，再記錄。這就是規(guī)定實驗的方法。

學(xué)生的匯報是：5∶5；6∶4；2∶8。試了之后，問題就來了，還有三種不同的答案，怎么辦？有的學(xué)生建議多做幾次，有的學(xué)生建議把組內(nèi)的結(jié)果綜合起來。六大組合計的結(jié)果，都是反面朝上比正面朝上多很多。接著，筆者讓學(xué)生觀察與思考：為什么反面朝上的可能性大？

學(xué)生們的說法各異，筆者笑而不語。其實，筆者笑的目的就是讓學(xué)生思考，到底哪個對？老子說：“不自是，故彰。”筆者受益于李烈校長的指導(dǎo)，課堂上要教師畫龍，學(xué)生點睛。當(dāng)學(xué)生捅破窗戶紙的那一刻，筆者便不說話，給學(xué)生一個原型啟發(fā)就夠了。課件上出示踢毽子的圖片，踢的毽子為什么總是立著？學(xué)生通過觀察與思考之后，馬上明白了：為什么拋啤酒瓶蓋不公平？因為啤酒瓶蓋兩面不均勻，一面重一面輕。那拋什么公平呢？拋硬幣，為什么？因為硬幣兩面均勻。老子說：“反者道之動?！辈痪鶆虻?，才需要用頻率來表達概率。拋完不均勻的，結(jié)論不公平。反過來呢？均勻的，自然就公平。

在實際教學(xué)中，總是有學(xué)生問筆者：“老師，最后籃球誰去看的啊？”他們還在故事里呢！于是，筆者接著講故事，告訴學(xué)生們：“我兒子已經(jīng)上大學(xué)了，他的數(shù)學(xué)學(xué)得特別好，高考150分的數(shù)學(xué)，他考了147分。是復(fù)查時，他把對的，改錯了，否則，滿分150分。我想他一定知道啤酒瓶蓋正面朝上的可能性小，但他自己選擇了正面，有這樣的兒子真好！成人之美，成全別人就是一種美。我遵從兒子定的規(guī)則，請夫人來拋。我夫人一拋，結(jié)果居然是正面朝上。”學(xué)生們驚叫起來：“啊，怎么會啊？”然后，我讓學(xué)生猜測分析。有學(xué)生說：“您夫人喜歡您兒子?！?有學(xué)生說：“您夫人想讓您兒子去看。” 有學(xué)生若有所思地說：“您夫人把反面加重了?！边€有的學(xué)生說：“正面朝上的可能性小，但也是有可能的?！?我笑而不語。當(dāng)學(xué)生們都說了后，筆者問：“想知道為什么嗎？請看屏幕——”

課的最后，回到奧運會上來。筆者說：“拋啤酒瓶蓋，不公平，因為啤酒瓶蓋兩面不均勻；拋硬幣，才公平，所以奧運會上很多比賽都是用硬幣來決定的?！睂W(xué)生們驚訝了：“奧運會怎么可能拋硬幣決定？”錄像呈現(xiàn)奧運會中乒乓球、羽毛球、足球、網(wǎng)球等比賽中，拋硬幣來選擇場地的片段。學(xué)生們信服了，滿足了。

二、數(shù)學(xué)應(yīng)如何教才不難學(xué)

分享完這三節(jié)課，大家是否覺得數(shù)學(xué)真的難學(xué)？那么，怎么教數(shù)學(xué)就不難學(xué)了呢？

1.從教學(xué)內(nèi)容上來說，先深入、再淺出

這三節(jié)課都是先深入，然后再淺出的。

深入，就是明晰這一教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。在設(shè)計“角的度量”一課時，筆者追問出了量角的本質(zhì)，即量角就是用量角器上的角對著要量的角。在思考“找次品”一課時，筆者意識到要從“一分為二”發(fā)展到“一分為三”，天平實際上是有三個盤子的?！坝螒蚬健钡谋澈笫怯矌艈栴}，是一種古典概率，是不需要做實驗的；只有不均勻的，才需要做實驗，去找頻率來近似地表達概率。

淺出，就是要從學(xué)生的生活，從玩耍和游戲展開，就是在講一個故事。“角的度量”是滑滑梯引入的；“找次品”是蹺蹺板引入的，講的是比爾·蓋茨的故事和老子的故事；“游戲公平”講的是觀看奧運會的故事。

認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)，先深入、再淺出，數(shù)學(xué)就不難了。

一位特級教師說：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于自由，而我們的老師卻常常按照現(xiàn)有規(guī)范的知識或規(guī)定去約束兒童思考，并以此為標(biāo)準(zhǔn)去評判對錯。所以，兒童的心思就被套牢在迎合成人們的期待上?！薄皩嶋H上，解決一個問題有很多途徑，只要邏輯上沒問題，在形式上就沒有對錯之分的，但很多教師卻不這樣認(rèn)為。即使錯，有時候也有錯得有道理之說……教師們哪來這樣的視野和胸襟啊？”

另一位特級教師說：“數(shù)學(xué)難在光記住結(jié)果是無法靈活運用的，所以從學(xué)習(xí)方法上而言，不能僅采取記憶的方法。需要從已有知識經(jīng)驗出發(fā)，經(jīng)歷知識生長的過程?！?/p>

由上面兩位特級教師的看法，筆者認(rèn)為：深入，還有一層意思，即需要深入認(rèn)識數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)——思維的體操，要借著數(shù)學(xué)知識，來教會學(xué)生去如何數(shù)學(xué)地思維。

通過筆者近40年的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)歷，發(fā)現(xiàn)了一個規(guī)律：數(shù)學(xué)學(xué)得不好的學(xué)生，都喜歡“死記硬背”，不會動腦筋，因此“積懶成笨”。只去記憶，不去思考，是學(xué)不好數(shù)學(xué)的。

針對思維的體操，怎么淺出呢？那就是“想錯了，更好玩?！?/p>

2.從教學(xué)過程來看，想錯了，更好玩

筆者的教育理念是“化錯教育”。“化錯”是指把課堂教學(xué)中的差錯融化為一種教學(xué)資源，相機融入后續(xù)的教學(xué)過程中，化腐朽為神奇，變“事故”為“故事”。這與我國古代“相生相克、相反相成”等哲學(xué)思想相契合。

化錯的要義是在教學(xué)過程中隨機融入，自然生成，而不是事先刻意安排；敏銳發(fā)現(xiàn)差錯背后的意義，揭示其內(nèi)在的矛盾、張力，巧妙地彰顯其積極意義，而不是簡單地否定學(xué)生的錯誤；充分挖掘并利用差錯資源的多方面價值，培養(yǎng)學(xué)生直面錯誤、超越錯誤的求真人格，讓其學(xué)做真人，將教學(xué)活動引向深入，引向心靈深處，而不僅僅是促進學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展。

對學(xué)生有價值的差錯，筆者會引導(dǎo)學(xué)生鼓起三四次感謝的掌聲。首先，為勇于嘗試，不盲從的堅持；其次，為其有根有據(jù)的說理；再次，為其接納他人觀點后的修正；最后，為其帶給大家思考的貢獻。

從這三節(jié)課例中，大家可以看到，錯誤是學(xué)生自然生成的，有差錯，才有真正的學(xué)習(xí)，才有實質(zhì)性的學(xué)習(xí)活動發(fā)生。有化錯，才有教師期待已久的主動學(xué)習(xí)、獨立思考和創(chuàng)新活動發(fā)生。讓學(xué)生們在錯誤中多飛一會兒，錯著錯著就對了，這會使學(xué)生感受到“化錯就像是在做思想的魔術(shù)”，使他們不再怕錯，進而開啟他們的思維。所以，有化錯的課堂，才有學(xué)生快樂健康地成長。

3.從學(xué)生的角度來講，喜歡了，就不難

筆者一直在教數(shù)學(xué)，也一直在做教學(xué)管理工作，從中筆者深感：不喜歡孩子的人，請不要做老師；不喜歡數(shù)學(xué)的老師，請不要教數(shù)學(xué)；如果任何人都能教的，那一定不是數(shù)學(xué)。古人說：親其師信其道。學(xué)生喜歡某一學(xué)科的老師，那門學(xué)科就一定能學(xué)好，而且會樂此不疲。作為數(shù)學(xué)教師，筆者奉行如下“三段論”。

周國平先生說：“我不想知道你有什么，只想知道你在尋找什么，你就是你所尋找的東西?！惫P者在尋找數(shù)學(xué)，所以筆者就是數(shù)學(xué)。因此，筆者的第一本書取名《我就是數(shù)學(xué)》。“我就是數(shù)學(xué)”的含義是：你若問我喜歡什么？其回答是：“我就是數(shù)學(xué)?！?你若問我能干什么？其回答是：“我就是數(shù)學(xué)?！?你若問我在學(xué)校里是什么？其回答是：“我就是數(shù)學(xué)?！?其實，教師就是他所教學(xué)科的形象大使。你若問我一個人一輩子、一件事，我做的一件事是什么？其回答是：“我就是數(shù)學(xué)?！薄拔揖褪菙?shù)學(xué)”乃是自我安頓、自我鞭策，也是自我期許，既用數(shù)學(xué)修身，也用數(shù)學(xué)育人，還用數(shù)學(xué)立命。

數(shù)學(xué)不只是公式、符號、規(guī)律，還有故事、想象、畫面和無限的可能，一樣地?fù)碛性姾瓦h方。和學(xué)生一起玩數(shù)學(xué)，讓學(xué)生打開思維的翅膀，遨游于數(shù)學(xué)的海洋，感受到“數(shù)學(xué)好玩”了，學(xué)習(xí)自然就不會感到困難。