周衛(wèi)東

[摘要]長(zhǎng)期的課堂教學(xué)實(shí)踐使我們認(rèn)識(shí)到，倘若在課堂教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)容的揭示、教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，還能揭示知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，揭示解題方法和規(guī)律的抽象概括過(guò)程，讓學(xué)生較為深入地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的內(nèi)涵（即“數(shù)學(xué)味”），一定能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升。在教學(xué)內(nèi)容中找尋“數(shù)學(xué)味”的配方，在教學(xué)過(guò)程中探尋“數(shù)學(xué)味”的實(shí)質(zhì)，在數(shù)學(xué)思想中觸碰“數(shù)學(xué)味”的靈魂，在數(shù)學(xué)文化中品嘗“數(shù)學(xué)味”的芳香，才能讓數(shù)學(xué)課更有“數(shù)學(xué)味”。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)味;教學(xué)內(nèi)容;教學(xué)過(guò)程;數(shù)學(xué)思想;數(shù)學(xué)文化

[中圖分類號(hào)]

G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)] 1007-9068（ 2020） 29-0001-03

追求“數(shù)學(xué)昧”永遠(yuǎn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的第一要?jiǎng)?wù)。要讓數(shù)學(xué)課有“數(shù)學(xué)味”，不是一種簡(jiǎn)單的技巧，它不像“泡湯”一樣，只要把“數(shù)學(xué)”放到湯碗里攪拌一下，就會(huì)出現(xiàn)有“數(shù)學(xué)”味道的湯，而應(yīng)該對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)涵進(jìn)行系統(tǒng)思考，并進(jìn)行“智慧加工”，使之逐漸彌漫出“數(shù)學(xué)”的芳香，從而潤(rùn)澤學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、在教學(xué)內(nèi)容中找尋“數(shù)學(xué)味”的配方

從教材的編排體系來(lái)看，數(shù)學(xué)教材由兩條“河流”組成：由具體知識(shí)構(gòu)成的、易于被發(fā)現(xiàn)的“明河流”和由數(shù)學(xué)內(nèi)涵構(gòu)成的、具有潛在價(jià)值的“暗河流”。這兩條“河流”是骨架與血脈的關(guān)系。有了數(shù)學(xué)內(nèi)涵做靈魂，各種具體的數(shù)學(xué)知識(shí)才不成為孤立的、零散的東西。正因?yàn)橛辛藬?shù)學(xué)內(nèi)涵，“游離”狀態(tài)的知識(shí)才會(huì)凝結(jié)成優(yōu)化的知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成一個(gè)有機(jī)的整體。只有做到“看書(shū)要看到底，書(shū)要看透，要看到書(shū)背面的東西”（蘇步青），充分挖掘數(shù)學(xué)教材中的靈魂——數(shù)學(xué)內(nèi)涵，用數(shù)學(xué)內(nèi)涵引領(lǐng)課堂教學(xué)，才能高屋建瓴，提契整個(gè)知識(shí)體系，進(jìn)行再創(chuàng)造、再建構(gòu)。

比如，人教版教材一年級(jí)上冊(cè)中的“1-5的認(rèn)識(shí)”，以一個(gè)溫馨興旺的農(nóng)家生活“大場(chǎng)景”，引導(dǎo)學(xué)生正確建立“1-5”各數(shù)的概念。教材蘊(yùn)含著從不同的角度對(duì)數(shù)進(jìn)行抽象的數(shù)學(xué)思想：關(guān)于1，有1位老奶奶、1個(gè)面盆和1只可愛(ài)的小狗;關(guān)于2，有2只鵝、2個(gè)竹筐、2個(gè)雞食盤(pán);關(guān)于3，有3只鳥(niǎo)、3盆花……畫(huà)面的多姿多彩，不僅僅是為了美觀，還充分說(shuō)明：同一個(gè)數(shù)，可以表示植物的多少也可以表示動(dòng)物的多少，可以表示有生命事物的多少，也可以表示無(wú)生命事物的多少，可以是灰色的，也可以是彩色的，表明元素的多少與物體的屬性沒(méi)有關(guān)系;在確定一個(gè)集合的元素有多少時(shí)，不需要用完整的物體來(lái)表示，可以用物體的一個(gè)部分來(lái)表示，但這一部分必須和物體存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系;在確定一個(gè)集合的元素有多少時(shí)，表示的不僅僅可以是地上的物體，也可以是天上飛的，這說(shuō)明對(duì)數(shù)的抽象無(wú)處不在，世界上到處充滿數(shù)。只有意識(shí)到這些數(shù)的“內(nèi)涵”，數(shù)學(xué)教學(xué)才能走得更遠(yuǎn)，才能更具生長(zhǎng)力。

從教學(xué)層次的角度來(lái)分析，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)分宏觀設(shè)計(jì)、微觀設(shè)計(jì)和情境設(shè)計(jì)，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)充分從這三個(gè)層面進(jìn)行分析、思考。無(wú)論哪個(gè)層次上的設(shè)計(jì)，其目的都是讓學(xué)生參與到獲得和發(fā)展認(rèn)知的數(shù)學(xué)活動(dòng)中。因此，教學(xué)設(shè)計(jì)不能只停留在數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)程中的“還原”，更應(yīng)該有數(shù)學(xué)內(nèi)涵的飛躍和創(chuàng)造。

以空間與圖形領(lǐng)域中“圖形與位置”內(nèi)容的安排為例。這部分內(nèi)容主要包括二年級(jí)用“第幾排第幾個(gè)”的方式描述物體的位置，五年級(jí)用“數(shù)對(duì)”表示方格圖上點(diǎn)的位置，以及六年級(jí)用“方向和距離”表示平面圖上點(diǎn)的位置。上述內(nèi)容中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)內(nèi)涵主線是“依據(jù)小學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知水平，讓他們逐步感知數(shù)與平面圖形上點(diǎn)的關(guān)系，培養(yǎng)符號(hào)感，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的基本方法和價(jià)值”。其中，用“第幾排第幾個(gè)”的方式描述物體的位置，主要著眼于學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn);用“有序數(shù)對(duì)”表示方格圖上點(diǎn)的位置，則是對(duì)生活經(jīng)驗(yàn)的提煉，也是對(duì)感性認(rèn)識(shí)的提升;用”方向和距離”確定平面圖上點(diǎn)的位置，其基本思想與用“數(shù)對(duì)”表示點(diǎn)的位置是類似的，但它引導(dǎo)學(xué)生從不同角度認(rèn)識(shí)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵。因此，這就需要搞清楚不同內(nèi)容應(yīng)怎樣概括共性，相似內(nèi)容應(yīng)該怎樣區(qū)別個(gè)性，而要順利地完成這一任務(wù)，必須依靠數(shù)學(xué)內(nèi)涵作為核心指導(dǎo)，有了深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵做指導(dǎo)，才能設(shè)計(jì)出智慧靈動(dòng)的教學(xué)思路，才能引發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性的思維活動(dòng)。

二、在教學(xué)過(guò)程中探尋“數(shù)學(xué)味”的實(shí)質(zhì)

數(shù)學(xué)內(nèi)涵往往呈隱蔽形式，沉積、凝聚在數(shù)學(xué)結(jié)論的背后，常常滲透在學(xué)生獲得知識(shí)和解決問(wèn)題的過(guò)程中。著名數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為：“學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑，都是由自己去發(fā)現(xiàn)、探究，因?yàn)檫@種理解最深刻，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系?！苯處煈?yīng)該有效地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成的過(guò)程，讓學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、抽象、概括的過(guò)程中，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)思考的能力。只有如此，學(xué)生所掌握的知識(shí)才是鮮活的，這樣的學(xué)習(xí)才是充滿智慧的。

在人教版教材五年級(jí)上冊(cè)“用數(shù)對(duì)確定位置”一課的教學(xué)中，我努力使學(xué)生獲得有價(jià)值的思維空間，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的價(jià)值和魅力。

在學(xué)生掌握了用數(shù)對(duì)描述位置的基本方法后，我創(chuàng)設(shè)以下問(wèn)題，以引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

師：小明在運(yùn)動(dòng)之前的位置是（3，4），現(xiàn)在的位置是（7，4），你能看出這兩個(gè)數(shù)對(duì)之間的聯(lián)系嗎？

生1：這兩個(gè)數(shù)對(duì)的后一個(gè)數(shù)都是4。

生2：后一個(gè)數(shù)之所以沒(méi)有變化，是因?yàn)樗\(yùn)動(dòng)的前后都在同一行，所以后一個(gè)數(shù)都是4。

生3：我看出了前一個(gè)數(shù)由3變成了7，是因?yàn)樗驏|走了4格。

生4：用3加上4就是7了。

師：不簡(jiǎn)單！假如小明向東走了20格，他的位置是多少？如果向東走了50格，位置又是多少呢？

師：小明改變了運(yùn)動(dòng)方式，他運(yùn)動(dòng)后的位置是（3，20），你知道他是怎么走的嗎？

生5：我認(rèn)為小明是向北走的。

生6：我同意生5的意見(jiàn)，而且小明走了16格。

師：看得出，同學(xué)們對(duì)方格圖上點(diǎn)的位置變化已經(jīng)掌握得比較清晰了。不妨再深入思考，以點(diǎn)（3，4）為例，你是怎么找到這個(gè)點(diǎn)的？

師：你認(rèn)為哪幾根線可以決定這個(gè)點(diǎn)的位置？（學(xué)生分別指出表示第3列的直線和表示第4行的直線）

師：咱們的思考不妨再深入一點(diǎn)。這兩根線又是由哪些線決定的呢？（學(xué)生感受到問(wèn)題很有意思，非常興奮;有學(xué)生指出最左邊和最下面的兩條線）

師：其實(shí)，有了這兩條線，也就能決定圖中任何一點(diǎn)的位置。沒(méi)想到，我這一帶，竟帶出了一群中學(xué)生，這一知識(shí)將在中學(xué)的學(xué)習(xí)中有進(jìn)一步的研究。

在此教學(xué)片段中，教師采取數(shù)形結(jié)合的方式，抓住運(yùn)動(dòng)前后數(shù)對(duì)的變化，引導(dǎo)學(xué)生分析、對(duì)比、想象、概括，得出了數(shù)對(duì)的變化規(guī)律，有效地訓(xùn)練了學(xué)生觀察、對(duì)比、抽象、概括等多元的數(shù)學(xué)能力。讓學(xué)生在方格圖中找點(diǎn)，體會(huì)到找點(diǎn)的方法，再通過(guò)“是怎樣的線條決定了方格圖中點(diǎn)的位置”，感悟縱橫交錯(cuò)兩條線的作用，進(jìn)而得出橫軸和縱軸在確定位置中的作用，凸顯了確定數(shù)對(duì)時(shí)的關(guān)鍵點(diǎn)。課上教師的一句“這一帶，竟帶出了一群中學(xué)生”，潤(rùn)物無(wú)聲的知識(shí)結(jié)構(gòu)滲透，讓學(xué)生在感受符號(hào)體系的過(guò)程中感受到相應(yīng)的數(shù)學(xué)價(jià)值，幫助學(xué)生建立起大數(shù)學(xué)的宏觀視野。

三、在數(shù)學(xué)思想中觸碰“數(shù)學(xué)味”的靈魂

“在一切方法的背后，如果沒(méi)有一種生機(jī)勃勃的精神，它們到頭來(lái)，不過(guò)是笨拙的工具?！边@里的精神指的就是數(shù)學(xué)思想。從哲學(xué)角度來(lái)看，“思想”即“觀念”，即社會(huì)存在于意識(shí)中的反映。而所謂數(shù)學(xué)思想，是人們對(duì)數(shù)學(xué)研究統(tǒng)一的本質(zhì)性認(rèn)識(shí)，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識(shí)之中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果，是被人們反復(fù)運(yùn)用和確認(rèn)，且?guī)в衅毡橐饬x和相對(duì)穩(wěn)定的特征的，它直接支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng).是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。由此看來(lái)，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)內(nèi)涵的核心，它決定了數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)、思考核心和發(fā)展目標(biāo)。

從宏觀角度看，小學(xué)數(shù)學(xué)思想按研究層次不同大致可分為以下幾類：一為哲學(xué)的（包括邏輯的）思想，如分析法、綜合法、演繹法、歸納法、類比法等;二為科學(xué)的思想，如實(shí)驗(yàn)法、圖表法、假設(shè)法等;三為數(shù)學(xué)的思想，如化歸法、遞推法、列舉篩選法等。前者應(yīng)當(dāng)是整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是最上位的思想，但在具體的問(wèn)題中，會(huì)涉及數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)模型、等量替換、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想的形成同樣有一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，只有經(jīng)過(guò)理解、應(yīng)用、促疑，才能使學(xué)生真正領(lǐng)會(huì)，并形成自覺(jué)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想的意識(shí)，建立起自我的“數(shù)學(xué)思想系統(tǒng)”。

比如，教學(xué)“三角形的三邊關(guān)系”，在學(xué)生已經(jīng)初步掌握了“兩邊之和大于第三邊”這一規(guī)律后，北京名師孫貴合老師設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)問(wèn)題來(lái)驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思維向思想層面“躍升”：有兩根小棒，一根長(zhǎng)7厘米，另一根長(zhǎng)9厘米，把其中一根小棒剪成兩段，用拼的方法，你能將它圍成一個(gè)三角形嗎？學(xué)生帶著這樣的“任務(wù)”走了自己的“世界”里，思維成果不斷涌現(xiàn)。

生1：不可以把短的小棒剪成兩根，因?yàn)椤皟蛇呏痛笥诘谌叀笔侵篙^短的兩邊之和應(yīng)該大于第三邊，只能把長(zhǎng)的剪成兩段。

生2：我把長(zhǎng)9厘米的小棒分成了4和5，3和6，2和7，1和8。

生3：他說(shuō)錯(cuò)了，不可以分成1和8。如果這樣分，兩條短邊是1和7，長(zhǎng)邊是8，這樣兩邊之和就等于第三邊了。

師：了不起！不僅找出了答案，還洞察到其中的細(xì)微之處。相信同學(xué)們對(duì)今天所學(xué)的規(guī)律理解得更為透徹了！

師：讓我們把這幾種情況畫(huà)下來(lái)。

師：除了這幾種情況外，還有其他可能嗎？

生4（遲疑地）：剪開(kāi)的兩條邊的長(zhǎng)度可以是小數(shù)嗎？

師：明白他的意思嗎？能不能舉一些例子？

生5：比如，9可以分成4.1和4.9，3.1和5.9。

生6：9可以分成2.1和6.9，9可以分成1.1和7.9。

生7：9可以分成2.12和6.88，9可以分成1.16和7.84。

師：這些都可以拼成三角形嗎？

生（齊）：能！

生8：這些都能滿足“兩邊之和大于第三邊”的條件。

師：太好了！一共有多少種可能呢？

生（齊）：無(wú)數(shù)種。

師：讓我們把些可能性也用圖表示出來(lái)。想象一下，如果把這些點(diǎn)都描出來(lái)，這幅圖像什么？

生9：像鳥(niǎo)巢。

生10：像國(guó)家大劇院。

“‘無(wú)限這一主題不應(yīng)被看成與小學(xué)數(shù)學(xué)完全無(wú)關(guān)的，如何能夠通過(guò)有關(guān)的內(nèi)容幫助學(xué)生建立起關(guān)于無(wú)限的一些認(rèn)識(shí)，就是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要目標(biāo)?！保ㄠ嵷剐耪Z(yǔ)）在上述教學(xué)中，三角形三邊之間的關(guān)系在多種可能性中不斷地被強(qiáng)化、被“結(jié)構(gòu)”，由邊的長(zhǎng)度（整數(shù)、一位小數(shù)、兩位小數(shù)，甚至更多位小數(shù)）可能性的拓展，在學(xué)生腦中逐漸形成一個(gè)“無(wú)數(shù)”點(diǎn)的集合，這不就是“極限思想”的有機(jī)滲透嗎？

不僅如此，兩條不斷變化著的短邊的長(zhǎng)度與固定的長(zhǎng)邊之間，形成一個(gè)a+b>c（其中a

四、在數(shù)學(xué)文化中品嘗“數(shù)學(xué)味”的芳香

華東師范大學(xué)教授張奠宙在一篇文章中寫(xiě)道：“我希望我們大家來(lái)了解數(shù)學(xué)，有三個(gè)層面：一個(gè)層面就是公式定理，像勾股定理、求根公式等;第二個(gè)層面就是思想，就是我們的公理化思想、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)思想等;還有一個(gè)層次就是文化價(jià)值。”的確，數(shù)學(xué)是人類實(shí)踐活動(dòng)的產(chǎn)物，社會(huì)與文化不僅推動(dòng)著數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)數(shù)學(xué)也是推動(dòng)社會(huì)與文化發(fā)展的關(guān)鍵性因素。

從表面來(lái)看，任何教學(xué)所傳播的總是文化，而且是在形態(tài)上可以呈現(xiàn)多種多樣的文化。傳播文化并不意味著教學(xué)就是有“文化”內(nèi)涵的，因?yàn)槲覀兯非蟮奈幕?，不是那種可見(jiàn)的、物態(tài)化的符號(hào)，圖像或行為，而是一種語(yǔ)言，一種只對(duì)它孜孜叩問(wèn)的人才會(huì)彰顯的無(wú)聲語(yǔ)言。

對(duì)“善”的向往。數(shù)學(xué)，如果給它打扮，它就像一位光彩照人的科學(xué)女王。但是如果在數(shù)學(xué)課堂上呈現(xiàn)的僅僅是邏輯，僅僅是枯燥的幾個(gè)公式，那么數(shù)學(xué)這個(gè)“美女”就變成X光下的骷髏，就是X光的照片。不容否認(rèn)，數(shù)學(xué)有著強(qiáng)大的教化功能，有著較濃的“善”的品質(zhì)，比如探索過(guò)程中的執(zhí)著與堅(jiān)韌，論證過(guò)程中的務(wù)實(shí)與嚴(yán)謹(jǐn)，創(chuàng)造過(guò)程中的開(kāi)拓與超越，乃至耐心、責(zé)任感、敬業(yè)品質(zhì)、民主精神等。數(shù)學(xué)課堂就要有意地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“善”產(chǎn)生一種“心向往之”的需要。

對(duì)“根”的叩問(wèn)。意義感的恢復(fù)是兒童建構(gòu)完整人格的前提。意義產(chǎn)生于人與世界相遇的時(shí)刻。當(dāng)我們意識(shí)到自己與世界成為一個(gè)整體時(shí)，我們的生活才具有完滿意義，也就是說(shuō)，世界是意義生成的背景，意義的產(chǎn)生需要使每一個(gè)人與這一背景重新建立聯(lián)系。在課程領(lǐng)域，兒童意義感的恢復(fù)需要使之重新與某種超越的東西相連，使課程成為人的內(nèi)在精神之旅。教師對(duì)司空見(jiàn)慣的數(shù)學(xué)內(nèi)容總是做成人化的解讀，做簡(jiǎn)單化的詮釋，做線性化的推進(jìn)，很少考慮這一教學(xué)內(nèi)容從哪里來(lái)，亦即缺少對(duì)“根”叩問(wèn)的一種姿態(tài)。比如，量角器上的刻度為什么要平均分成180份？為什么要有內(nèi)圈刻度和外圈刻度？量角的時(shí)候?yàn)槭裁匆龅健包c(diǎn)點(diǎn)重合”“邊線重合”……這些涉及數(shù)學(xué)知識(shí)的本源問(wèn)題和元認(rèn)知等關(guān)注“根”的策略，教師理應(yīng)關(guān)注并盡力彰顯其豐富的知識(shí)內(nèi)涵。

對(duì)“史”的關(guān)注。人類發(fā)展已有著幾千年的歷史，滄海桑田的演變，給后代積淀下厚實(shí)的數(shù)學(xué)文化，翻開(kāi)歷史的長(zhǎng)卷，古今中外的文化史實(shí)猶如一顆顆亮燦燦的明珠鑲嵌在歷史的長(zhǎng)廊上，令人目不暇接。這些寶貴的財(cái)富，理應(yīng)成為我們的教學(xué)資源，“雕刻”在學(xué)生記憶的深處，成為他們數(shù)學(xué)素養(yǎng)中不可或缺的一部分。比如，教學(xué)“圓周長(zhǎng)的計(jì)算”時(shí)，我運(yùn)用現(xiàn)代化教育手段呈現(xiàn)劉徽割圓術(shù)以及祖沖之的偉大成就，引領(lǐng)學(xué)生了解圓周率的探索歷程，豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)內(nèi)容的同時(shí)拓展了學(xué)生探索的空間。學(xué)生通過(guò)觀察、聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，正多邊形的周長(zhǎng)越接近圓的周長(zhǎng)，正多邊形的周長(zhǎng)與直徑的比值越接近圓的周長(zhǎng)與直徑的比值，從而感受極限思想——圓內(nèi)接正12 288邊形、正24 576邊形的邊長(zhǎng)非常小，從而受到了震撼。了解圓周率的探索歷程的活動(dòng)，是一個(gè)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的過(guò)程，是一個(gè)體驗(yàn)科學(xué)精神的過(guò)程，是一個(gè)感受、欣賞數(shù)學(xué)文化的過(guò)程。

（責(zé)編金鈴）