沈惠平 吉 昊 許正驍 楊廷力

(常州大學(xué)現(xiàn)代機(jī)構(gòu)學(xué)研究中心， 常州 213016)

0 引言

三平移(3T)并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有少自由度機(jī)構(gòu)獨(dú)有的結(jié)構(gòu)緊湊、控制容易、造價(jià)低等優(yōu)點(diǎn)，具有良好的工程應(yīng)用前景[1-4]。

目前，已有許多國內(nèi)外學(xué)者對(duì)其展開了研究。1988年，ClAVEL[5]設(shè)計(jì)了著名的Delta 機(jī)構(gòu)，此后，一些學(xué)者提出了相應(yīng)的類Delta[6-8]機(jī)構(gòu)；KONG等[9]設(shè)計(jì)了一種新型的3-CRR機(jī)構(gòu)，其特點(diǎn)在于不存在明顯的奇異位置；李仕華等[10]設(shè)計(jì)了一種3-RRUR型3平移機(jī)構(gòu)；楊廷力等[11-12]基于POC理論設(shè)計(jì)了多種新型3T機(jī)構(gòu)，并分析了它們的拓?fù)涮匦?；ZENG等[13]設(shè)計(jì)了一種三平移Tri-pyramid并聯(lián)機(jī)構(gòu)，分析了該機(jī)構(gòu)的工作空間等特性；MAHMOOD等[14]設(shè)計(jì)了一種3-[P2(US)]的3T機(jī)構(gòu)，分析了該機(jī)構(gòu)的靈巧度等特性；李坤全等[15]以3-RPRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)為原型，設(shè)計(jì)了一種全柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)；毛鵬飛[16]研究了不同分支的三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)；杜康等[17]研究了基于POC方程的三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法；賈明星[18]研究了3-RRC機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)和力傳遞性能，并分析了不同的支鏈布置方法及驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)對(duì)傳遞性能的影響；韓帥帥[19]以3-CPR機(jī)構(gòu)為模板，提出了5種新機(jī)構(gòu)，并對(duì)其進(jìn)行分析；朱偉等[20]設(shè)計(jì)了一種弱耦合2RRP_aR+PP_aP三平移操作機(jī)器人機(jī)構(gòu)，并分析其主要拓?fù)涮卣?；葉海燕等[21]提出了空間曲線三平移機(jī)構(gòu)的型綜合及分類方法；孫馳宇等[22]對(duì)(RPa‖3R)2R+RPa型三平移機(jī)構(gòu)進(jìn)行剛度建模及分析。

文獻(xiàn)[23]設(shè)計(jì)了一種新型3T機(jī)構(gòu)，與上述大多數(shù)三平移機(jī)構(gòu)類似，該機(jī)構(gòu)并不具有正向位置符號(hào)解，這使得該機(jī)構(gòu)的誤差分析、動(dòng)力學(xué)分析和尺度綜合較為復(fù)雜。一般地，機(jī)構(gòu)位置正解的形式有解析解、數(shù)值解，而解析解包括封閉解、符號(hào)解。其中，位置符號(hào)解對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)性能分析最方便，因?yàn)榭梢杂幂斎肓勘硎救制娈愇恍畏匠?，進(jìn)而進(jìn)行操作度的性能評(píng)估及結(jié)構(gòu)參數(shù)的全域優(yōu)化；較易建立運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型，并進(jìn)行影響因素的敏感度分析；計(jì)算工作空間方便、高效、準(zhǔn)確；動(dòng)力學(xué)建模方便、高效。然而，目前具有正向位置符號(hào)解的并聯(lián)機(jī)構(gòu)還較少。

本文根據(jù)基于方位特征方程(Position and orientation characteristics, POC)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論和方法，設(shè)計(jì)一種具有正向位置符號(hào)解的新型三平移(3T)并聯(lián)機(jī)構(gòu)。分析該機(jī)構(gòu)的POC集、自由度及耦合度(κ=0)等拓?fù)涮卣?，?duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)位置建模與分析，求得該機(jī)構(gòu)位置正解符號(hào)表達(dá)式，基于逆解表達(dá)式推導(dǎo)該機(jī)構(gòu)的工作空間；根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)/力傳遞性能指標(biāo)[24]對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)/力性能分析，即基于螺旋理論求得各支鏈傳遞力旋量與約束力旋量，求得該機(jī)構(gòu)各支鏈的輸入傳遞指標(biāo)、輸出傳遞指標(biāo)與局部傳遞指標(biāo)表達(dá)式，得到兩種指標(biāo)曲線分布圖；根據(jù)約束力旋量與輸入、輸出運(yùn)動(dòng)旋量的互易積，以及傳遞力旋量與輸入、輸出運(yùn)動(dòng)旋量的互易積等分析機(jī)構(gòu)的奇異位型；最后，根據(jù)局部傳遞指標(biāo)曲線評(píng)價(jià)機(jī)構(gòu)距離奇異位型的遠(yuǎn)近。

1 機(jī)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計(jì)及分析

1.1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

本文設(shè)計(jì)的具有正向位置符號(hào)解的3T并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖1所示，定平臺(tái)0(導(dǎo)軌)與動(dòng)平臺(tái)1之間通過兩條混合支鏈Ⅰ、Ⅱ連接。

圖1 具有正向位置符號(hào)解的3T并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.1 3T parallel mechanism with forward position symbol solution

混合支鏈Ⅰ由移動(dòng)副P1、P2，平行四邊形副Pa1，轉(zhuǎn)動(dòng)副R11、R12、R1及R2組合而成。其中，移動(dòng)副P1與定平臺(tái)上的一側(cè)導(dǎo)軌相連，然后，與軸線平行的轉(zhuǎn)動(dòng)副R11、R12依次串聯(lián)，組成子鏈SOC1；移動(dòng)副P2與移動(dòng)副P1安裝于同一導(dǎo)軌上，平行四邊形副Pa1與之串聯(lián)，組成子鏈SOC2，再將2條子鏈SOC1和SOC2，以R12、Rb1、Rc1共線的方式組成一個(gè)子并聯(lián)機(jī)構(gòu)(Sub-PM)，而Sub-PM中所有轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線平行于定平臺(tái)0所在平面；最后，將2個(gè)軸線平行且垂直于定平臺(tái)0平面的轉(zhuǎn)動(dòng)副R1、R2與Sub-PM串聯(lián)組成混合支鏈Ⅰ，且混合支鏈Ⅰ通過轉(zhuǎn)動(dòng)副R2與動(dòng)平臺(tái)相連。

混合支鏈Ⅱ由移動(dòng)副P3、平行四邊形副Pa2、轉(zhuǎn)動(dòng)副R3、R4組成，其中，移動(dòng)副P3與定平臺(tái)上的另一側(cè)導(dǎo)軌相連；然后，再與平行四邊形副Pa2串聯(lián)，轉(zhuǎn)動(dòng)副R3、R4分別位于平行四邊形副兩條短邊的中點(diǎn)，支鏈Ⅱ通過轉(zhuǎn)動(dòng)副R3與動(dòng)平臺(tái)1相連接。

1.2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浞治?/h3>

1.2.1POC計(jì)算

機(jī)構(gòu)的POC方程計(jì)算公式[11]為

(1)

(2)

式中MJi——第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的POC集

Mbi——第i條支鏈末端的POC集

MPa——機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的POC集

因此，子并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出構(gòu)件(p點(diǎn))的運(yùn)動(dòng)為YOZ平面內(nèi)的兩維平動(dòng)。

圖2 HSOC1中的子并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.2 Sub parallel mechanism in HSOC1

由式(1)求得第Ⅰ條HSOC1的POC集為

同理，由式(1)求得第Ⅱ條HSOC2的POC集為

于是，由式(2)求得機(jī)構(gòu)的POC集為

因此，動(dòng)平臺(tái)1具有三維平移的輸出特性。

1.2.2自由度計(jì)算

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的全周DOF計(jì)算式[11]為

(3)

(4)

其中

v=m-n+1

式中F——機(jī)構(gòu)自由度

fi——第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副自由度

m——運(yùn)動(dòng)副數(shù)

v——獨(dú)立回路數(shù)n——構(gòu)件數(shù)

ξLj——第j個(gè)獨(dú)立回路的獨(dú)立位移方程數(shù)

Mb(j+1)——前j+1條支鏈末端構(gòu)件的POC集

由式(3)可得第1回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξL1為

由式(4)求得第1個(gè)子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度為

由式(3)可得其獨(dú)立位移方程數(shù)ξL2為

由式(4)求得機(jī)構(gòu)的自由度為

因此，該機(jī)構(gòu)的自由度為3，取機(jī)架上的P1、P2、P3副為驅(qū)動(dòng)輸入時(shí)，機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)1可實(shí)現(xiàn)三平移輸出。

1.2.3耦合度計(jì)算

由基于單開鏈(SOC)的機(jī)構(gòu)組成原理[11]知，任一機(jī)構(gòu)可分解為約束度為正、零、負(fù)的3種有序單開鏈(SOC)，第j個(gè)SOC的約束度定義為

(5)

式中mj——第j個(gè)SOC的運(yùn)動(dòng)副數(shù)

Ij——第j個(gè)SOC的驅(qū)動(dòng)副數(shù)

進(jìn)一步，一組有序的v個(gè)SOC可劃分成一個(gè)獨(dú)立回路數(shù)為v的最小子運(yùn)動(dòng)鏈(Sub kinematics chain，SKC)，它僅含一個(gè)零自由度BKC(Basic kinematics chain)；對(duì)一個(gè)SKC而言，需

因此，耦合度為

(6)

κ的物理意義在于揭示機(jī)構(gòu)回路運(yùn)動(dòng)變量之間的關(guān)聯(lián)、依賴程度；κ越大,機(jī)構(gòu)的耦合程度越高，運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)的分析越復(fù)雜。

由式(5)求得第1、2回路的約束度分別為

因此，該機(jī)構(gòu)包含SKC1和SKC2，其耦合度由式(6)求得為

該機(jī)構(gòu)的位置求解可轉(zhuǎn)換為對(duì)這兩個(gè)SKC的位置求解，且由于它們的耦合度為0，無需設(shè)立虛擬變量，其位置正解可分別獨(dú)立求解。

2 位置正、逆解分析

2.1 坐標(biāo)系建立和參數(shù)標(biāo)注

如圖3所示，在靜平臺(tái)0上建立OXYZ坐標(biāo)系，O為移動(dòng)副P1、P2所在導(dǎo)軌的中點(diǎn)，X軸垂直于導(dǎo)軌方向所在直線，Y軸與導(dǎo)軌方向所在直線重合。

在動(dòng)平臺(tái)1上建立oxyz坐標(biāo)系，o為直線D3C3的中點(diǎn)，x軸與直線D3C3重合，y軸與直線D3C3垂直；而Z、z軸分別由右手法則確定。

靜平臺(tái)0兩條導(dǎo)軌之間的間距為M；動(dòng)平臺(tái)上，D3C3的長度為m，連接驅(qū)動(dòng)副的3根連桿長度相等，即lA1B1=lA2B2=lA3B3=l1；平行四邊形副Pa1長邊長度為l3，短邊長度為2l2；桿lB1C1的長度l3，lC1D1=lC2D1=l1+l4，桿件lD1D2的長度為t，桿lD2D3的長度為l5，平行四邊形副Pa2長邊長度為l6。

設(shè)驅(qū)動(dòng)副P1、P2、P3(圖3中A1、A2、A3)與原點(diǎn)的距離分別為S1、S2、S3。

圖3 機(jī)構(gòu)參數(shù)標(biāo)注及坐標(biāo)系設(shè)定Fig.3 Mechanism parameter annotation and coordinate system setting

2.2 正向位置符號(hào)解求解

位置正解求解為：已知驅(qū)動(dòng)副的行程S1、S2、S3，求解動(dòng)平臺(tái)o的坐標(biāo)(x,y,z)。

在靜坐標(biāo)系中，易知點(diǎn)A1、A2、A3、B1、B2、B3的坐標(biāo)分別為：A1=(0,S1, 0)、B1=(0,S1,l1)、A2=(0,S2, 0)、B2=(0,S2,l1)、A3=(-M,S3, 0)、B3=(-M,S3,l1)。

2.2.1SKC1的位置求解

由幾何約束條件lB1C1=lB2C2=l3，列出兩個(gè)位置方程，求得:當(dāng)S1-S2≠2(l2+l4)時(shí)，點(diǎn)D1坐標(biāo)為

其中，另一zD1值使構(gòu)型發(fā)生干涉，舍去。

當(dāng)S1-S2=2(l2+l4)時(shí)，子并聯(lián)機(jī)構(gòu)發(fā)生奇異，失去Z方向的自由度，奇異位型如圖4所示。

圖4 奇異位型Fig.4 Singular configuration

2.2.2SKC2的位置求解

由點(diǎn)D1的坐標(biāo)可得點(diǎn)D2的坐標(biāo)為(0,yD1,zD1+t)。

由幾何約束條件lD2D3=l5及l(fā)B3C3=l6，求得

(7)

其中

式(7)即為該機(jī)構(gòu)的正向位置符號(hào)解，可表示為

(8)

由式(8)知，該機(jī)構(gòu)具有輸入-輸出運(yùn)動(dòng)部分解耦性，這有利于該機(jī)構(gòu)的軌跡規(guī)劃和運(yùn)動(dòng)控制。

2.3 位置逆解求解及驗(yàn)證

位置逆解的求解為：已知?jiǎng)悠脚_(tái)上點(diǎn)o的坐標(biāo)(x,y,z)，求解驅(qū)動(dòng)副的行程S1、S2、S3。

在動(dòng)坐標(biāo)系oxyz中，由動(dòng)平臺(tái)上點(diǎn)o的坐標(biāo)可得點(diǎn)C3和點(diǎn)D3的坐標(biāo)分別為(x-m，y，z)、(x+m，y，z)。

設(shè)點(diǎn)D2的坐標(biāo)為(0，yD2，z)。由幾何約束lD2D3=l5，可得

設(shè)點(diǎn)D1的坐標(biāo)為(0,yD1,z-t)。在SKC1中，由幾何約束lB1C1=lB2C2=l3，求得移動(dòng)副P1、P2的行程S1、S2分別為

(9)

由式(9)可知，S1、S2各有2組解。因此，有2×2=4種反解；其中，有2種會(huì)導(dǎo)致機(jī)構(gòu)發(fā)生圖4所示奇異，不可取。因此，機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)位置確定時(shí)，機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)副輸入S1、S2只有2組解。

在SKC2中，由幾何約束lB3C3=l6，求得移動(dòng)副P3的行程S3為

(10)

式(9)、(10)即為該機(jī)構(gòu)的位置逆解解析式。由此可知，機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)副輸入S3有2組解，而S1、S2有2組解。因此，機(jī)構(gòu)存在4種構(gòu)型。

設(shè)機(jī)構(gòu)各桿件桿長分別為：l1=55 mm，l2=40 mm，l3=160 mm，l4=35 mm，l5=80 mm，l6=200 mm，m=30 mm，M=200 mm，t=20 mm。取3個(gè)移動(dòng)副的輸入分別為：S1=120 mm，S2=-100 mm，S3=0 mm。將上述數(shù)值代入式(7)中，求得機(jī)構(gòu)位置正解數(shù)值如表1所示。

表1 機(jī)構(gòu)位置正解

取表1中的第1行數(shù)據(jù)，代入式(9)、(10)中，求得逆解數(shù)值如表2所示。

表2 機(jī)構(gòu)位置逆解

結(jié)果表明，表2中第1組值與機(jī)構(gòu)設(shè)定的驅(qū)動(dòng)輸入(S1=120 mm，S2=-100 mm，S3=0 mm)一致；驗(yàn)證了機(jī)構(gòu)正逆解公式的正確性。

3 工作空間分析

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間是在考慮桿件的干涉、移動(dòng)副的行程限制、轉(zhuǎn)動(dòng)副或球副的轉(zhuǎn)角等限制條件下，動(dòng)平臺(tái)上某一選定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)范圍。

為獲得該機(jī)構(gòu)的工作空間，選取2.3節(jié)定義的桿長參數(shù)，設(shè)定的限制因素分別為：平行四邊形副的轉(zhuǎn)角為15°～165°，移動(dòng)副行程范圍-600～600 mm，且S2始終小于S1。采用極限邊界搜索法，由Matlab軟件繪制得到該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的三維工作空間如圖5所示，工作空間在XY、XZ截面上的視圖如圖6所示。

圖5 工作空間的三維視圖Fig.5 3D view of workspace

圖6 工作空間在XY、XZ截面上的視圖Fig.6 Views of workspace on XY and XZ sections

由圖6可知，當(dāng)3個(gè)驅(qū)動(dòng)副行程范圍有限時(shí)，該機(jī)構(gòu)的部分工作空間具有Y軸方向的各向同性，即為圖6a黑色線框內(nèi)部工作空間。在該機(jī)構(gòu)后續(xù)的性能分析中，顯然，需要重點(diǎn)研究機(jī)構(gòu)在該部分工作空間中的性能。為方便敘述，將該部分工作空間命名為規(guī)則實(shí)用工作空間。

由于該機(jī)構(gòu)為移動(dòng)副驅(qū)動(dòng)，所以當(dāng)導(dǎo)軌長度擴(kuò)大時(shí)，工作空間也會(huì)隨之?dāng)U大。因此，該機(jī)構(gòu)不僅適用于小范圍內(nèi)的三平移精密操作，也能用于沿導(dǎo)軌方向的大范圍內(nèi)的工件搬運(yùn)、抓取、噴涂等操作。

4 性能指標(biāo)的分析與計(jì)算

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的性能分析是為了評(píng)判機(jī)構(gòu)在工作空間中是否具有良好的可操作性能?；谖墨I(xiàn)[24]提出的性能指標(biāo)，評(píng)價(jià)該3T機(jī)構(gòu)的輸入端和輸出端的運(yùn)動(dòng)/力傳遞性能。首先，基于螺旋理論求解了該機(jī)構(gòu)各支鏈的輸入傳遞指標(biāo)(Input transmission index，ITI)和輸出傳遞指標(biāo)(Output transmission index，OTI)的表達(dá)式，然后，利用Matlab繪制機(jī)構(gòu)在規(guī)則實(shí)用工作空間XZ截面的輸入傳遞與輸出傳遞指標(biāo)曲線。

4.1 性能指標(biāo)的定義

文獻(xiàn)[24]提出的幾種性能指標(biāo)的定義如下：

第i個(gè)傳遞力旋量的輸入傳遞指標(biāo)為

(11)

式中n——支鏈數(shù)目

$Ti——分支i的傳遞力旋量

$Ii——分支i的輸入運(yùn)動(dòng)旋量

第i個(gè)傳遞力旋量的輸出傳遞指標(biāo)為

(12)

式中 $Oi——分支i的輸出運(yùn)動(dòng)旋量

為了整體評(píng)價(jià)機(jī)構(gòu)輸入端的運(yùn)動(dòng)傳遞性能，定義機(jī)構(gòu)的輸入傳遞指標(biāo)為

(13)

為了整體評(píng)價(jià)機(jī)構(gòu)輸出端的運(yùn)動(dòng)傳遞性能，定義機(jī)構(gòu)的輸出傳遞指標(biāo)為

(14)

定義并聯(lián)機(jī)構(gòu)整體的傳遞指標(biāo)為局部傳遞指標(biāo)(Local transmission index，LTI)γ，有

γ=min{γI，γO}

(15)

4.2 性能指標(biāo)求解

借助螺旋理論，首先，分別求解2條支鏈的傳遞力旋量與輸入、輸出運(yùn)動(dòng)旋量。然后，根據(jù)式(11)～(15)，求解該機(jī)構(gòu)的性能指標(biāo)。

4.2.1支鏈Ⅰ(HSOC1)傳遞力的求解

在坐標(biāo)系OXYZ中，首先求出支鏈Ⅰ中各運(yùn)動(dòng)副的旋量為

其中

H=S2+l2+l3cosα+l4

式中α——桿件Ra1Rd1與Y軸正向的夾角(圖7)

α′——桿件R11R12與Y軸正向的夾角

θ——桿件R1R2與X軸正向的夾角

圖7 支鏈Ⅰ的角度表示Fig.7 Angle marking of branch Ⅰ

圖8 子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的兩種構(gòu)型Fig.8 Two configurations of sub parallel mechanism

研究發(fā)現(xiàn)，由于桿長約束與拓?fù)浼s束，α′與α存在特殊幾何關(guān)系。即α′=π-α或者α′=α(2.2.1節(jié)所述奇異位型)，具體位型如圖8所示。因?yàn)闄C(jī)構(gòu)處于奇異位型下其局部傳遞指標(biāo)為0，且該種奇異在設(shè)定合適的輸入條件下可以避免，因此，為分析方便，本節(jié)只研究α′=π-α構(gòu)型時(shí)機(jī)構(gòu)的傳遞性能。

由1.2.1節(jié)可知，混合支鏈Ⅰ末端作3T1R運(yùn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)繞Z軸，則該支鏈的2個(gè)約束力旋量(Constrained wrench screw, CWS)分別為

根據(jù)文獻(xiàn)[24]，傳遞力旋量(Transmission wrench screw, TWS)為“剛化”驅(qū)動(dòng)副后，與支鏈中其他所有運(yùn)動(dòng)副旋量互易積為0，且與約束力旋量線性無關(guān)。因此，先后分別“剛化”驅(qū)動(dòng)副P1、P2，采用文獻(xiàn)[25]提供的反螺旋求解方法，可求出該支鏈的兩個(gè)傳遞力旋量為：

剛化驅(qū)動(dòng)副P1，得到傳遞力旋量為

$T1=(T11，T12，T13；T14，0，T16)

其中T11=cosαcosθT12=cosαsinθ

T13=-sinαsinθT14=-sinθ(l1cosα+S1sinα)

T16=-Hcosαcosθ

剛化驅(qū)動(dòng)副P2，得到傳遞力旋量為

$T2=(T21,T22,T23; 0, 0,T26)

其中T21=T11T22=T12T23=sinαsinθ

T26=-Hcosαcosθ

因此，支鏈Ⅰ的兩個(gè)傳遞力旋量均為螺旋。

4.2.2支鏈Ⅱ(HSOC2)傳遞力的求解

在坐標(biāo)系OXYZ下，分別求得支鏈Ⅱ包含的各運(yùn)動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)螺旋為

式中γ1——平行四邊形副Pa2與XOY平面的夾角

β——R3R4在XOY平面的投影與X軸正向的夾角

具體角度標(biāo)注如圖9所示。

圖9 支鏈Ⅱ角度參數(shù)Fig.9 Angle parameters of branch Ⅱ

同樣，支鏈Ⅱ的運(yùn)動(dòng)也為3T1R，轉(zhuǎn)動(dòng)方向?yàn)槔@Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，則該支鏈的2個(gè)約束力旋量分別為

剛化驅(qū)動(dòng)副P3，求得該支鏈的傳遞力旋量為

$T3=
(cosγ1cosβ，cosγ1sinβ，sinγ1；0，l1cosγ1cosβ-Msinγ1，0)

因此，支鏈Ⅱ傳遞力旋量表示的是軸線同時(shí)經(jīng)過轉(zhuǎn)動(dòng)副R3、R4中點(diǎn)的一個(gè)純力。

4.2.3機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動(dòng)旋量的求解

據(jù)文獻(xiàn)[24]，保留一個(gè)驅(qū)動(dòng)，“剛化”其余所有驅(qū)動(dòng)，其余的傳遞力也將變成約束力，那么只有該驅(qū)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)經(jīng)過傳遞力$Ti的作用傳遞到動(dòng)平臺(tái)。動(dòng)平臺(tái)在該傳遞力的作用下發(fā)生相應(yīng)的輸出運(yùn)動(dòng)，可用輸出運(yùn)動(dòng)旋量$Oi(Output twist screw, OTS)表示。根據(jù)運(yùn)動(dòng)旋量與力旋量的互異性，只有該驅(qū)動(dòng)對(duì)應(yīng)的傳遞力$Ti能對(duì)動(dòng)平臺(tái)做功，即

(16)

式中 $Ck——機(jī)構(gòu)的第k個(gè)約束力旋量

由于機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)為空間3T運(yùn)動(dòng)，因此，動(dòng)平臺(tái)將受到3個(gè)方向約束力偶的作用，分別為

(17)

因此，根據(jù)式(16)，由反螺旋理論[25]可求出該機(jī)構(gòu)3個(gè)傳遞力對(duì)應(yīng)的輸出運(yùn)動(dòng)分別為

$O1=(0,0,0;L1,M1,N1)
$O2=(0,0,0;L2,M2,N2)
$O3=(0,0,0;L3,M3,0)

其中L1=cosγ1sinβsinαsinθ-cosαsinθsinγ1

M1=cosαcosθsinγ1-sinαsinθcosγ1cosβ
N1=cosαsinθcosγ1cosβ-cosαcosθcosγ1sinβ
L2=-cosγ1sinβsinαsinθ-cosαsinθsinγ1
M2=cosαcosθsinγ1+sinαsinθcosγ1cosβ
N2=N1L3=-2cosαsinθsinαsinθM3=L3

3個(gè)輸出運(yùn)動(dòng)旋量$O1、$O2、$O3原部均為零，再次證明機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動(dòng)為3個(gè)不同方向的平移運(yùn)動(dòng)。

4.2.4性能指標(biāo)圖譜繪制

根據(jù)式(11)～(15)，依次求解各支鏈的輸入、輸出傳遞指標(biāo)。

支鏈Ⅰ的輸入傳遞指標(biāo)(ITI)為

λP1=λP2=|cosαsinθ|

支鏈Ⅱ的輸入傳遞指標(biāo)(ITI)為

λP3=|cosγ1sinβ|

支鏈Ⅰ的輸出傳遞指標(biāo)(OTI)為

ηP1=|cosγ1sinαsinθcosα(sinβcosθ-cosβsinθ)|
ηP2=|cosγ1sinαsinθcosα(cosβsinθ-sinβcosθ)|

支鏈Ⅱ的輸出傳遞指標(biāo)(OTI)為

ηP3=|cosγ1sinαsinθcosα(sinβcosθ-cosβsinθ)|

由式(13)得機(jī)構(gòu)輸入端的輸入傳遞指標(biāo)γI為

γI=min{|cosαsinθ|，|cosγ1sinβ|}

由式(14)得機(jī)構(gòu)輸出端的輸出傳遞指標(biāo)γO為

γO=min{η1，η2，η3}=
|cosγ1sinαsinθcosα(sinβcosθ-cosβsinθ)|

根據(jù)機(jī)構(gòu)輸入、輸出傳遞指標(biāo)的解析式，利用Matlab編程，繪制規(guī)則實(shí)用工作空間XZ向截面的輸入、輸出傳遞指標(biāo)圖，如圖10、11所示。

由圖10、11可知，機(jī)構(gòu)在規(guī)則可用工作空間內(nèi)，輸入傳遞指標(biāo)隨著高度增加而逐漸減小，且最大輸入傳遞指標(biāo)為0.8；而在Z=150～200 mm之間，機(jī)構(gòu)輸出傳遞性能較好，且最大輸出傳遞指標(biāo)為0.35。圖10、11中的黑色線框均表示工作空間邊界。

5 奇異性研究

文獻(xiàn)[24]將并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異類型分為約束奇異與傳遞奇異，只有少自由度機(jī)構(gòu)才會(huì)發(fā)生約束奇異。約束奇異分為輸出約束奇異和輸入約束奇異，傳遞奇異也可分為輸出傳遞奇異和輸入傳遞奇異。應(yīng)用該方法分析奇異的優(yōu)點(diǎn)在于：不需要求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)雅可比矩陣；從運(yùn)動(dòng)和力傳遞角度，可清晰地揭示機(jī)構(gòu)發(fā)生奇異的物理意義。基于該原理，本節(jié)將根據(jù)各支鏈的約束力旋量、輸入、輸出運(yùn)動(dòng)旋量的互易積，來分析該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位型，并綜合評(píng)價(jià)該機(jī)構(gòu)的奇異特性。

5.1 機(jī)構(gòu)約束奇異

當(dāng)少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)目為n(n<6)，則該機(jī)構(gòu)應(yīng)該存在q個(gè)約束力旋量，限制了機(jī)構(gòu)另外的(6-n)個(gè)自由度[24]，此時(shí)，這q個(gè)約束力旋量的最大線性無關(guān)數(shù)應(yīng)為(6-n)。在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中，若這q個(gè)約束力旋量最大線性無關(guān)數(shù)小于(6-n)，則這q個(gè)約束力旋量將無法限制機(jī)構(gòu)的(6-n)個(gè)自由度，則機(jī)構(gòu)將必然獲得額外不可控自由度，此時(shí)，即發(fā)生約束奇異。

由式(17)可看出，3個(gè)約束力偶的最大線性無關(guān)數(shù)目為3且始終為3，即機(jī)構(gòu)的3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度在運(yùn)動(dòng)過程中始終被約束，因此，該機(jī)構(gòu)不會(huì)發(fā)生約束奇異。

5.2 機(jī)構(gòu)傳遞奇異

當(dāng)傳遞力旋量與輸入運(yùn)動(dòng)旋量或輸出運(yùn)動(dòng)旋量的互易積為0時(shí)，傳遞力旋量無法對(duì)機(jī)構(gòu)的輸入運(yùn)動(dòng)或輸出運(yùn)動(dòng)做功，此時(shí)，機(jī)構(gòu)發(fā)生傳遞奇異[24]。

當(dāng)$Ti°$Ii=0時(shí)，傳遞力旋量不能夠?qū)⑤斎腙P(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)傳遞出去，則動(dòng)平臺(tái)將失去一個(gè)自由度，機(jī)構(gòu)發(fā)生輸入傳遞奇異。

在該機(jī)構(gòu)中，傳遞力$T1和與其對(duì)應(yīng)輸入運(yùn)動(dòng)旋量$I1的互易積為

$T1°$I1=cosαsinθ

(18)

由式(18)可知，機(jī)構(gòu)在cosα=0或sinθ=0時(shí)，傳遞力$T1和與其對(duì)應(yīng)輸入運(yùn)動(dòng)旋量$I1的互易積等于0，即α=90°、θ=180°(在2.3節(jié)所述尺寸下，其他角度構(gòu)型不存在，下同)時(shí)，機(jī)構(gòu)發(fā)生輸入傳遞奇異，圖12為θ=180°時(shí)奇異位型。

圖12 奇異位型ⅠFig.12 Singular configuration Ⅰ

傳遞力$T2和與其對(duì)應(yīng)輸入運(yùn)動(dòng)旋量$I2的互易積為

$T2°$I2=-cosαsinθ

(19)

由式(19)可知，傳遞力$T2發(fā)生輸入傳遞奇異的條件與傳遞力$T1發(fā)生輸入傳遞奇異的條件相同，故略去不作分析。

傳遞力$T3和與其對(duì)應(yīng)輸入運(yùn)動(dòng)旋量$I3的互易積為

$T3°$I3=cosγ1sinβ

(20)

由式(20)可知，機(jī)構(gòu)在cosγ1=0或sinβ=0時(shí)，傳遞力$T3和與其對(duì)應(yīng)輸入運(yùn)動(dòng)旋量$I3的互易積等于0，即γ1=90°或者β=0°時(shí)，機(jī)構(gòu)發(fā)生輸入傳遞奇異，β=0°時(shí)對(duì)應(yīng)的奇異位型如圖13所示。

圖13 奇異位型ⅡFig.13 Singular configuration Ⅱ

當(dāng)$Ti°$Oi=0時(shí)，傳遞力旋量無法對(duì)與之相對(duì)應(yīng)的輸出運(yùn)動(dòng)旋量做功，即該傳遞力不能將運(yùn)動(dòng)或者力傳遞到動(dòng)平臺(tái)，就會(huì)導(dǎo)致機(jī)構(gòu)的某個(gè)自由度不可控，或者在某個(gè)方向上剛度極差，此時(shí)，機(jī)構(gòu)發(fā)生輸出傳遞奇異。

在該機(jī)構(gòu)中，傳遞力$T1和與其對(duì)應(yīng)輸出運(yùn)動(dòng)旋量$O1的互易積為

$T1°$O1=sin(2α)cosγ1sinθsin(β-θ)

(21)

由式(21)可知，機(jī)構(gòu)在sin(2α)=0、sinθ=0、cosγ1=0或sin(β-θ)=0時(shí)，傳遞力$T1和與其對(duì)應(yīng)輸出運(yùn)動(dòng)旋量$O1的互易積為0，即α=90°，θ=180°，γ1=90°，機(jī)構(gòu)發(fā)生輸出傳遞奇異，圖14為α=90°與之對(duì)應(yīng)的奇異位型。

圖14 奇異位型ⅢFig.14 Singular configuration Ⅲ

經(jīng)分析，傳遞力$T2、$T3與其對(duì)應(yīng)的輸出傳遞運(yùn)動(dòng)$O2、$O3的互易積，與傳遞力$T1和與其對(duì)應(yīng)輸出運(yùn)動(dòng)旋量$O1的互易積為0相同，即發(fā)生奇異的條件相同，故略去不作分析。

5.3 機(jī)構(gòu)距離奇異位型的遠(yuǎn)近評(píng)價(jià)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于奇異位型及其附近區(qū)域時(shí)，其運(yùn)動(dòng)和力/約束傳遞性能較差。因此，利用Matlab繪制機(jī)構(gòu)在規(guī)則實(shí)用工作空間XZ截面局部傳遞指標(biāo)(LTI)圖，以此觀察機(jī)構(gòu)在該空間內(nèi)部距離傳遞奇異的遠(yuǎn)近，評(píng)價(jià)機(jī)構(gòu)奇異特性。

由圖15可知，規(guī)則實(shí)用工作空間內(nèi)部最大局部傳遞指標(biāo)(LTI)為0.3，分布于{(X，Z)|-70 mm

圖15 規(guī)則實(shí)用工作空間XZ截面LTI分布曲線Fig.15 LTI distribution curve of XZ section of regular practical workspace

因此，LTI在規(guī)則實(shí)用工作空間內(nèi)部都大于0，即該機(jī)構(gòu)在其內(nèi)部不存在奇異。

5.4 子并聯(lián)機(jī)構(gòu)α′=α構(gòu)型奇異歸類

當(dāng)子并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型為α′=α?xí)r(圖8b)，求得此時(shí)機(jī)構(gòu)的輸出運(yùn)動(dòng)旋量$O1、$O2、$O3分別為

$O1=$O2=(0, 0, 0;L1,M1,N1)
$O3=(0, 0, 0; 0, 0, 0)

根據(jù)文獻(xiàn)[19]定義的奇異類別，機(jī)構(gòu)該種奇異類型為輸出傳遞奇異，即失去一個(gè)方向的自由度。

6 結(jié)論

(1)基于POC理論設(shè)計(jì)了一種具有正向位置符號(hào)解的新型3T機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)僅由移動(dòng)副和轉(zhuǎn)動(dòng)副組成，易于制造和安裝；因機(jī)構(gòu)的耦合度κ=0，具有正向位置符號(hào)解，有利于進(jìn)行誤差分析、尺度綜合、剛度分析及動(dòng)力學(xué)研究等；具有部分輸入-輸出運(yùn)動(dòng)解耦性，有利于機(jī)構(gòu)的軌跡規(guī)劃及運(yùn)動(dòng)控制；移動(dòng)副為驅(qū)動(dòng)，操作工作空間大，可適用于長度方向較大尺寸工件的機(jī)加工、噴涂、鉚接等工藝；平行的導(dǎo)軌布置方式使部分工作空間具有各向同性，有利于機(jī)構(gòu)的性能分析。

(2)將機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)/力傳遞性能指標(biāo)應(yīng)用于含混合支鏈的本文機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)/力性能分析，選取了具有Y向各向同性的部分工作空間，進(jìn)行傳遞性能指標(biāo)及奇異特性的分析，分析了機(jī)構(gòu)的奇異位型，得到了局部傳遞指標(biāo)曲線，可觀測(cè)機(jī)構(gòu)距離傳遞奇異位型的遠(yuǎn)近，且在選定合適的輸入時(shí)，該機(jī)構(gòu)的所有類型奇異全部位于工作空間的邊界，無奇異工作空間較大。