吳青

摘 ? 要：在小學(xué)階段，學(xué)生只是初步認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)，知道負(fù)數(shù)的大小，能夠用正數(shù)和負(fù)數(shù)來(lái)表示相反意義的量。但是，對(duì)于負(fù)數(shù)的應(yīng)用，還是有著許多不清楚的地方，甚至教師中間仍然存在著誤解和爭(zhēng)議。因此，有必要深入認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)的內(nèi)涵，完善對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)知。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);負(fù)數(shù);相反意義;矢量

中圖分類號(hào)：G623.5 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?文章編號(hào)：1009-010X（2020）19/22-0044-06

一、問(wèn)題緣起

某校的小學(xué)畢業(yè)數(shù)學(xué)試卷上，有這樣一道選擇題：

“如果從A點(diǎn)向東走50米到B點(diǎn)記作+50米，那么從B點(diǎn)向西走200米應(yīng)記作（ ? ? ）。

A.-250米 ? ? B.-200米

C.-150米 ? ? D.+150米”

對(duì)于這道題，出卷老師給出的標(biāo)準(zhǔn)答案是“-150米”，認(rèn)為B點(diǎn)的位置是+50米，從B點(diǎn)向西走200米之后的位置就應(yīng)該是“-150米”。

但是有些閱卷老師卻認(rèn)為答案應(yīng)該是“-200米”，他們認(rèn)為“+50米”不是B點(diǎn)的位置，而是“向東走50米記作+50米”，和B點(diǎn)無(wú)關(guān)，只和行走的方向有關(guān)，向東行走為正，因此向西行走就為負(fù)，“向西走200米”應(yīng)該記作“-200米”。

兩種觀點(diǎn)爭(zhēng)執(zhí)不下，最終學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)拍板，堅(jiān)持原來(lái)給定的標(biāo)準(zhǔn)答案“-150米”是正確的，而“-200米”是錯(cuò)誤的。那么這道題的正確答案到底是多少呢？為什么會(huì)有“-150米”與“-200米”這兩種答案的爭(zhēng)論呢？這兩種觀點(diǎn)是否有其合理性呢？

這道題涉及到了負(fù)數(shù)的內(nèi)涵，直接考察學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)概念的認(rèn)識(shí)是否深刻、準(zhǔn)確，對(duì)于負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用是否熟練掌握。那么，什么是負(fù)數(shù)呢？我們肯定會(huì)脫口而出，負(fù)數(shù)不就是比0小的數(shù)嗎？沒(méi)錯(cuò)，負(fù)數(shù)確實(shí)是比0小的數(shù)，所有比0小的實(shí)數(shù)都是負(fù)數(shù)。但是，如此簡(jiǎn)單含義的背后，卻有著豐富的內(nèi)涵，值得我們?nèi)ド钊胙芯俊?/p>

負(fù)數(shù)到底是什么？負(fù)數(shù)是怎樣產(chǎn)生的？負(fù)數(shù)有什么用？下面就讓我們從負(fù)數(shù)的產(chǎn)生開(kāi)始逐步深入地探究負(fù)數(shù)的內(nèi)涵，全面地認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)。

二、負(fù)數(shù)的產(chǎn)生

據(jù)史料記載，早在兩千多年前，我國(guó)就有了負(fù)數(shù)的概念。那么，負(fù)數(shù)是怎樣產(chǎn)生的呢？

負(fù)數(shù)的源頭有兩個(gè)，其一是源于生活實(shí)踐，其二是源于數(shù)學(xué)本身。

（一）負(fù)數(shù)源于生活中相反意義的量

在狩獵和農(nóng)耕時(shí)代，采用石子計(jì)數(shù)和結(jié)繩計(jì)數(shù)，涉及到的都是自然數(shù)，“自然數(shù)”這個(gè)名稱就真實(shí)再現(xiàn)了這些數(shù)“自然而然”產(chǎn)生的過(guò)程。比如：打獵得到5只羊，就用5顆石子表示，記作數(shù)字“5”。如果把這5只羊全都吃掉了，那就沒(méi)有剩余了，于是就用“0”來(lái)表示一無(wú)所有。所以這時(shí)人們認(rèn)識(shí)的數(shù)都是0、1、2、3……這些自然數(shù)。

而當(dāng)打獵得到的動(dòng)物、種植得到的糧食吃不完時(shí)，就出現(xiàn)了商品交易。在商品交易過(guò)程中，不可避免的存在盈與虧、結(jié)余與賒欠等情形。對(duì)于這些具有相反意義同時(shí)成對(duì)存在的量，該怎么表示并區(qū)分它們呢？比如“運(yùn)進(jìn)5袋大米”和“運(yùn)出5袋大米”，雖然都是5袋大米，但是很顯然它們的意義是相反的。

為了更加簡(jiǎn)潔、明確的表示這些相反意義的量，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家創(chuàng)造了負(fù)數(shù)，用正負(fù)數(shù)來(lái)分別表示一對(duì)具有相反意義的量，比如賣出的錢數(shù)（收入）為正，買物的錢數(shù)（支出）為負(fù);余錢（賺錢）為正，不足錢數(shù)（虧錢）為負(fù);運(yùn)進(jìn)的糧食（益實(shí)）為正，運(yùn)出的糧食（損實(shí)）為負(fù);增加為正，減少為負(fù)……

由此可見(jiàn)，負(fù)數(shù)是在生活實(shí)踐中產(chǎn)生的，是用于解決生產(chǎn)生活中實(shí)際問(wèn)題的。我們知道，數(shù)學(xué)源于生活，又運(yùn)用于生活，而負(fù)數(shù)的產(chǎn)生就很好的說(shuō)明了這一點(diǎn)。

（二）負(fù)數(shù)源于數(shù)學(xué)方程有解的完善性

成書于公元一世紀(jì)的《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的一部數(shù)學(xué)專著，是“算經(jīng)十書”中最重要的一部?！毒耪滤阈g(shù)》全書共有九章，其卷八為《方程》，這里的方程其實(shí)是指多元一次方程組，將它們的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)用算籌擺成“方陣”（所以稱為“方程”）。

《九章算術(shù)》中解方程組采用的是消元法，在消元的過(guò)程中，不可避免的會(huì)出現(xiàn)系數(shù)為負(fù)數(shù)的問(wèn)題，所以《九章算術(shù)》中明確提出“以正負(fù)術(shù)入之”。魏晉時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家劉徽在注文中說(shuō)：“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之。” 意思是說(shuō)，在計(jì)算過(guò)程中遇到具有相反意義的量，要用正數(shù)和負(fù)數(shù)來(lái)區(qū)分它們，這在國(guó)際數(shù)學(xué)史上首次給出了正負(fù)數(shù)的定義。同時(shí)，劉徽還說(shuō)，“正算赤，負(fù)算黑，否則以邪正為異?！币馑际怯眉t色的算籌表示正數(shù)，用黑色的算籌表示負(fù)數(shù);也可以用斜擺的算籌表示負(fù)數(shù)，用正擺的算籌表示正數(shù)，這是用算籌表示正負(fù)數(shù)時(shí)的區(qū)分方法。

《九章算術(shù)》中還給出了正負(fù)數(shù)的加減法計(jì)算法則，但并未提及正負(fù)數(shù)的乘除計(jì)算。直到1299年，元代數(shù)學(xué)家朱世杰于《算學(xué)啟蒙》一書中才明確給出正負(fù)數(shù)的乘除法計(jì)算法則。因此最遲于13世紀(jì)末，我國(guó)對(duì)有理數(shù)四則運(yùn)算法則已經(jīng)全面做了總結(jié)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)早于西方國(guó)家。

我國(guó)古代是在方程組求解的過(guò)程中認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)的，而西方則是在對(duì)方程的解的爭(zhēng)論中才逐步有了負(fù)數(shù)的概念。負(fù)數(shù)在國(guó)外得到認(rèn)識(shí)和被承認(rèn)，要比中國(guó)晚得多。

我們知道，一元一次方程都是可解的，比如最簡(jiǎn)單的一元一次方程x+a=b，它的解為x=b-a。具體來(lái)說(shuō)，方程x+4=7的解為x=3，方程x+4=4的解為x=0。而求解方程x+4=0時(shí)，x=-4，這時(shí)候的解就是一個(gè)比0小的數(shù)，我們用負(fù)數(shù)來(lái)表示，為“-4”。

西方數(shù)學(xué)家認(rèn)為0就表示什么都沒(méi)有了，那么比0還小的數(shù)是什么意思呢？它又是多少呢？實(shí)在難以理解，所以他們把負(fù)數(shù)稱為“否定數(shù)”，而圍繞負(fù)數(shù)是否存在、是否有意義的問(wèn)題，爭(zhēng)論了很長(zhǎng)時(shí)間。

歐洲14世紀(jì)最有成就的法國(guó)數(shù)學(xué)家丘凱把負(fù)數(shù)說(shuō)成是荒謬的數(shù)。直到16世紀(jì)，大多數(shù)歐洲數(shù)學(xué)家還不承認(rèn)負(fù)數(shù)是數(shù)，不同意負(fù)數(shù)作為方程的根。比如“代數(shù)學(xué)之父”法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家韋達(dá)就不承認(rèn)負(fù)數(shù)的合法地位，他在解方程時(shí)，如果碰到了負(fù)數(shù)，就把它舍去。帕斯卡則認(rèn)為從0減去4是純粹的胡說(shuō)。而英國(guó)著名代數(shù)學(xué)家德·摩根在1831年仍認(rèn)為負(fù)數(shù)是虛構(gòu)的。1629年荷蘭人日拉爾才首先認(rèn)識(shí)和使用負(fù)數(shù)解決幾何問(wèn)題。1637年，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾建立了坐標(biāo)系，把負(fù)數(shù)安排在坐標(biāo)軸上與正數(shù)相反的位置，負(fù)數(shù)開(kāi)始有了幾何意義，獲得了實(shí)際的解釋，這才使負(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)中的地位慢慢確立起來(lái)，并逐漸為人們所認(rèn)可。而隨著19世紀(jì)整數(shù)理論基礎(chǔ)的建立，負(fù)數(shù)在邏輯上的合理性才真正建立起來(lái)。至此，負(fù)數(shù)才真正是合理合法的，具有嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)意義上嚴(yán)格的負(fù)數(shù)概念最終形成。

與負(fù)數(shù)相類似的，無(wú)理數(shù)是由于正方形的對(duì)角線與其一邊長(zhǎng)度不可公度而產(chǎn)生的，虛數(shù)同樣是在方程求根計(jì)算中產(chǎn)生的，它們一開(kāi)始都不被承認(rèn)，“無(wú)理”和“虛”這幾個(gè)字，就形象的表明了人們一開(kāi)始對(duì)這些數(shù)的認(rèn)識(shí)態(tài)度，后來(lái)慢慢的被人們所接受并建立了嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)，形成了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)概念。

數(shù)學(xué)就是這樣，一方面不斷的從生活實(shí)踐中汲取營(yíng)養(yǎng)，獲取靈感，為了解決實(shí)際問(wèn)題而不斷的創(chuàng)生新的知識(shí);另一方面，又在數(shù)學(xué)本身的知識(shí)體系不斷完善、不斷嚴(yán)密的過(guò)程中，衍生出新的數(shù)學(xué)知識(shí)。從而，數(shù)學(xué)知識(shí)體系變得越來(lái)越龐大，根深葉茂。

三、負(fù)數(shù)的內(nèi)涵

在著名數(shù)學(xué)家谷超豪院士主編的《數(shù)學(xué)詞典》中，對(duì)負(fù)數(shù)的定義只有簡(jiǎn)單的五個(gè)字：“小于零的數(shù)”，而正數(shù)同樣簡(jiǎn)單的定義為“大于零的數(shù)”。負(fù)數(shù)和正數(shù)的定義雖然很簡(jiǎn)單，但內(nèi)涵卻非常豐富。

定義中涉及到的“小于”“大于”再加上“等于”，這是兩個(gè)數(shù)比較大小時(shí)的三種不同結(jié)果，在學(xué)生剛進(jìn)入小學(xué)一年級(jí)的時(shí)候就已經(jīng)認(rèn)識(shí)了。

從上面的兩幅圖中可以看出，我們是借助“一一對(duì)應(yīng)”來(lái)認(rèn)識(shí)和理解“小于”“大于”和“等于”這三種大小關(guān)系的。把兩組物體進(jìn)行一一對(duì)應(yīng)，如果最后都沒(méi)有剩余，那么就說(shuō)這兩組物體的數(shù)量“相等”;如果其中一組物體用完了，但另一組物體還有剩余，找不到與它相對(duì)應(yīng)的物體，那么就說(shuō)有剩余的那組物體的數(shù)量“大”，另一組物體的數(shù)量“小”。這里說(shuō)的“有剩余”，也就是說(shuō)剩余物體的數(shù)量是一個(gè)非零自然數(shù)（正整數(shù)）。

下面我們從減法的角度來(lái)分析兩個(gè)自然數(shù)的大小關(guān)系。對(duì)于兩個(gè)自然數(shù)a、b，如果a-b的結(jié)果是一個(gè)非零自然數(shù)，那么就說(shuō)a大于b（或者b小于a）;反之，如果b-a的結(jié)果是一個(gè)非零自然數(shù)，那么就說(shuō)a小于b（或者b大于a）;如果a-b的結(jié)果是0，那么就說(shuō)a等于b。這里說(shuō)的“非零自然數(shù)”，也就是“正整數(shù)”?？梢钥闯觯还懿捎媚姆N方法來(lái)理解“小于”和“大于”，它們都離不開(kāi)正數(shù)。因此我們所說(shuō)的“負(fù)數(shù)是小于零的數(shù)”，這個(gè)定義同樣也離不開(kāi)正數(shù)，負(fù)數(shù)始終是和正數(shù)牽扯在一起的，與正數(shù)有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。負(fù)數(shù)是小于零的數(shù)，正數(shù)是大于零的數(shù)，就它們的內(nèi)涵來(lái)看，負(fù)數(shù)和正數(shù)表示的是相反意義的數(shù)量。

四、負(fù)數(shù)的應(yīng)用

負(fù)數(shù)是正數(shù)的相反數(shù)，表示具有相反意義的量。在生產(chǎn)生活中，負(fù)數(shù)的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：一是表示點(diǎn)的位置，二是表示量的大小。

（一）負(fù)數(shù)表示點(diǎn)的位置

當(dāng)法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾建立了坐標(biāo)系之后，負(fù)數(shù)開(kāi)始有了幾何意義，并獲得與正數(shù)同等的價(jià)值。

當(dāng)一條直線，規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度，那么就可以用這條直線上的點(diǎn)來(lái)表示所有的數(shù)（實(shí)數(shù)），這條直線就成為一根數(shù)軸。數(shù)軸上的正方向一般規(guī)定為向右或向上的方向，與之相反的，向左或向下的方向則為負(fù)方向。從原點(diǎn)出發(fā)，朝正方向的射線（正半軸）上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)都是正數(shù)，朝負(fù)方向的射線（負(fù)半軸）上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)都是負(fù)數(shù)，原點(diǎn)對(duì)應(yīng)零。

比如說(shuō)溫度，南京的氣溫是+15℃，北京的氣溫是-10℃，這里的+15和-10，其實(shí)就相當(dāng)于溫度計(jì)上兩個(gè)點(diǎn)的位置。溫度計(jì)上的0℃就相當(dāng)于是數(shù)軸的原點(diǎn)，溫度計(jì)向右或向上的方向?yàn)檎较?，因此溫度?jì)就相當(dāng)于是一根數(shù)軸，用正數(shù)或負(fù)數(shù)所表示的溫度就相當(dāng)于是數(shù)軸上的點(diǎn)。

再比如海拔高度，它相當(dāng)于一根豎直擺放的數(shù)軸，數(shù)軸的原點(diǎn)就是海拔零點(diǎn)（我國(guó)計(jì)算的海拔高度都是以青島的黃海海面作為零點(diǎn)算起），向上的方向?yàn)檎较?，表示海拔高度的正?shù)或負(fù)數(shù)，都相當(dāng)于這根數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)。地球表面海拔最高的地點(diǎn)珠穆朗瑪峰的海拔高度為+8844.43米，就表示珠穆朗瑪峰在我國(guó)海拔零點(diǎn)向上8844.43米;我國(guó)地勢(shì)最低的吐魯番盆地的海拔高度為-154.31米，表示吐魯番盆地在海拔零點(diǎn)向下154.31米。

（二）負(fù)數(shù)表示量的大小

數(shù)學(xué)和物理中的量，有標(biāo)量和矢量之分。標(biāo)量是指具有數(shù)值大小而沒(méi)有方向的量;矢量是既有大小又有方向的量，又稱為向量。很顯然，標(biāo)量只有大小而沒(méi)有方向，所以不具有相反意義;而矢量具有方向性，所以可以表示相反意義。因此，負(fù)數(shù)所表示的具有相反意義的量，其實(shí)就是矢量，正數(shù)與負(fù)數(shù)前面的正、負(fù)號(hào)就表示矢量的方向。矢量涉及到量的大小和方向，它相當(dāng)于一個(gè)變化過(guò)程，與變化的起點(diǎn)和終點(diǎn)無(wú)關(guān)。

比如股票的漲跌可以用正數(shù)和負(fù)數(shù)來(lái)表示，股票A某天的漲幅為+5%，就表示今天的股票價(jià)比昨天的收盤價(jià)高了5%;股票B的漲幅為-3.7%，就表示今天的股票價(jià)比昨天的收盤價(jià)低了3.7%。這里的+5%和-3.7%表示的就是股票價(jià)的變化量，至于昨天的收盤價(jià)是多少，今天的股票價(jià)是多少，這兩個(gè)正負(fù)數(shù)并沒(méi)有涉及。

再比如收入和支出也可以用正負(fù)數(shù)來(lái)表示，+3000元表示收入3000元，結(jié)余的錢數(shù)比前一次多了3000元;-1500元表示支出1500元，結(jié)余的錢數(shù)比前一次少了1500元。+3000和-1500這兩個(gè)正負(fù)數(shù)表示的就是錢數(shù)的變化量，至于原來(lái)的錢數(shù)是多少，現(xiàn)在的錢數(shù)是多少，我們并不知道，也無(wú)需知道。

（三）負(fù)數(shù)兩種應(yīng)用的區(qū)別

在上面的幾個(gè)生活應(yīng)用的實(shí)例中，正數(shù)和負(fù)數(shù)要么表示點(diǎn)的位置，要么表示量的多少，相互并不混雜，沒(méi)有干擾。但是在有些時(shí)候，兩者會(huì)產(chǎn)生交集，出現(xiàn)在同一個(gè)場(chǎng)景中，讓人分辨不清。

比如，電梯向上5層記作+5層，下降3層記作-3層。這里的+5和-3表示了電梯的變化量，向上為正，向下為負(fù)，至于原先是從哪一層開(kāi)始運(yùn)行的，最后停在了哪一層，都無(wú)關(guān)緊要，只需要關(guān)注向上還是向下運(yùn)行，運(yùn)行了幾層。所以這里的兩個(gè)數(shù)表示的是量的多少。但是，地上5層記作+5層，地下3層記作-3層，這時(shí)的+5和-3表示的是樓層的位置，整幢樓房相當(dāng)于一根豎直的坐標(biāo)軸，向上為正，向下為負(fù)，地面就是坐標(biāo)原點(diǎn)，因此+5和-3表示的就是這根坐標(biāo)軸上點(diǎn)的位置。

你看，在同一幢樓房里，既可以用負(fù)數(shù)來(lái)表示點(diǎn)的位置，又可以用負(fù)數(shù)來(lái)表示量的多少，兩次表示所用到的都是+5層和-3層，盡管寫出來(lái)的形式完全相同，但是兩次所表示的意義卻是完全不同的。那么，我們?cè)撊绾伪嫖鲞@兩種不同的情形呢？