何雪冰

江蘇省江浦高級中學(xué) (211800)

在考場上如何選擇合適的解題方法？這是學(xué)生必須要思考和面對的問題.在高三二輪復(fù)習(xí)課上筆者選擇了一道高考題，選用四種具有代表性的解法進(jìn)行了講評，對所選的方法進(jìn)行了比較分析，取得了較好效果.數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾說過：“數(shù)學(xué)是人的一種活動，如同游泳一樣，要在游泳中學(xué)會游泳．我們也必須在數(shù)學(xué)中學(xué)會數(shù)學(xué)．”

1.原題展現(xiàn)

(2019年江蘇卷第12題)如圖1,在ΔABC中，D

圖1

2.錯(cuò)因分析

(1)向量較多，沒有思路或思路太多，無處入手，基底思想理解不深刻；(2)分點(diǎn)O的位置不明確，直接猜測；(3)字母較多，線性運(yùn)算或坐標(biāo)運(yùn)算不正確，運(yùn)算能力薄弱；

3.解法透析

3.1基底思想，堅(jiān)定不移

解法反思：這種方法是解決此類向量問題的通性通法，本題困難在于線段AD上分點(diǎn)O的位置如何確定.利用向量基底的思想，恰當(dāng)選擇一組不共線的向量為基底，通過線性運(yùn)算將平面內(nèi)所有向量轉(zhuǎn)化為基向量，利用向量共線定理和平面向量基本定理建立聯(lián)系確定參數(shù)的值.

3.2 建立坐標(biāo)，化險(xiǎn)為夷

圖2

解法2：如圖2建立坐標(biāo)系，不妨設(shè)C(2,0),A(3a,3b)，則D(1,0),E(2a,2b),直線AD的方程：y=

評析：通過建立直角坐標(biāo)系，將思維量轉(zhuǎn)為運(yùn)算量，降低本題的思維難度，利用點(diǎn)坐標(biāo)、直線方程等代數(shù)手段刻畫圖形關(guān)系，從而建立向量坐標(biāo)的等式，最終得到線段AB,AC長度的比值，這種方法也是解決向量問題的常用方法.

3.3 方程視角，別有洞天

評析：方程視角給這道題注入了一股清風(fēng)，讓人耳目一新，轉(zhuǎn)化為角θ的等式可謂是水到渠成.這個(gè)解法告訴我們，知識與方法是相輔相成相通的，可以充分發(fā)揮各自優(yōu)點(diǎn)，服務(wù)于解題.

圖3

3.4 巧作平行，意外驚喜

評析：這一道題的背景實(shí)際上是初中的一道平面幾何問題.解決這類問題，既要想到平面向量的知識，也要想到平面幾何知識，有時(shí)可能會起到事半功倍的效果.

4.解法辨析及反思

結(jié)合這四種方法，學(xué)生在課堂上展開了熱烈的討論，到底哪一種方法好？得到如下結(jié)論：

視角知識與方法優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)向量基底基底化思想、共線定理、平面向量基本定理通性通法線性運(yùn)算要求高坐標(biāo)坐標(biāo)化思想,設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)、直線方程易于入手,降低思維計(jì)算較復(fù)雜方程齊次化思想、方程恒成立減少運(yùn)算不易想到平面幾何平行線段成比例減少運(yùn)算讀圖要求高

學(xué)生經(jīng)過了高三兩輪復(fù)習(xí)，已經(jīng)系統(tǒng)地回顧了高中數(shù)學(xué)知識與方法，但是看問題不知道從哪入手，也不知道使用哪種解題方法，這背后是因?yàn)閷W(xué)生思路與方法的混亂，沒有形成清晰的知識脈絡(luò).因此我們要想學(xué)生所想，順學(xué)生所思，在學(xué)生解決問題的過程與方法中發(fā)現(xiàn)問題，及時(shí)梳理，幫助學(xué)生確定解題的方向和視角．盡可能給出多種不同解法，這樣學(xué)生才能在面對問題時(shí)會有多種選擇的方法．通過對“個(gè)問題”的研究，回顧與深化相關(guān)的知識點(diǎn)及解題思想方法，從而讓學(xué)生達(dá)到對“類問題”的解決，也就是我們通常說的讓學(xué)生通過一題多解，最終實(shí)現(xiàn)多題一解．教師平時(shí)教學(xué)要善于方法的總結(jié)與優(yōu)化，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會主動歸納總結(jié)典型問題的各種解法，并掌握處理問題的通性通法．在掌握基本方法的同時(shí)，還要讓學(xué)生學(xué)會分析、比較，優(yōu)化解題方法．這樣當(dāng)學(xué)生遇到不同問題時(shí)，才會選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，少走彎路?/p>