趙薇萍

數(shù)學(xué)被稱為“思維的體操”，在數(shù)學(xué)教學(xué)中對學(xué)生的思維訓(xùn)練是必不可少的。思維能力的訓(xùn)練是一種有目的、有計劃、有系統(tǒng)的教育活動。思維訓(xùn)練的主要目的是改善思維品質(zhì)，提高學(xué)生的思維能力。優(yōu)秀的思維品質(zhì)主要包括深刻性、靈活性、獨創(chuàng)性、批判性、敏捷性和系統(tǒng)性等幾個方面。本文就其中的四個方面談?wù)劷虒W(xué)中的幾點嘗試。

一、縱橫勾連，培養(yǎng)思維的系統(tǒng)性

系統(tǒng)性是指思維活動的有序程度，以及整合各類不同信息的能力。數(shù)學(xué)是門系統(tǒng)性很強的學(xué)科。教學(xué)時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生站在系統(tǒng)的高度學(xué)習(xí)知識，注重知識的整體結(jié)構(gòu)，經(jīng)常整理歸納知識。尋找新舊知識的聯(lián)系與區(qū)別，挖掘共性，分離個性，在比較中學(xué)習(xí)新知識。注重知識的縱橫聯(lián)系，在融會貫通中提煉知識，領(lǐng)悟其關(guān)鍵、核心和本質(zhì)。

1.立足基礎(chǔ)，知曉原理。

數(shù)學(xué)的概念、性質(zhì)、定理、公式的得出都有嚴(yán)格的推理論證。教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生在探究新知的過程中理解算理，了解來龍去脈，做到知其然并知其所以然。比如，四年級學(xué)習(xí)乘法分配律，這是重點，也是難點。課本中通過種樹情境來引入，定律的得出依托于具體事例，再通過幾個式子的計算驗證得出定律。教師可以通過乘法意義這個算理來幫助學(xué)生進(jìn)一步理解，如35×3+35×7，理解成3 個35 加7 個35 等于10 個35，寫成35×（3+7）計算比較簡便，也就是把相同加數(shù)的個數(shù)先合起來再乘相同加數(shù)。筆者用這樣的圖示來助推學(xué)生對乘法分配律的理解。

抽離具體情境從算理層面分析學(xué)生就不會生搬硬套定律了。把乘法意義和運算定律聯(lián)系起來，使前后知識產(chǎn)生無縫對接。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時要引導(dǎo)學(xué)生立足基礎(chǔ)，追本溯源，知曉原理，這是培養(yǎng)思維系統(tǒng)性的起點。

2.縱橫勾連，觸類旁通。

每學(xué)習(xí)一個知識點，都要讓學(xué)生知道前因后果，明白知識從哪里來，到哪里去。比如第一學(xué)段學(xué)習(xí)整數(shù)加法的計算方法，學(xué)生知道了要相同數(shù)位上的數(shù)相加就是把計數(shù)單位的個數(shù)相加，接著學(xué)習(xí)小數(shù)加法和分?jǐn)?shù)加法時，教師也要講清算理，讓學(xué)生知道，小數(shù)點對齊就是把相同數(shù)位對齊了再加；分?jǐn)?shù)相加，分母相同的情況下，分母不變，分子相加，都是計數(shù)單位的累加，知識之間是相通的（如圖）。

把教材中貌似分離的小數(shù)加法、分?jǐn)?shù)加法和整數(shù)加法連接起來，溝通了知識之間的聯(lián)系，共同納入到加法體系中，完善了學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，有利于培養(yǎng)思維的系統(tǒng)性。

注重知識之間的相互滲透和遷移，只有知識形成體系后，才能真正被消化和吸收。比如三年級學(xué)習(xí)排列和組合，課上主要通過列舉法讓學(xué)生知道有序思考，才能不重不漏。課本中例1 是“用0、1、3、5 能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)”。課后有不少習(xí)題，學(xué)生基本都能輕松完成，可面對下面一題時，不少學(xué)生卻一籌莫展。

筆者在課上啟發(fā)道：“我們可以把四個垃圾桶編上號，想一想，“其他垃圾”桶位置有限制，編幾號呢？”學(xué)習(xí)能力強的學(xué)生馬上聯(lián)想到，“‘其他垃圾’桶不能放到最左邊”相當(dāng)于0 不能放在最高位，“其他垃圾”桶編0 號，把另外三個垃圾桶編上1、2、3 號，就像用0、1、2、3 排四位數(shù)一樣排它們的位置。隨著學(xué)生的回答，筆者在黑板上寫下了“其他垃圾0，廚余垃圾1，可回收物2，有害垃圾3?！薄艾F(xiàn)在如果請你用0、1、2、3 排四位數(shù)，你會嗎？”“會。”學(xué)生恍然大悟。有些學(xué)生的系統(tǒng)思維能力本身比較強，只要教師稍加啟發(fā)，就能給其他學(xué)生起到導(dǎo)向作用?！澳巧钪羞€有什么事可以這樣想呢？”筆者乘勝追擊，希望借此促進(jìn)“排列”這個知識體系的形成。

考慮問題，要從整體出發(fā)，處理好整體與局部的關(guān)系。學(xué)習(xí)新知的同時不忘溝通聯(lián)系舊知，使學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)具有序列性、系統(tǒng)性。

二、巧妙變通，培養(yǎng)思維的靈活性

靈活性是指思維活動的靈活程度。它的特點包括：一是思維起點靈活，即從不同角度、方向、方面思考，能用多種方法來解決問題；二是思維過程靈活，從分析到綜合，從綜合到分析，全面而靈活地進(jìn)行“綜合分析”；三是概括遷移能力強，運用規(guī)律的自覺性高；四是善于組合分析，伸縮性大；五是思維的結(jié)果往往是多種合理而靈活的結(jié)論。靈活性反映了智力的“遷移”，如我們平時說的“舉一反三”“運用自如”等。靈活性強的人，善于從不同的角度與方面進(jìn)行思考，能較全面地分析、思考問題和解決問題。

1.一題多解，發(fā)散思維。

發(fā)散思維是指大腦在思維時呈現(xiàn)的一種擴散狀態(tài)的思維模式，一題多解是培養(yǎng)發(fā)散思維能力的有效方法。課本中有很多可以一題多解的題目。如三年級學(xué)習(xí)長方形面積后有這樣一道題，筆者指導(dǎo)學(xué)生就怎樣求面積展開了討論。受當(dāng)時掌握知識所限，學(xué)生想出了五種方法，如果掌握知識多一些，方法更多。兩個長8 厘米、寬3 厘米的長方形拼成的圖形，面積是多少？如下圖。

解法一：8×3×2-3×3

解法二：（8-3）×3+8×3

解法三：8×8-（8-3）×（8-3）

解法四：（8－3）×3×2＋3×3

解法五：（8－3＋8）×3

這幾種方法從不同角度去思考，體現(xiàn)了思維的靈活性。解決一個問題，往往有多種途徑。教師要抓住這種可一題多解的問題，組織好課堂討論，讓學(xué)生暢所欲言，相互啟發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。

2.對比優(yōu)化，巧妙變通。

學(xué)習(xí)過程中，我們要引導(dǎo)學(xué)生多維思考，善于變通，靈活解決問題。在得出解決問題的多種方法后，可以把不同方法加以對比，進(jìn)行優(yōu)化。

如下題，可組織學(xué)生討論，用什么方法可以很快知道哪位老師打字更快？

王老師4 分鐘打了385 個字，李老師5 分鐘打了512 個字。哪位老師打字打得更快？

學(xué)生有的通過計算385÷4,512÷5；有的通過估算385÷4≈400÷4=100，估大了，實際小于100,512÷5≈500÷5=100，估小了，實際大于100，所以李老師快。還有學(xué)生說，385÷4 商是兩位數(shù)，512÷5 商是三位數(shù)，所以李老師快。這三種方法，一種比一種靈活。

三、敢于質(zhì)疑，培養(yǎng)思維的批判性

批判性是指思維活動中獨立發(fā)現(xiàn)和批判的程度。思維的批判性品質(zhì)，來自于對思維活動各個環(huán)節(jié)、各個方面進(jìn)行調(diào)整、校正的自我意識。它具有分析性、策略性、全面性、獨立性和正確性等五個特點。

1.討論辨析，自我修正。

數(shù)學(xué)是門邏輯性很強的學(xué)科，思考表達(dá)都要精準(zhǔn)嚴(yán)密，不能以偏概全，不能有絲毫紕漏。課本中有些描述性的話一定要嚴(yán)謹(jǐn)，在學(xué)生初步得出結(jié)論后，我們要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推敲。比如，學(xué)習(xí)和0 有關(guān)的除法時，經(jīng)過0÷2=0,0÷8=0……這樣幾道習(xí)題的計算，學(xué)生很快得出結(jié)論：“0 除以任何數(shù)都得0?！睂W(xué)生已經(jīng)知道了“任何數(shù)乘0 都得0”，再加上這幾道習(xí)題，所以這個結(jié)論是順其自然得到的。不仔細(xì)推敲，似乎是正確的。在大家都覺得這個結(jié)論正確的情況下，筆者出示，“0÷0=（ ）”，這下教室里熱鬧了，有的說，等于0，有的根據(jù)做除法想乘法的方法，說有無數(shù)種可能。經(jīng)過思考，學(xué)生說，不確定。“那你們能自己把這個結(jié)論修改正確嗎？”討論到這兒，正確結(jié)論“0除以任何不是0 的數(shù)，都得0”已是呼之欲出。

還可以通過判斷題來提高思維的批判性。如學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義后，可以通過這樣的題讓學(xué)生判斷：“有兩根同樣長的繩子，一根減去了四分之三米，另一根減去了四分之三，兩根繩剩下的長度相等。”這道題思維含量很高，可以大做文章。針對學(xué)生判斷的兩種情況，教師可以讓認(rèn)為對的或錯的都各自說出理由，再舉例說明什么情況下第一根長，什么情況下第二根長，什么情況下兩根一樣長。

在知識易混淆處或概念模糊時，我們要引導(dǎo)學(xué)生展開討論，辯一辯、理一理，自我改正錯誤，得出正確結(jié)論。

2.大膽質(zhì)疑，挑戰(zhàn)權(quán)威。

學(xué)起于思，思源于疑。我們還要培養(yǎng)學(xué)生大膽質(zhì)疑的學(xué)習(xí)態(tài)度。比如三年級學(xué)習(xí)了周長和面積之后，我看到一本書上有這樣一道拓展題：“用64 米長的竹籬笆，利用一面墻圍成一個養(yǎng)雞場。如果每條邊的長度都是整米數(shù)，怎樣圍才能使養(yǎng)雞場的面積盡可能大呢？”書上的答案是這樣的：

不仔細(xì)思考，這個答案很完美，在周長相等的情況下，長和寬越接近，面積越大。真的是這樣嗎？我啟發(fā)學(xué)生通過畫圖來探究是否還有其他可能性。學(xué)生通過進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)還有面積更大的。請看下面圖示。

32×16=512（平方米）

21×22=462（平方米）

512＞462

原來當(dāng)一邊靠墻，兩條寬加起來和長相等時，面積才是最大的。

我們要用批判的眼光來看待問題，多問幾個“為什么”，善于發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，解決問題時一定要獨立思考，考慮周全。

四、標(biāo)新立異，培養(yǎng)思維的獨創(chuàng)性

獨創(chuàng)性即思維活動的創(chuàng)造性。在實踐中，除善于發(fā)現(xiàn)問題、思考問題外，更重要的是要創(chuàng)造性地解決問題。獨創(chuàng)性源于主體對知識經(jīng)驗或思維材料高度概括后集中而系統(tǒng)的遷移，進(jìn)行新穎的組合分析，找出新異的層次和交結(jié)點。概括性越高，知識系統(tǒng)性越強，伸縮性越大，遷移性越靈活，注意力越集中，則獨創(chuàng)性就越突出。

1.推陳出新，大膽嘗試。

要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，教師首先要有創(chuàng)新精神，敢于對課本中的留白部分做出自己的決策。如三年級學(xué)習(xí)《年、月、日》時，課后習(xí)題中有保質(zhì)期的推算，課本中沒有規(guī)范的表示范例，要想書面表達(dá)清楚有點麻煩，怎么辦？筆者指導(dǎo)學(xué)生用圖示法。以作業(yè)本中一道習(xí)題為例，2019年3月1日的早晨，幾號的牛奶還能喝？思考過程：2019年是平年，二月是28 天，牛奶2月24日生產(chǎn)，經(jīng)過7天保質(zhì)期，保質(zhì)到3月2日。表示方法一：28-24+1=5（天），7-5=2（天）。所以3月1日早晨24 號牛奶還能喝。表示方法二：2月24日保質(zhì)7 天，到3月2日，顯然第二種方法更簡潔明了。

2.獨辟蹊徑，標(biāo)新立異。

有些學(xué)生很有自己的想法，不走尋常路，敢于提出不同意見。對于這些“另類”的學(xué)生，我們要呵護(hù)有加。比如用連乘解決問題，超市一周賣出5 箱杯子，每箱12 個，每個45 元，一共賣了多少錢？

課本呈現(xiàn)兩種解法：

解法一：45×12×5，先算每箱賣了多少錢，再算一共賣了多少錢。

解法二：12×5×45，先算每箱共有多少個保溫杯，再算一共賣了多少錢。

還有第三種解法嗎？課本中沒有提到。

如果有學(xué)生列出的算式是45×5×12，你認(rèn)為對嗎？不仔細(xì)想，似乎是沒道理的，因為5 箱和每個45 元這兩個信息間沒有直接的聯(lián)系。但是當(dāng)有學(xué)生能自圓其說，把這個算式解釋通，你還認(rèn)為這沒道理嗎？學(xué)生說，假設(shè)每箱只有一個杯子，5 箱能賣45×5元，實際每箱有12 個，是假設(shè)的12 倍，再乘12。這么一假設(shè)，還挺有道理。所以只要能說清算理，都可以算對。課本例題沒出現(xiàn)這種方法，我們也可以讓學(xué)生用。教師要鼓勵學(xué)生多思考，敢為人先。我們要以開放的、包容的心態(tài)去接納學(xué)生的奇思妙想。

綜上所述，引導(dǎo)學(xué)生探究知識的過程中，教師要做個有心人，指導(dǎo)學(xué)生在務(wù)實的基礎(chǔ)上縱橫勾連所學(xué)知識，構(gòu)建起知識體系，學(xué)會巧妙變通，敢于批判質(zhì)疑，勇于標(biāo)新立異，力求通過日常教學(xué)活動使學(xué)生成為具有高階思維能力和富有創(chuàng)新精神的新型人才。