閻躍觀，代文晨，牛永澤，譙震

中國礦業(yè)大學(xué)(北京)地球科學(xué)與測繪工程學(xué)院，北京 100083

礦區(qū)地下開采活動引起的地表移動和變形會對地表鐵路、公路及建筑物的安全造成不可忽略的影響?；贕NSS技術(shù)和水準等測量方法對礦區(qū)地表沉降情況進行長期、連續(xù)的監(jiān)測，并及時預(yù)測未來一段時間內(nèi)地表沉降趨勢，對保證井下安全生產(chǎn)和地表建(構(gòu))筑物安全具有重要意義。目前常用的預(yù)測方法主要有Logistic曲線模型、Gompertz曲線模型、Asaoka曲線模型、馬爾科夫模型和 GM(1，1)模型等[1]?；诨疑碚摰腉M(1，1)模型能夠解決貧信息的問題，通過挖掘數(shù)據(jù)內(nèi)部潛在信息，從而達到高精度預(yù)測[2]。為此，近年來許多學(xué)者對GM(1，1)模型在沉降監(jiān)測中的應(yīng)用進行了研究[3-9]。陳俊杰等[3]利用MATLAB軟件對測量數(shù)據(jù)進行等時序化處理，使用GM(1，1)模型求得概率積分法參數(shù)并進行了相關(guān)分析；李慶勇等[4]建立了非等間距GM(1，1)模型，并通過實際應(yīng)用證明了GM(1，1)模型在礦區(qū)沉降監(jiān)測中具有良好的精度；劉云生[5]對數(shù)據(jù)進行加權(quán)改進，擴大了GM(1，1)模型的適用性；彭正明等[6]基于二次擬合優(yōu)化方法建立了GM(1，1)改正模型，并在實際應(yīng)用中取得了較好的效果；龔祖官等[7]提出一種采用卡爾曼濾波對原始序列降噪和利用辛普森公式改正背景值的動態(tài)GM(1，1)模型，并通過實例證明動態(tài)GM(1，1)模型預(yù)測精度優(yōu)于GM(1，1)模型；趙澤昆等[8]提出了時間加權(quán)-新陳代謝GM(1，1)模型并應(yīng)用于建筑物沉降預(yù)測，證明了該模型預(yù)測精度高于傳統(tǒng)GM(1，1)模型；陶武勇等[9]提出了一種適合非等間距GM(1，1)模型求解的總體最小二乘算法，并改善了GM(1，1)模型中的病態(tài)問題。

大量研究證明，GM(1，1)模型可用于建筑物和礦區(qū)地表沉降預(yù)測。但是，在礦區(qū)地表沉降監(jiān)測中，地表移動持續(xù)時間長，因而具有長時序的外業(yè)觀測數(shù)據(jù)特征，且地表沉降趨勢和下沉速度均表現(xiàn)為非線性的變化，導(dǎo)致GM(1，1)模型在礦區(qū)沉降監(jiān)測應(yīng)用中有以下兩個方面的局限性：一是礦區(qū)地表非線性沉降增大了GM(1，1)模型的模型誤差，降低了預(yù)測精度；二是在長時序數(shù)據(jù)中難以選取合適的數(shù)據(jù)區(qū)間。數(shù)據(jù)區(qū)間的選擇對模型精度和預(yù)測精度有重要的影響，但是目前關(guān)于建模數(shù)據(jù)時序區(qū)間選取的研究尚不多見。

為解決上述問題，本文通過分析礦區(qū)地表非線性沉降特征，建立了GM(1，1)預(yù)計殘差改進模型，提出了適用于礦區(qū)沉降預(yù)測的建模數(shù)據(jù)區(qū)間選取方法、建模預(yù)測流程和模型精度評定標準，并進行了實例驗證。

1 礦區(qū)地表非線性沉降特征分析

地下煤層開采引起的上覆巖層和地表移動變形，影響地面建(構(gòu))筑物的安全。通常，用地表下沉速度反映地表移動的劇烈程度，地表下沉速度越大，地表移動變形越劇烈。在開采過程中，煤層傾角小于45°時，依據(jù)下沉速度把地表移動變形過程劃分為3個階段[10-11]。

(1) 開始階段：地表累計下沉量達到10 mm至下沉速度達到1.67 mm/d。

(2) 活躍階段：地表下沉速度大于1.67 mm/d。

(3) 衰退階段：地表下沉速度小于1.67 mm/d至地表下沉累積量(6個月內(nèi))不超過30 mm。

地表的下沉量主要集中在活躍階段，此階段的下沉量占總下沉量的85%以上[12]。

依據(jù)上述3個階段作出地表移動階段的速度變化曲線圖(圖1)。圖中，區(qū)間Ⅰ對應(yīng)開始階段，區(qū)間Ⅱ和Ⅲ對應(yīng)活躍階段，區(qū)間Ⅳ對應(yīng)衰退階段。

圖1 地表移動階段示意圖Fig.1 Sketch map of surface movement stage

當煤層傾角大于45°時，劃分地表移動階段的下沉速度為1 mm/d[10]。

由圖1可以看出，在地表移動過程中，下沉速度的變化在時間上是連續(xù)的：區(qū)間Ⅰ內(nèi)下沉速度較小，始終小于1.67 mm/d；區(qū)間Ⅱ內(nèi)下沉速度由小逐漸增大，直到最大值；區(qū)間Ⅲ內(nèi)，下沉速度從最大逐漸減小，直到1.67 mm/d；區(qū)間Ⅳ中下沉速度也是逐漸減小，地表下沉趨于穩(wěn)定。由分析可知，地表點下沉速度總體表現(xiàn)為先增大后減小的非線性變化特征，相應(yīng)的地表沉降也表現(xiàn)為非線性變化。由圖1還可看出，四個區(qū)間內(nèi)的下沉速度變化趨勢各不相同，地表下沉加速度在區(qū)間Ⅰ內(nèi)由小逐漸增大，在區(qū)間Ⅱ中期附近達到最大(記作tamax)然后開始減小，在速度達到最大時(記作tvmax)減小為零；區(qū)間Ⅲ內(nèi)下沉速度開始減小，此時加速度由0開始相對于區(qū)間Ⅱ反向逐漸增大，在區(qū)間Ⅲ中期附近達到最大后加速度逐漸減小；區(qū)間Ⅳ內(nèi)下沉速度越來越小，加速度也是逐漸減小。因此，在礦區(qū)地表非線性沉降監(jiān)測中，可以參考當前時刻所屬階段的下沉速度和加速度變化特征選取數(shù)據(jù)進行建模預(yù)測。

2 GM(1，1)改進模型及精度評定

在預(yù)測工作中，一般都是先通過探究已有觀測數(shù)據(jù)的變化規(guī)律確定合適的模型并進行預(yù)測[13-18]。但是在非線性沉降的礦區(qū)地表監(jiān)測中，始終受到模型誤差的困擾。為減小建模誤差對預(yù)測結(jié)果的影響、提高預(yù)測精度，本文建立了GM(1，1)預(yù)計殘差改進模型，對模型殘差進行加權(quán)改正，同時提出了針對礦區(qū)地表非線性沉降的建模數(shù)據(jù)區(qū)間選取方法、建模預(yù)測流程和模型精度評定標準。

2.1 GM(1，1)改進模型建立

受測量環(huán)境和天氣等因素影響，很難確保外業(yè)測量數(shù)據(jù)為嚴格的等時間序列，因此建模之前需要對實測數(shù)據(jù)作等時序化處理，并將高程值轉(zhuǎn)換為累計下沉值作為建模數(shù)據(jù)。

(1) 對所選取的建模數(shù)據(jù)進行累加處理。由

x0(m)，x0(m+1)，x0(m+2)，…，x0(n)

得

x1(m)，x1(m+1)，x1(m+2)，…，x1(n)

其中

m>>1，n>>m+3

(2) 建立白化形式微分方程。將累加處理結(jié)果對時間t求一次偏導(dǎo)，得

(1)

式(1)記為GM(1，1)。其中，a、u為灰參數(shù)，其白化值(灰區(qū)間中的一個可能值)為

(3)利用最小二乘法求解微分方程：

(2)

Yn=[x(0)(m+1)，x(0)(m+2)，…，x(0)(n)]

(4) 對模型誤差加權(quán)改正，得到改正后殘差：

(3)

k=m，m+1，m+2，…，n

(5) 將式(2)代入式(1)得到時間函數(shù)，經(jīng)過累減處理和殘差改正，建立GM(1，1)改進模型。

2.2 建模區(qū)間的選取和預(yù)測流程

2.2.1 建模數(shù)據(jù)區(qū)間選取方法

針對礦區(qū)地表移動持續(xù)時間長、具有長時序的外業(yè)觀測數(shù)據(jù)、下沉速度和地表沉降均表現(xiàn)非線性變化的特點，提出了先階段后截尾的建模數(shù)據(jù)選取方法。該方法先按照下沉速度劃分階段，再依據(jù)速度的變化趨勢即加速度確定建模數(shù)據(jù)區(qū)間選取。

設(shè)時刻ti、tj、tk、tl分別位于Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個下沉階段，tamax為階段Ⅱ中期附近的最大加速度時刻，tvmax為最大下沉速度時刻，t-amax為階段Ⅲ中期附近的反向加速度最大時刻。

已知當前時刻ti處于下沉階段Ⅰ內(nèi)，根據(jù)階段劃分標準和下沉速度變化曲線，可以確定ti時刻的下沉速度小于1.67 mm/d，且下沉加速度小于1.67 mm/d2，地表沉降量較小，按照GM(1，1)模型建模最低要求，只需截取最后4次數(shù)據(jù)(ti-3，ti-2，ti-1，ti)進行建模預(yù)測。

時刻tk位于活躍階段Ⅲ內(nèi)且tvmax<

時刻tl位于衰退階段Ⅳ內(nèi)，下沉加速度小于1.67 mm/d2且下沉速度小于1.67 mm/d，該階段的地表下沉量也比較小，截取該階段最后4次數(shù)據(jù)建模預(yù)測。

當下沉加速度達到最大后逐漸減小趨近于0時，下沉速度即將達到最大，此時截取tamax，…，tj-1，tj區(qū)間(對應(yīng))的數(shù)據(jù)進行建模預(yù)測，同時還可以加密觀測次數(shù)，以保證礦區(qū)安全生產(chǎn)和為探究地表移動規(guī)律提供充足數(shù)據(jù)。

2.2.2 GM(1，1)改進模型的預(yù)測流程

(1) 利用MATLAB軟件對數(shù)據(jù)進行插值處理，得到等時序的累計沉降數(shù)據(jù)。

(2) 計算下沉速度，并依據(jù)下沉階段速度標準劃分為相應(yīng)的階段。下沉速度計算公式：

式中，v為地表下沉速度；Δh為Δt時間內(nèi)的高程變化。

(3) 根據(jù)建模數(shù)據(jù)區(qū)間選取方法，確定建模數(shù)據(jù)區(qū)間。

(4) 根據(jù)2.1節(jié)建立的改進模型進行建模、模型殘差加權(quán)改正。

(5) 模型精度評定和進行預(yù)測。

2.3 模型精度評定

GM(1，1)模型常用的模型精度評定方法主要有殘差檢驗、關(guān)聯(lián)度檢驗和后驗差檢驗3種[19-24]。GM(1，1)改進模型精度評定標準由相對誤差Q、后驗差比值C和小誤差概率P共同確定。評定過程如下：

(1) 計算殘差e(k)。

k=m，m+1，m+2，…，n

(2) 計算原始序列x0(k)和殘差e的方差s12和s22。

(3)計算相對誤差Q、后驗差比值C和小誤差概率P。

C=s2/s1

P={|e(k)|<0.6745s1}

(4)按照表1內(nèi)容對模型進行精度評定。模型精度等級按下式確定：

模型精度等級=max{Q所在的級別，P所在的級別，C所在的級別}

表1 精度檢驗等級參照

3 實例應(yīng)用分析

為探究我國西部礦區(qū)地表沉降動態(tài)變化規(guī)律，對某礦工作面的走向和傾向觀測線進行長時間的外業(yè)觀測。本文以該工作面走向線Z16號監(jiān)測點為例，探討GM(1，1)模型和GM(1，1)預(yù)計殘差改進模型的精度，驗證建模數(shù)據(jù)區(qū)間選取方法的有效性。首先，利用MATLAB工具對觀測數(shù)據(jù)作插值處理，得到了Z16號監(jiān)測點26期等時序的累計沉降數(shù)據(jù)序列(表2)，時序代表初始觀測后的觀測次數(shù)，時序26對應(yīng)的累計沉降量為348.1 mm。然后，按照建模預(yù)測流程分別使用GM(1，1)模型和GM(1，1)預(yù)計殘差改進模型進行建模預(yù)測，得到 GM(1，1)模型和GM(1，1)改進模型的相對誤差Q、后驗差比值C和小誤差概率P等精度參數(shù)。

由表2可知，時序11對應(yīng)的累計沉降量 10.2 mm，地表移動已處于開始階段，利用GM(1，1)模型和GM(1，1)預(yù)計殘差改進模型分別對相同區(qū)間的數(shù)據(jù)(以區(qū)間11-25為例)進行建模預(yù)測。上述建模對應(yīng)的建模數(shù)據(jù)區(qū)間長度、預(yù)測結(jié)果和殘差相對誤差等結(jié)果見表3。此外，由于當前時刻位于活躍階段Ⅱ內(nèi)且時序數(shù)據(jù)少，利用試驗法對區(qū)間11-25內(nèi)的所有數(shù)據(jù)依次進行建模，探討不同建模數(shù)據(jù)區(qū)間和模型精度的關(guān)系和驗證建模數(shù)據(jù)區(qū)間選取方法的有效性，各個區(qū)間對應(yīng)的模型精度參數(shù)和預(yù)測值等結(jié)果見表4。

表2 Z16號監(jiān)測點等時序累計下沉觀測數(shù)據(jù)

表3 GM(1，1)模型和GM(1，1)改進模型預(yù)測結(jié)果

表4 對不同區(qū)間數(shù)據(jù)的建模預(yù)測結(jié)果

由表3可知，通過對同一區(qū)間11-25建模，GM(1，1)預(yù)計殘差改進模型的預(yù)測殘差比GM(1，1)模型小17.1 mm，相對誤差減小了4.9%?？梢?，GM(1，1)預(yù)計殘差改進模型精度優(yōu)于GM(1，1)模型。

比較表4中建模數(shù)據(jù)區(qū)間11-25和區(qū)間 14-25對應(yīng)模型精度和預(yù)測結(jié)果可得，模型精度的Q、C和P都得到了提高，模型精度提高10%，預(yù)測精度提高約5%。由建模數(shù)據(jù)區(qū)間14-25至22-25的結(jié)果可得，隨著建模數(shù)據(jù)區(qū)間長度減小，相對誤差Q由22.5%降至0.9%，后驗差比值C由0.17降至0.03，模型誤差由23.9%降低到0.08%，模型等級由“不合格”變成“好”，模型精度得到了顯著提高，證明了建模數(shù)據(jù)區(qū)間選取方法的有效性。此外，還計算了建模數(shù)據(jù)區(qū)間長度與模型精度的相關(guān)性，相關(guān)系數(shù)為0.98，證明建模區(qū)間長度和模型精度具有很強的相關(guān)性，建模數(shù)據(jù)區(qū)間越短，數(shù)據(jù)距離預(yù)測時刻的時間距離越小，更能真實反應(yīng)數(shù)據(jù)的變化趨勢。

4 結(jié) 論

針對GM(1，1)模型在礦區(qū)非線性沉降應(yīng)用中模型誤差大和預(yù)測精度低的問題，建立了基于預(yù)計殘差加權(quán)改正的GM(1，1)改進模型，提高了預(yù)測精度。

針對礦區(qū)地表非線性沉降預(yù)測中建模數(shù)據(jù)區(qū)間難以選取的問題，提出了建模數(shù)據(jù)選取方法、預(yù)測流程和精度評定標準。

通過實例應(yīng)用證明，在GM(1，1)預(yù)計殘差改進模型預(yù)測精度優(yōu)于GM(1，1)模型；先階段后截尾的建模數(shù)據(jù)區(qū)間選取方法解決了礦區(qū)非線性沉降監(jiān)測中建模數(shù)據(jù)難以選取的問題。