陳憲麥，彭俊，姜曉文，王躍躍，王夢林，劉耀強，郭世豪

(1.中南大學土木工程學院，湖南長沙，410075；2.深圳市城市交通規(guī)劃設(shè)計研究中心有限公司，廣東深圳，518035；3.中鐵一局集團新運工程有限公司，陜西咸陽，712000)

接觸問題在無砟軌道結(jié)構(gòu)中無處不在，但是傳統(tǒng)的無砟軌道模型對接觸面粗糙度的影響考慮得并不全面。在車輛-軌道耦合動力學中[1]，只考慮軌道隨機不平順對耦合系統(tǒng)的影響。基于商業(yè)軟件的有限元建模過程[2-3]往往將各個接觸面視為完全光滑。但是在實際施工過程中，對接觸面的粗糙度有一定要求，而相關(guān)規(guī)范暫無具體限值要求[4]，或者相關(guān)限值理論支撐較不明朗[5]，需要進一步研究。當前，一些學者對車輛-軌道耦合動力學開展了研究。曾慶元等[6-7]提出了彈性總勢能不變值原理以及對號入座法則，解決多自由系統(tǒng)的剛度矩陣建立的問題；翟婉明[8]建立了較為完善的車輛-軌道空間動力學模型，并用大量實驗驗證模型的正確性；雷曉燕[9]建立了車輛-軌道-路基耦合動力學模型，利用有限元方法計算系統(tǒng)的振動響應(yīng)；高亮等[10]建立了基于有限元軟件的橋梁無縫道岔空間耦合模型，并分析了相關(guān)工況。關(guān)于分形幾何，MANDELBORT[11]首先提出分形概念；SAYLES等[12]提出接觸表面的形貌變化過程是一種非平穩(wěn)的狀態(tài)，表面形貌特征具有隨機性和自相似性等特征；BOWDEN[13]等將統(tǒng)計學理論應(yīng)用到表面接觸研究，并建立了一種彈塑性變形模型；GREENWOOD等[14]提出了G-W接觸模型，同時符合經(jīng)典力學和統(tǒng)計學的要求；MAJUMDAR等[15]率先提出了一種基于W-M 函數(shù)的接觸模型，具有不受采樣長度限制且表征準確等特性?；谝陨侠碚?，陳虹旭等[16]提出了一種分段計算模型，推導出粗糙表面接觸變形過程；陳建江等[17]確定了微凸體的面積分布密度函數(shù)，計算出了接觸剛度和接觸荷載的解析式；劉宇等[18]通過有限元軟件建立三維粗糙表面模型，并研究其摩擦生熱過程；馮蘭蘭[19]利用W-M 分形模擬了線接觸粗糙表面并研究其接觸特性；黃華等[20]借助W-M 分形函數(shù)，研究了新的方法，求取分形路面不平度的分形維數(shù)。本文作者從研究攤鋪層表面不平順度限值的角度出發(fā)，通過有限元軟件建立攤鋪層粗糙表面實體部件，結(jié)合部件與傳統(tǒng)模型，計算不同攤鋪層粗糙度作用下模型的響應(yīng)，分析相關(guān)計算結(jié)果，提出攤鋪層表面粗糙度的限值，以期為施工以及養(yǎng)護維修提供參考。

1 新型無砟軌道結(jié)構(gòu)體系介紹

針對現(xiàn)有的軌道結(jié)構(gòu)體系施工速度較慢，養(yǎng)護維修不便捷等缺點，提出了城市軌道交通新型無砟軌道結(jié)構(gòu)體系。新型無砟軌道結(jié)構(gòu)體系如圖1所示。由圖1可見：除鋼軌和扣件外，新型無砟軌道結(jié)構(gòu)體系由軌道板、減振墊層和混凝土攤鋪層等部件組成。其中軌道板以及減振墊層由廠家預(yù)制，制作環(huán)境較理想，表面粗糙度較小，不需要考慮其表面粗糙度的問題。而混凝土攤鋪層是采用大型攤鋪設(shè)備將觸變式混凝土材料直接攤鋪形成的。一方面，這種施工方法引入大型攤鋪機節(jié)省了施工時間，同時，采用觸變式混凝土材料也極大地縮短了混凝土初凝時間；另一方面，這種工藝形成的混凝土攤鋪層表面較為粗糙，其原因在于觸變式混凝土材料本身流動性能較差以及施工過程中缺少振搗。因此，需要評價攤鋪層表面的粗糙情況對軌道結(jié)構(gòu)的影響，并得出相應(yīng)限值以指導施工及后期養(yǎng)護維修。

圖1 新型軌道結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structural diagram of new track

2 基于W-M函數(shù)的粗糙表面構(gòu)造

W-M 函數(shù)[15]是模擬和重構(gòu)分形表面較為通用的一種手段，較好地還原了分形表面處連續(xù)但不光滑的幾何性質(zhì)，其重構(gòu)的表面較好地保留了原有表面的自相似性和隨機性，是一種重構(gòu)分形表面的典型函數(shù)。二維的W-M函數(shù)的數(shù)學表達式為

式中：Z為粗糙表面的垂直坐標；x為粗糙表面的水平坐標；D為粗糙表面的分形維數(shù)，對于二維W-M函數(shù)，1

三維W-M函數(shù)是在二維W-M函數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展得來

式中：T為隨機部數(shù)；An與Bn為獨立同分布的隨機變量，共同服從[0，2π]的均勻分布；y為垂直于x的水平坐標，2

以W-M 分形函數(shù)為理論基礎(chǔ)，通過Python 編程模擬出基于W-M 分形函數(shù)的粗糙表面。在本文中，模擬一塊軌道板(長為4.8 m，寬為2.4 m)的粗糙表面，參考文獻[17]關(guān)于采樣頻率的取值，在軌道板長度和寬度方向采樣間隔均為0.04 m。如圖2所示，直接生成的粗糙表面特征過少，并不能直接用于有限元建模。對W-M 函數(shù)進行三次樣條插值處理，樣條插值后的粗糙表面不僅較好地保留了原有粗糙表面的幾何性質(zhì)，而且能滿足有限元建模的相關(guān)要求，故在后續(xù)建模中均采用三次樣條插值后的數(shù)據(jù)。

為直觀地反映分形維數(shù)對三維表面粗糙度的影響，尺寸常數(shù)G取固定值0.001 m，分形維數(shù)D分別取2.1，2.4，2.7和2.9，基于W-M分形函數(shù)以及三次樣條插值方法，生成不同分形維度的三維粗糙表面，如圖3所示。

圖2 樣條插值前后分形粗糙表面對比Fig.2 Comparison of fractal surfaces before and after cubic spline interpolation

圖3 基于不同分形維數(shù)D的分形粗糙表面Fig.3 Fractal rough surface based on different fractal dimensions

由圖3可見：基于W-M 分形函數(shù)構(gòu)造的三維粗糙表面具有明顯的不規(guī)則性和較好的隨機性。當分形維數(shù)D取2.1時，三維粗糙表面各部分起伏較為平緩，表面褶皺較少，表面結(jié)構(gòu)復(fù)雜度較低。在分形維數(shù)D不斷增大的過程中，三維分形表面各部分的起伏變得劇烈，表面褶皺增加，表面結(jié)構(gòu)趨于復(fù)雜。由此判定，分形維數(shù)D是影響三維粗糙表面的表面粗糙程度的主要參數(shù)，通過增大分形維數(shù)D，可以有效地增大三維粗糙表面的表面粗糙程度。

3 無砟軌道系統(tǒng)有限元模型的建立

3.1 三維粗糙表面模型的建立

針對W-M 函數(shù)模擬生成具有隨機性和自相似性的數(shù)據(jù)，采用三次樣條插值處理后滿足有限元建模的相關(guān)要求，但是編程軟件并沒有直接輸出ABAQUS 標準輸入文件的方法，故需要編寫相關(guān)程序?qū)?shù)據(jù)輸出成STL 文件。將STL 文件導入Geomagic DX軟件，通過面片修補，精確曲面生成等命令生成三維實體模型。取尺寸常數(shù)G為0.01 m，分形維度D為2.7，生成的三維粗糙表面模型如圖4所示。

圖4 三維粗糙表面模型Fig.4 3D rough surface model

由圖4可見：生成的三維粗糙表面具有較高的隨機性和自相似性，既滿足分形表面的相關(guān)性質(zhì)，又滿足模擬混凝土粗糙表面的現(xiàn)實需求，采用該方法生成的三維粗糙表面模型能夠滿足下一步有限元建模的要求。通過采用不同的尺寸常數(shù)G和分形維度D的組合，生成任意三維粗糙表面模型。

3.2 無砟軌道系統(tǒng)有限元模型的建立

無砟軌道系統(tǒng)由鋼軌、扣件系統(tǒng)、軌道板、彈性墊層以及混凝土攤鋪層組成，具體模型如圖5所示。為了減少計算量，鋼軌采用Euler 梁單元模擬，使用Euler 梁單元既能簡化計算過程，又能保證足夠的數(shù)值精度[7]?？奂到y(tǒng)采用彈簧阻尼單元進行模擬。軌道板、彈性墊層以及混凝土攤鋪層均采用實體單元進行建模。

圖5 無砟軌道系統(tǒng)有限元模型Fig.5 Finite element model of ballastless track system

有限元模型約束為軌道板兩端設(shè)置縱向以及橫向約束，鋼軌兩端完全固定，混凝土攤鋪層底面完全固定。軌道板與彈性墊層，彈性墊層與混凝土攤鋪層之間的垂向接觸類型均為“硬接觸”，切向接觸類型均為“罰接觸”，摩擦因數(shù)取0.7。各部件具體的材料參數(shù)如表1所示?？紤]到混凝土攤鋪層表面存在大量幾何不平順，故采用顯式動力學分析，荷載取軸質(zhì)量16 t，工況為準靜態(tài)分析，荷載因子取1.5，荷載作用位置為軌道板中部。在實驗板兩端另外放置基底光滑的普通板，以減小邊界效應(yīng)的影響。

4 有限元仿真結(jié)果分析

4.1 有限元模型驗證

為驗證模型的可靠性，將混凝土攤鋪層設(shè)置成理想的光滑平面。將計算結(jié)果與文獻[21-22]進行對比。由于文獻[21-22]均沒有計算彈性墊層面剛度為0.14 N/mm3的工況，故采用插值等方法合理估計該剛度的軌道結(jié)構(gòu)位移。具體計算結(jié)果如表2所示。

表1 各部件材料參數(shù)Table 1 Material parameters of each component

表2 本文計算結(jié)果與相關(guān)文獻對比Table 2 Comparison of calculation results between this paper and related literature mm

由表2可知，本文計算結(jié)果與文獻計算結(jié)果較為接近，分析誤差產(chǎn)生的原因是墊層厚度取值以及支撐方式等方面的差異。綜上，本文計算結(jié)果與文獻計算結(jié)果較為接近，具有一定程度的可信度，可以用作下一步計算分析。

4.2 不設(shè)置彈性墊層的仿真結(jié)果

在原模型的基礎(chǔ)上取消減振墊層，并且通過不斷調(diào)整特征常數(shù)G和分形維數(shù)D，改變軌道結(jié)構(gòu)攤鋪層的粗糙度，直到軌道系統(tǒng)響應(yīng)超過限值，圖6所示為不同粗糙度情況下軌道板的位移響應(yīng)以及應(yīng)力響應(yīng)。由圖6可見：隨著粗糙度增加，軌道板應(yīng)力分布表現(xiàn)出更強的隨機性，局部地區(qū)出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象。

圖6 不同粗糙度情況下軌道板響應(yīng)云圖Fig.6 Response cloud map of track slab under different roughnesses

軌道結(jié)構(gòu)各部件力學響應(yīng)如表3所示。由表3可知，攤鋪層完全光滑時，軌道結(jié)構(gòu)各部分響應(yīng)均未超過相關(guān)軌道結(jié)構(gòu)安全性以及耐久性的限值，能夠滿足軌道結(jié)構(gòu)的服役要求；改變基底粗糙度，取G=1 mm，D=2.1，軌道板最大拉應(yīng)力為4.15 MPa，軌道板最大拉應(yīng)力已經(jīng)超過C40抗拉極限強度，無墊層的軌道結(jié)構(gòu)會因拉應(yīng)力過大而開裂，不能滿足服役要求。

實施現(xiàn)場澆筑或攤鋪工序的實際工程中，很難將混凝土粗糙度控制在1 mm以內(nèi)。在相同條件下，采用彈性墊層的軌道結(jié)構(gòu)，軌道板最大拉應(yīng)力僅為0.447 MPa。其余各部分力學響應(yīng)均滿足要求。

表3 不設(shè)置彈性墊層的軌道力學響應(yīng)Table 3 Mechanical response of track structure without elastic cushion

綜上所述，為滿足安全性和耐久性方面的需求，軌道結(jié)構(gòu)需要鋪設(shè)彈性墊層。

4.3 不同粗糙度下各部件響應(yīng)結(jié)果

通過不斷調(diào)整特征常數(shù)G和分形維數(shù)D，改變攤鋪層的粗糙度，并將改變粗糙度之后的粗糙墊層作為部件導入原有模型參加計算，直到新型軌道結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的某部分力學響應(yīng)超過相關(guān)限值的要求。相關(guān)限值主要參考文獻[4-5]。

本文采用網(wǎng)格搜索法確定基底粗糙度的限值。設(shè)置分形維數(shù)D的取值空間為2.1，2.3，2.5，2.7和2.9。特征常數(shù)G的取值空間為從0.001 m 開始，依次遞增，直到有限元計算結(jié)果中軌道結(jié)構(gòu)某部分響應(yīng)的相關(guān)指標超限。

為防止多變量對仿真結(jié)果的干擾，采用控制變量法，固定特征常數(shù)G的取值為0.001 m，分別計算不同分形維度D下的軌道結(jié)構(gòu)響應(yīng)。

不同分形維度下軌道結(jié)構(gòu)各部分響應(yīng)如圖7所示，由圖7可見：當特征常數(shù)G固定時，軌道結(jié)構(gòu)各部分的響應(yīng)均呈現(xiàn)嚴格的單調(diào)遞增趨勢，且隨著分形維數(shù)D增加，軌道結(jié)構(gòu)各部分響應(yīng)增加趨勢加劇。

不同粗糙度的軌道結(jié)構(gòu)的層間接觸會發(fā)生變化，層間接觸變化主要體現(xiàn)為接觸面積的變化。當攤鋪層粗糙度增加時，層間接觸面積減小，具體接觸面積見表4。

由圖7可知，當分形維數(shù)D在2.1到2.9之間取值時，軌道結(jié)構(gòu)各部分響應(yīng)均呈現(xiàn)遞增趨勢。為了簡化計算流程，節(jié)約計算時間，在之后分析過程中分形維數(shù)D只計算2.1以及2.9這2種工況。

軌道結(jié)構(gòu)各部件的響應(yīng)如表4所示，分形維數(shù)D取值為2.1 和2.9，特征常數(shù)G從初始值0.001 m開始遞增，遞增幅度為0.001 m。當特征常數(shù)G從0.001 m增加到0.004 m時，軌道結(jié)構(gòu)的應(yīng)力響應(yīng)以及位移響應(yīng)均不斷增大。當特征常數(shù)G取0.004 m，分形維度D取2.1時，軌道板位移超過文獻[5]中軌道板位移不能大于3 mm的規(guī)定。

綜上所述，攤鋪層粗糙度應(yīng)當控制在G=0.004 m，D=2.1 之下。根據(jù)計算結(jié)果：特征常數(shù)G的取值控制在0.003 m以下時，分形維數(shù)D取任意值，軌道結(jié)構(gòu)響應(yīng)均滿足要求。同時考慮現(xiàn)場實測的困難性，依舊采用傳統(tǒng)的粗糙度測量概念，即粗糙度測量曲線幅值不應(yīng)大于3 mm。

圖7 不同分形維度下軌道結(jié)構(gòu)各部件的響應(yīng)Fig.7 Response of different parts of track structure under different fractal dimensions

表4 不同粗糙度下軌道結(jié)構(gòu)各部件響應(yīng)Table 4 Response of different parts of track structure under different roughness

5 結(jié)論

1)分形維數(shù)D是影響三維粗糙表面的表面粗糙程度的主要參數(shù)，分形維數(shù)越大，三維表面越粗糙。

2)無彈性墊層的軌道結(jié)構(gòu)不能滿足服役要求。

3)當特征常數(shù)G不變時，隨著分形維數(shù)D增加，軌道結(jié)構(gòu)各部分的響應(yīng)均增大，兩者呈明顯正相關(guān)關(guān)系。

4)有限元仿真計算結(jié)果表明，當特征常數(shù)G=0.004 m，D=2.1 時，軌道板位移超過相關(guān)規(guī)范限值；當G≤0.003 m時，分形維數(shù)D取任意值，軌道結(jié)構(gòu)響應(yīng)均滿足要求。

5)綜合考慮系統(tǒng)服役的安全性和現(xiàn)場測量操作的可行性，建議城市軌道交通板式無砟軌道結(jié)構(gòu)攤鋪層表面的粗糙度測量曲線幅值不應(yīng)大于3 mm。