陳建偉

(浙江省諸暨中學(xué)，浙江 諸暨 311800)

在某復(fù)習(xí)資料中曾經(jīng)出現(xiàn)如下這個(gè)習(xí)題.

例題.電磁彈射是我國(guó)最新研究的重大科技項(xiàng)目，原理可用下述模型說(shuō)明.如圖1(甲)所示，虛線MN右側(cè)存在一個(gè)豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一邊長(zhǎng)L的正方形單匝金屬線框abcd放在光滑水平面上，電阻為R，質(zhì)量為m，ab邊在磁場(chǎng)外側(cè)緊靠MN虛線界.t=0時(shí)起磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t的變化規(guī)律是B=(B0+kt)，k為大于零的常數(shù)，空氣阻力忽略不計(jì).

圖1

(1) 求t=0時(shí)刻，線框中的感應(yīng)電流I及其功率P.

(2) 若線框cd邊穿出磁場(chǎng)時(shí)速度為v，求線框穿出磁場(chǎng)過(guò)程中，安培力對(duì)線框所做的功W及通過(guò)導(dǎo)線截面的電荷量q.

(3) 若用相同的金屬線繞制相同大小的n匝線框,如圖1(乙)所示,在線框上加一質(zhì)量為M的負(fù)載物，求t=0 時(shí)線框加速度的大小和方向.

筆者認(rèn)為(2)問(wèn)中“若線框cd邊穿出磁場(chǎng)時(shí)速度為v”存在科學(xué)性問(wèn)題.線框在既定的物理?xiàng)l件下從靜止出發(fā)，是不可能沖出磁場(chǎng)的，分析如下.

設(shè)任意t時(shí)刻，cd邊產(chǎn)生的位移為r，有

(1)

ma=BIL.

(2)

(3)

Φ=B(L-r)L.

(4)

B=(B0+kt).

(5)

解得

(6)

首先給題中各物理量隨意數(shù)值化，即任意給定一個(gè)初始條件，不妨設(shè)置如下參數(shù)：L=1 m，m=3 kg，R=2 Ω，B0=2 T,k=0.5 T/s.

在matlab軟件中輸入上述二階變系數(shù)微分方程，得出各物理量隨時(shí)間的變化關(guān)系如圖2-6所示.

圖2 v0=0時(shí)r-t關(guān)系

圖3 v0=0時(shí)v-t關(guān)系

圖4 v0=0的對(duì)比圖

圖5 v0=0時(shí)F-t關(guān)系

圖6 v0=0時(shí)Φ-t關(guān)系

圖2為位移r隨時(shí)間t的變化圖像，圖3為速度v隨時(shí)間t的變化圖像，圖4是把兩個(gè)圖像在同一圖像中顯示，圖4的小圖為20 s內(nèi)明顯變化時(shí)段的放大圖.(左縱坐標(biāo)為位移、右縱坐標(biāo)為速度)，從圖中不難發(fā)現(xiàn)位移趨向于1 m時(shí)，速度趨向于0.

圖5是安培力F隨時(shí)間而變化關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)足夠長(zhǎng)時(shí)間后力趨向于0，圖6是磁通量Φ隨時(shí)間而變化關(guān)系，足夠長(zhǎng)時(shí)間后磁通量趨向于定值.

分析如下.

t=0開(kāi)始，磁通量Φ增大，安培力F向左，cd向左運(yùn)動(dòng)，速度增大.但是可以發(fā)現(xiàn)t=0時(shí)刻，F(xiàn)最大，此后F慢慢減小.可以推斷，開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后，在公式中F=BIL中，盡管磁感應(yīng)強(qiáng)度B在增大，但是k不變，回路面積減小，感生電動(dòng)勢(shì)減小，又cd棒向左運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生了與感生電動(dòng)勢(shì)方向相反的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，因此總電動(dòng)勢(shì)減小，總電流I減小，最終由圖像可見(jiàn)F減小.

從圖中可以看到，當(dāng)位移大致為r=0.16 m時(shí)，磁通量Φ達(dá)到最大值，此后開(kāi)始減小.可以推斷這是由于cd向左的較大速度引起的磁通量減小程度大于由磁感應(yīng)強(qiáng)度增大所引起的磁通量增大程度而產(chǎn)生的結(jié)果(初始Φ=2 Wb，最大時(shí)約Φ=2.4 Wb).因此安培力F反向向右(且可以看到此后向右的力先增大后減小最終趨向于0)，相應(yīng)的速度開(kāi)始減小(最大速度約v=0.145 m/s).

長(zhǎng)時(shí)間后磁通量趨向于某一定值(約2.18 Wb)，速度、安培力趨向于0，r趨向于1 m，可以推斷出最終cd會(huì)停在磁場(chǎng)內(nèi)側(cè)無(wú)限接近于邊界處.(磁通量為某一定值是無(wú)限大磁感應(yīng)強(qiáng)大與無(wú)限小面積乘積的結(jié)果)

由此可得，在上述既定數(shù)值的物理?xiàng)l件下，cd邊不可能穿出磁場(chǎng).

為了使結(jié)果有普適性，接著筆者更改了上述所有物理量的初始條件(唯有初速度為0保持不變)，經(jīng)過(guò)運(yùn)行后得到的結(jié)果，依然是cd邊不可能穿出磁場(chǎng).(運(yùn)行過(guò)程相似，只不過(guò)是速度開(kāi)始減小的時(shí)刻和位移值、各種最大值等改變了)

綜上分析，筆者認(rèn)為本題情景，線框從靜止出發(fā)，是不可能穿出磁場(chǎng)的.

那么在初速度不為0的情況下，結(jié)果又會(huì)如何呢？筆者依然保持如上一樣的物理量初始條件.并且給予一定的初速度，經(jīng)過(guò)多次運(yùn)行發(fā)現(xiàn)，當(dāng)初速度比較小的情況下，cd依然不能穿出磁場(chǎng)，如圖7中v=0.1 m/s的情況，如圖8中v=0.25 m/s的情況.

圖7

圖8

當(dāng)初速度比較大的情況下，cd可以穿出磁場(chǎng)，如圖9中v=0.85 m/s的情況，如圖10中v=1.2 m/s的情況.

圖9

圖10

從上述4種情況，可知當(dāng)v=0.1 m/s的情況，速度是先增加后減小，另外3種情況速度直接開(kāi)始減小.可以根據(jù)如下的計(jì)算得出v=0.25 m/s是直接開(kāi)始減速的最小初速度.

由(6)式， 要求當(dāng)t=0，r=0時(shí)，

(7)

解得

(8)

即當(dāng)初速度為0.25 m/s時(shí)，一出發(fā)cd就開(kāi)始減速了，從圖中也可以看出.

經(jīng)過(guò)多次調(diào)試，當(dāng)初速度大約為v=0.85 m/s，cd剛剛能出磁場(chǎng)，由圖9可以看出.

為了結(jié)果的普適性，筆者繼續(xù)更改了上述所有物理量的初始條件，經(jīng)過(guò)運(yùn)行后得到的結(jié)果，依然初速度較小的情況下，cd不能出磁場(chǎng)，當(dāng)初速度較大的情況下，cd能出磁場(chǎng)，當(dāng)然不同的初始條件下速度的臨界值也就不一樣了.

綜上可知，當(dāng)有一定初速度的情況下，初速度較小的情況下，cd不能出磁場(chǎng)，當(dāng)初速度較大的情況下，cd能出磁場(chǎng).