郜舒竹

【摘? ?要】小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中通常把“乘”的初步認識定位于“加”。事實上，從想法上說，“乘”的認識是先于“加”的，而且二者有本質(zhì)的差異?！俺恕钡南敕ㄖ饕w現(xiàn)為“單位化”的眼光以及運算過程中的“單位轉(zhuǎn)換”。這樣的想法在“數(shù)數(shù)”和“記數(shù)”時，就已經(jīng)出現(xiàn)了。

【關(guān)鍵詞】乘;乘法;運算;計算;單位;單位化;單位轉(zhuǎn)換

小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中，“乘”作為一種運算，其初步認識通常安排在二年級，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“加”的運算后。把“乘”視為“相同加數(shù)求和”，也就是“重復(fù)加（Repeated Addition）”的過程，目的是使加的過程簡化。比如對于“2+2+2”，寫為乘的算式就是“2[×]3”或“3[×]2”。在小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中，普遍認識為：

l乘的初步認識是以加為基礎(chǔ)的;

l乘的本質(zhì)是加;

l乘是加的簡便運算。

事實上，“乘”與“加”這兩種運算存在很大差異?！俺恕钡南敕ú⒎窃从凇凹印?，更不僅僅是加的簡便運算?！俺恕钡南敕ㄔ凇皵?shù)數(shù)（音：shǔ shù）”的過程中就已經(jīng)出現(xiàn)了，而且這樣的想法是先于“加”的。

一、“重復(fù)加”的窘境

美國哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)教授吉斯·德芙林（Keith Devlin）于2008年在社交網(wǎng)站發(fā)文，強烈反對小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中將“乘”定義為重復(fù)加，呼吁“停止重復(fù)加的說法”[1]。德芙林作為數(shù)學(xué)研究者，當然深知“乘”在數(shù)學(xué)中的意義。數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中，這樣的意義是一個不斷進化和演變的過程。

即便是低齡兒童，對于乘法的初步認識，“乘”與“加”的想法也是存在很大差異的。這里所說的“想法（Idea）”不同于通常所說的“算法”和“算理”，算法強調(diào)的是“操作（Manipulation）”和“程序（Procedure）”，學(xué)習(xí)方式是“模仿+練習(xí)”，追求熟練，進而達到“又對又快”?！八憷怼笔撬惴ㄕ_可行的理由或依據(jù)，這樣的理由或依據(jù)追求的是邏輯上的正確，而不是學(xué)生認知過程中的意義生成。想法強調(diào)“意義生成（Sense Making）”，追求的是“理解（Understanding）”。

“乘”作為運算，其意義在小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中，呈現(xiàn)出不斷“進化（Evolution）”的動態(tài)特征。如果在小學(xué)中、低年級對乘運算形成的認識是“重復(fù)加”，那么到高年級學(xué)習(xí)諸如“0.2[×]0.3”或“[12×23]”小數(shù)和分數(shù)的運算，就會出現(xiàn)認知困難，這時的“乘”，已經(jīng)失去了“加”的意義。

數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的一個基本原理是“系統(tǒng)性（Coherence）”，類似于數(shù)學(xué)理論發(fā)展的“繼承性（Permanence）”[2]。在課程或理論體系中，同一內(nèi)容的意義可以在原有基礎(chǔ)上“拓展（Extend）”，但不應(yīng)“自相矛盾（Self Contradiction）”。對“乘”的認識，起初為“是加法”，而后又成為“非加法”，這樣的是非混淆自然違背了課程與教學(xué)的系統(tǒng)性原理。

因此需要研究并挖掘“乘”這一運算相對穩(wěn)定和一致的意義究竟是什么，這樣的意義應(yīng)當能夠貫穿數(shù)學(xué)課程與內(nèi)容的始終。在此基礎(chǔ)上，就可以知道“乘”的認知起點究竟在哪兒。為此，先來探討“乘”與“加”，在想法上的差異。

二、“增加”的兩種眼光

人在日?；顒又袝o意識地使用加或乘的運算，自然數(shù)范圍內(nèi)二者都有“增加”的意義，比如：

l一瓶礦泉水2元，買3瓶，自然而然地使用乘法運算“二三得六”，使2元增加為6元，即“2元[×]3=6元”。

l如果今天是星期四，無須思索就會使用加法運算，想到再過兩天即后天就是星期六，在星期四基礎(chǔ)上增加2天，成為星期六，即“4+2=6”。

也有一些情境，如果看待“增加”的眼光不同，就會使用不同的運算，進而得到不同的結(jié)論。比如：假定有A、B兩種植物，A植物2米高，B植物4米高。若干年后，二者都增高4米，A植物高度變?yōu)?米，B植物高度變?yōu)?米。

如果把“生長”看作一個過程，這個過程應(yīng)當包括三個要素：原有高度、增加高度和當前高度。三者的關(guān)系是“原有高度+增加高度=當前高度”。

從“增加高度”看，兩種植物是相同的，都是在原有基礎(chǔ)上增加了4米，從而使得A植物高度變?yōu)?米，B植物高度變?yōu)?米。用算式表達為：

A植物：2米+4米=6米

B植物：4米+4米=8米

如果此時關(guān)注兩種植物生長的快慢，也就是對“生長速度”進行比較，用不同的眼光，就會出現(xiàn)不同的答案。

用“加”的眼光看，增長后當前高度是“原有”和“增加”高度的和。對于增長速度，如果只考慮“增加”的“米”數(shù)，不考慮原有高度，那么在相同時間內(nèi)，兩種植物“增加”的“米”數(shù)相同，可以說兩種植物，在這段時間內(nèi)增長的快慢是一樣的，也就是增長速度是相同的。

另外一種是用“乘”的眼光，對于增長速度是看“相對于原有高度，增加的幅度”，將增加高度和當前高度的參照標準定位于原有高度，也就是將“單位一”視為“原有高度”，這個“單位一”對于A植物來說是2米，對于B植物來說是4米，二者是不同的。

A植物原有高度是2米，增長了4米，相當于原有高度又重復(fù)出現(xiàn)了“2次”，使得增長后的總高度6米包含了“3次”原有高度，或者說增長后的總高度包含了“3個”原有高度。這里出現(xiàn)的“次”和“個”，指向的單位不再是“1米”，而是“原有高度”。

所謂“乘”的眼光，首先是如何看待“1”，也就是“單位”。前面所說的“3次”或“3個”，可以統(tǒng)稱為“3倍”。A植物增加了原有高度的2倍，增長后的高度是原有高度的3倍。B植物同樣增長了4米，用原有高度4米作為單位一衡量，增長后高度8米是原有高度4米的2倍，都是將“原有高度”視為“單位”，兩種植物的“單位”是不相同的。

在相同時間內(nèi)，A植物高度增長為原來的3倍，即“原有高度[×]3”，也可以寫為“3原有高度”。B植物高度增長為原來的2倍，即“原有高度[×]2”，寫為“2原有高度”。因此用乘的眼光看，可以認為A植物相對于原有高度，比B植物相對于原有高度，增加的幅度更大，因此A植物比B植物增長速度快。

兩種眼光，得到生長速度“既相同又不同”的判斷。從形式邏輯的視角看，如果“相同”為真，那么“不同”為假;如果“不同”為真，那么“相同”為假?！跋嗤迸c“不同”作為相互對立的兩個判斷，不可能同真，也即不可能同時正確。為什么會出現(xiàn)這樣違背邏輯的悖論？

原因就在于推理的大前提不同，由于看待“單位”的眼光不同，比較的對象發(fā)生了變化。如果說兩種植物增長的高度相同，都是4米，前提是將“1米”視為單位，比較的對象是“增加的米數(shù)”，兩種植物增加的米數(shù)都是4米，自然相同。

如果把“原有高度”視為“單位”，比較的對象是“相對于原有高度增加的幅度”，兩種植物就不同了。A植物原有高度是2米，增長高度為4米，這時增加的幅度就成為“2個原有高度”，即“2個2米”。B植物原有高度是4米，增長高度也是4米，增加幅度就成為“1個原有高度”，也就是“1個4米”。正是因為看待單位的眼光變了，也就使得比較對象改變了，因而就出現(xiàn)了相悖的兩個結(jié)論。因此可以說，“乘”的想法始于看待“單位”的眼光的改變。

三、“乘”與單位轉(zhuǎn)換

綜上可以歸納出“加”與“乘”意義上的差異。“加”是保持單位不變的運算，而“乘”是使得單位改變的運算。以A植物為例，用“加”的眼光看，其生長過程為：

l原有高度（2米）+增加高度（4米）=當前高度（6米）

算式中兩個加數(shù)以及運算結(jié)果對應(yīng)的單位都是“米”。原有高度和增加高度兩個加數(shù)可以分別看待，是一種互不影響的并列關(guān)系，也可以看作是相互分離的兩個局部構(gòu)成一個整體的關(guān)系，通常用連接詞“和”表達二者的關(guān)系。

如果用“乘”的眼光看，A植物生長過程可以用算式表示為：

l原有高度（2米）[×]3=當前高度（6米）

這個算式中的因數(shù)“3”的單位不是“米”，而且是不能獨立存在的，與另外一個因數(shù)“原有高度”不是并列的關(guān)系，而是用“個”表達的包含關(guān)系，或用“的”表達的修飾或從屬關(guān)系。比如“3個2米”，其中的“3個”是修飾“2米”的，也可以說“2米的3倍”，其中的“2米”從屬于“3倍”。

因此乘法算式中參與運算的兩個因數(shù)，是相互依賴與制約的關(guān)系。如果把“乘”運算看作“操作（Operation）”，那么兩個因數(shù)各自的角色就分別是“被操作者”和“操作者”，也叫作“被動者（Operant）”和“動者（Operator）”。歷史上，為了區(qū)分乘法運算中的兩個因數(shù)角色的不同，分別稱它們?yōu)椤氨怀藬?shù)（Multiplicand）”和“乘數(shù)（Multiplier）”。

“原有高度（2米）[×]3=當前高度（6米）”中的因數(shù)“3”，對應(yīng)的“1”是前面的因數(shù)“2米”，脫離開前面的因數(shù)，這個“3”就沒有意義，相當于“用3作用于2米”，因此“2米”是被乘數(shù)，“3”是作用于2米的乘數(shù)。乘的運算，就是將原有高度2米這個單位，改變成為6米。這里的6米，既可以看作“6個1米”，也可以看作“1個6米”，但無論如何已經(jīng)失去了“3個2米”的意義。因此，乘在我國歷史上被認為是“以數(shù)生數(shù)”的運算[3]，可以理解為將“2個3米”改變?yōu)椤?個1米”或“1個6米”。

歐洲算術(shù)歷史中，像“2米”這樣表達具體量的數(shù)，也叫作“具體數(shù)（Concrete Number）”，如果把“2米”視為“單位一”，那么“3個2米”中的“3”就叫作“抽象數(shù)（Abstract Number）”。把具體數(shù)對應(yīng)的單位叫作“原始單位（Primary Unit）”，抽象數(shù)對應(yīng)的單位叫作“衍生單位（Derived Unit）”[4]。按照這樣的說法，“乘”運算，其實就是將衍生單位改變?yōu)樵紗挝坏倪^程。

用這樣單位轉(zhuǎn)換的眼光看，任何一個具體數(shù)，也就是以原始單位為單位的數(shù)，都可以用多種眼光看待。比如12個蘋果，如果以“蘋果”為單位是12，表示其中蘊含著12次“1個蘋果”;如果以“12個蘋果”為衍生單位，就是1，表示含有1次“12個蘋果”。如果以“2個蘋果”為衍生單位，12個蘋果就是6，表示含有6次“2個蘋果”。這樣的關(guān)系都可以用乘法算式表達：

l1蘋果[×]12=12蘋果

l12蘋果[×]1=12蘋果

l2蘋果[×]6=12蘋果

單位轉(zhuǎn)換的想法，在認知科學(xué)中叫作“意象圖式轉(zhuǎn)換（Image Schema Transformation）”，具體說就是“一”與“多”的相互轉(zhuǎn)換，可以簡稱為“一多轉(zhuǎn)換（Multiplex-Mass）”[5]。人類活動中，這樣的思維方式十分普遍。比如12個蘋果放滿紙箱，這時眼中的“12個蘋果”就轉(zhuǎn)換為“1箱蘋果”。再比如，遠看很多頭牛，視覺中的“多”在頭腦中自然會成為“一”，也就是頭腦中出現(xiàn)“一群?！钡囊庀蟆?/p>

這樣“一多轉(zhuǎn)換”的思維方式其實是人的一種“認知能力（Cognitive Capacity）”，叫作“單位化（Unitizing）”。這種能力在數(shù)學(xué)認知過程中廣泛應(yīng)用。比如時間單位中的“2時等于120分”，同樣的時間段，用“分”做單位，對應(yīng)的數(shù)是120。用“時”做單位，就轉(zhuǎn)變?yōu)椤?”，其原因就在于將“60分”看作“單位”，命名為“1時”?！皶r”是從“分”這個原始單位衍生而來的衍生單位。同樣道理，長度單位中將“100厘米”視為“單位”，命名為“1米”，“米”就成為相對于原始單位“厘米”的衍生單位?！俺恕弊鳛檫\算的一個重要意義，就是實現(xiàn)這樣的單位轉(zhuǎn)換。

四、“乘”的想法先于“加”

如果把“單位化”以及“單位轉(zhuǎn)換”視為“乘”最初的想法，這樣的想法并非始于加法運算，在“數(shù)數(shù)（Count）”和“記數(shù)（Numerals）”過程中已經(jīng)出現(xiàn)。低齡兒童最初接觸的運算就是“數(shù)數(shù)（Count）”。以數(shù)蘋果為例：

如果從左向右看，數(shù)數(shù)的過程實際是給每個蘋果依次命名的過程：第一、第二、第三……每一個名稱對應(yīng)1個蘋果。到最后數(shù)到“第六”，對應(yīng)的是最右側(cè)的1個蘋果。