解才先

(江蘇省高郵中學，225600)

數形結合是數學的重要思想方法之一.著名數學家華羅庚說過:“數無形,少直觀;形無數,難入微”.而向量具有代數與幾何的雙重身份,是數學知識的交匯點,為江蘇高考八個C級考點之一,是每年高考必考內容.本文以蘇教版《數學》必修4第二章第四節(jié)“向量的數量積”第一課時為課題,設計并實施了一節(jié)追本溯源、循序漸進的數學課.教學過程實錄如下.

一、溫故知新

師:前面我們學習了向量的概念及表示,向量的線性運算及向量的坐標表示,在向量的線性運算中,學習了向量的加法,向量的減法與向量的數乘.

問題1向量除了與實數相乘(向量的數乘)之外,還有沒有別的“乘法”呢?

設計意圖孔子曰:“溫故而知新,可以為師矣”.通過對已有知識的復習,既能溫習舊知識,又能感受到新知識是在什么基礎上發(fā)展起來的.感受數學文化循序漸進、不斷發(fā)展的過程,有助于加深學生對舊知識的再理解,意識到新知識是在舊知識框架基礎上發(fā)展起來的.

二、新知探索

已知一個物體在力F作用下產生的位移量為S,該力所做的功如何計算?

(1)若力F的方向與物體的運動方向相同，則W=|F||S|.

(2)若力F的方向與物體的運動方向垂直，則W=0.

(3)若力F的方向與物體的運動方向相反，則W=-|F||S|.

師:這里力F與位移S均為矢量即向量,功可以看成是由兩個向量進行某種運算之后的結果,(1)中方向相同,即力與位移的夾角為0°;(2)中方向垂直,即力與位移的夾角為90°;(3)中方向相反,即力與位移的夾角為180°.三個等式又可以寫成W=|F||S|cos 0°,W=|F||S|cos 90°,W=|F||S|cos 180°,這是三種角度比較特殊的情形.一般地:

(4)若力F的方向與物體的位移S的夾角為θ呢?

問題2“做功運算”能一般化成什么樣的數學運算?

W=|F||S|cosθ,這里力F與位移S均為矢量，即向量.F一般化記為a,S一般化記為b,則有W=|a||b|cosθ,等式右邊是三個數乘積形式,結果為數量,即左邊是標量(數量),我們稱之為向量的數量積.

向量的數量積可用文字表述為:已知向量a,b,它們的夾角為θ,我們把數量|a||b|cosθ稱為向量的數量積(或內積),記作a·b,即a·b=|a||b|cosθ,則根據向量的數量積的文字表述,功的運算可以記為

W=|F||S|cosθ=F·S.

設計意圖以學生已有知識為背景進行導入,符合學生的認知發(fā)展規(guī)律.德國教育家第斯多惠說過:“教學必須符合人的天性及其發(fā)展的規(guī)律,這是任何教學的首要的、最高的規(guī)律”.通過對已有物理知識的再學習,探索背后隱藏的數學知識,讓學生感受物理數學“一家親”,通過知識發(fā)生與發(fā)展過程的教學,使學生感受和領悟數學化過程及其思想.數學教學不是單一的教授知識,還必須關注思想、方法的滲透與能力的培養(yǎng).

三、新知形成

向量數量積定義中有一句話:夾角為θ.在功的學習中我們也提到了力與位移的夾角,力與位移均為矢量即向量,下面來學習兩向量的夾角.

問題3討論探究圖2中正六邊形各向量的夾角:(1)a與b的夾角大小為120°.(2)a與c的夾角大小為60°.

師:對于(2)，有的同學說是60°,有的同學說是120°,到底是多少呢?

注意(1)在兩向量的夾角定義中,兩向量必須是“共起點”的;

(2)向量的夾角的范圍為0°≤θ≤180°.

問題4上述“向量的數量積”文字表述是否精確嚴謹?

生:不夠嚴謹,向量的夾角定義中指的是兩個非零向量,那么這里也應該指明是非零向量,也要注明向量夾角的范圍.

向量的數量積可進一步表述為:已知兩個非零向量a,b的夾角為θ(0°≤θ≤180°),則稱數量|a||b|cosθ為向量a和b的數量積,記作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.

師:這就是我們這節(jié)課學習的向量數量積的定義.定義中要求是非零向量,但是學習向量的概念及其表示時,我們知道向量也包括零向量,是不是這個定義不夠完美呢!為彌補這一“遺憾”,我們規(guī)定:

(1)零向量與任何向量的數量積是0,即0·a=0(等式右邊的0指的是實數0)；

(2) 符號“·”在向量運算中既不能省略,也不能用“×”代替.

特別地,當a與b同向時,a·b=|a||b|;當a與b反向時,a·b=-|a||b|.

問題5向量的數量積運算的結果與向量的加、減、數乘運算有什么不同?

設計意圖葉圣陶先生說過:“教師之謂教,不在全盤授予,而在相機誘導.”以學生為中心,以問題串為驅動,采用啟發(fā)、引導、探究相結合的教學方法,讓學生親身感受數學知識逐步形成與完善發(fā)展的過程.課堂上教師不能是一味地“填鴨式”灌輸,然后讓學生死記硬背,而應該是讓學生親身去感悟數學、發(fā)現數學、理解數學、熱愛數學.

四、 新知應用

例1已知向量a與向量b的夾角為θ,|a|=2,|b|=3,分別在下列條件下求a·b.

(1)θ=135°; (2)a∥b; (3)a⊥b.

例2已知?ABC三邊長滿足AB=3,BC=4,CA=5,求

練習判斷下面說法是否正確:

(1)若a≠0,則對任意非零向量b,有a·b≠0.

(2)若a·b=0,則a與b至少有一個是0.

(3)若a與b的夾角為銳角,那么a·b>0.

(注：(3)亦可變?yōu)椋喝鬭·b>0,那么a與b的夾角為銳角.)

(4)對任意的a有a2=|a|2成立.

(5)任意a與b滿足a·b=b·a成立.

(6)任意a,b和c滿足(a·b)c=a(b·c).

我們知道，對于任意實數a,b,c,有如下運算律:

(1)a·b=b·a;

(2)(a·b)·c=a·(b·c).

請大家課后思考:向量的數量積滿足哪些運算律呢?

設計意圖美國著名學者布魯納認為:“不論我們選教什么知識,務必使學生理解知識的基本結構,這是在運用知識方面的最低要求.”通過對向量數量積定義的應用,讓學生真正理解定義結構的精髓,學以致用,使其對知識的理解得到升華.一般學習完新定義之后,我們會研究它的運算律等,通過題目引出基本結構,也為下節(jié)課的學習埋下伏筆.讓學生在意猶未盡中結束課堂,激發(fā)學生對數學濃厚的思考熱情與學習興趣.