王瑞生

廣東省惠州市惠陽區(qū)崇雅實驗學(xué)校 (516213)

解三角形是高考必考知識點，從歷年高考試題分析可知，其難度適中，考查知識點較為綜合，求解入手容易但數(shù)學(xué)運算能力、邏輯推理能力要求較高，以致很多學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)“會做不得分”的現(xiàn)象.為此，我們要對典型高考題、?？寄M題等進(jìn)行分析總結(jié)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，掌握某一類問題的解題方法，以至事半功倍.

引例1 (2013年高考數(shù)學(xué)全國新課標(biāo)卷Ⅱ理科第17題)ΔABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知a=bcosC+csinB．

(Ⅰ)求B，(Ⅱ)若b=2,求△ABC面積的最大值.

方法二：在ΔABC中，由正弦定理得a=

反思：(1)余弦定理b2=a2+c2-2accosB是三角形三條邊長和一個內(nèi)角的等量關(guān)系式，可變形為b2=(a+c)2-2ac(1+cosB).當(dāng)已知b和B時，余弦定理可以看作a+c和ac的等量關(guān)系式，結(jié)合基本不等式,可分別探求a+c和ac的最值問題.

(3)已知三角形的一邊及其對角，求該三角形面積的最大值.這類問題的解題思路有以下模型1：

在ΔABC中，已知內(nèi)角A及其所對的邊長為a.

求(1)AB+AC的最小值；(2)AB·AC的最大值.

圖1

高考題再現(xiàn)：(2019年高考數(shù)學(xué)北京卷文科第8題)如圖1,A、B是半徑為2的圓周上的定點,P為圓周上的動點,∠APB是銳角,大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為( ).

A.4β+4cosβ

B.4β+4sinβ

C.2β+2cosβD.2β+2sinβ

思路探求：本題靈活考查學(xué)生直觀想象、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

圖2

如圖2,設(shè)該圓心為點O,連接OA、OB,半徑r=2,∠AOB=2∠APB=2β,陰影部分Ⅰ(扇形)的面積S1=βr2=4β為定值,SΔOAB=

在ΔOAB中可得AB=4sinβ，問題轉(zhuǎn)化為已知ΔPAB的一條邊AB及其對角∠APB，求另兩邊PA·PB的最大值.利用模型1的解題方法可得正確答案為B.

引例2 (2015年高考數(shù)學(xué)全國新課標(biāo)卷Ⅱ理科第17題)△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，△ABD是△ADC面積的2倍.

反思：(1)余弦定理具有將三角形的三條邊和一個內(nèi)角建立等量關(guān)系式的重要功能.

(3)條件線段和待求線段組成以一對鄰補角α、β分別作為一個內(nèi)角的兩個三角形的三條邊時，結(jié)合余弦定理，建立方程cosα+cosβ=0可解三角形.即有以下模型2:

圖3

如圖3，在ΔABC中，線段AB、BD、AD、CD、AC組成以∠ADB與∠ADC為一對鄰補角的兩個三角形，由cos∠ADB+cos∠ADC=0，結(jié)合余弦定理可解三角形.

高考題再現(xiàn)：(2019年高考數(shù)學(xué)全國新課標(biāo)卷Ⅰ理科第10題)已知橢圓C的焦點為F1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點.若│AF2│=2│F2B│，│AB│=│BF1│，則C的方程為( ).

圖4

教學(xué)感悟:數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的解三角形問題應(yīng)重視數(shù)學(xué)學(xué)科觀念、規(guī)律探索，注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透和考查.高考試題在解三角形問題中?？祭霉交蚬降淖冃沃苯忧笾?，分析正弦定理、余弦定理的結(jié)構(gòu)特征與題設(shè)條件的關(guān)系，特別是三角形的邊角聯(lián)系，精準(zhǔn)選用公式及變換的方向，體培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng).