陳晶晶，鄒彬彬，郭英歌

(中國科學(xué)院聲學(xué)研究所東海研究站，上海201815)

參量陣聲源波束寬度影響因素分析

陳晶晶，鄒彬彬，郭英歌

(中國科學(xué)院聲學(xué)研究所東海研究站，上海201815)

摘要：波束寬度是衡量參量陣聲吶性能的重要技術(shù)指標(biāo)之一，在設(shè)計(jì)時應(yīng)該對其正確掌握，以保證整機(jī)性能.文章以圓形活塞換能器形成的參量陣聲場為例，利用維斯特維爾特(Westervelt)理論和 Khokhlov-Zabolotskaya-Kuznetsov(KZK)方程分別計(jì)算了參量陣聲場波束寬度，通過試驗(yàn)驗(yàn)證了KZK數(shù)值計(jì)算用于分析波束寬度的準(zhǔn)確性及對遠(yuǎn)近場的適應(yīng)性，并指出利用Westervelt理論計(jì)算參量陣聲源波束寬度的不足。然后通過仿真，分別分析了頻率、吸收系數(shù)、陣長與參量陣波束寬度間的關(guān)系，并從物理意義上解釋了陣長對參量陣聲場波束寬度的影響。

關(guān)鍵詞：參量陣；波束寬度；Westervelt理論；KZK方程

中圖分類號：TB566

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1000-3630(2020)-04-0400-06

收稿日期:2019-05-13;修回日期:2019-06-16

基金項(xiàng)目:中國科學(xué)院聲學(xué)研究所率先計(jì)劃項(xiàng)目(SXJH201610)、中國科學(xué)院聲學(xué)研究所青年英才項(xiàng)目(QNYC201827)

作者簡介:陳晶晶(1983－)， 女， 廣西柳州人， 博士， 副研究員， 研究方向?yàn)榉蔷€性聲學(xué)理論與應(yīng)用。

通訊作者:陳晶晶， E-mail: cjj@mail.ioa.ac.cn

引用格式：陳晶晶， 鄒彬彬， 郭英歌. 參量陣聲源波束寬度影響因素分析[J]. 聲學(xué)技術(shù)， 2020， 39(4): 400-405. [CHEN Jingjing， ZOU Binbin， GUO Yingge. Analysis of influencing factors on beam width of parametric acoustic array source[J]. Technical Acoustics， 39(4): 400-405.] DOI:10.16300/j.cnki.1000-3630.2020.04.003

Analysis of influencing factors on beam width of parametric acoustic array source

CHEN Jingjing， ZOU Binbin， GUO Yingge
(Shanghai Acoustic Laboratory，Chinese Academy of Science，Shanghai201815，China)

Abstract:Beam width is one of important technical indexes to measure the performance of parametric acoustic array(PAA). The PAA's beam width should be calculated correctly in designing to ensure the performance of whole system.Taking the PAA formed by a circular piston transducer as an example， the Westervelt theory and the Khokhlov-Zabolotskaya-Kuznetsov (KZK) equation are used to calculate the PAA's beam width respectively. The accuracy of the numerical calculation of KZK equation in analyzing beam-width and its adaptability to far and near fields is verified by experimental results. The shortcoming of the Westervelt's formula for beam width calculation is indicated.By simulation， the relationships between the PAA's beam width and the frequency， absorption and array length are analyzed， and the influence of PAA's length on its beam width is explained in the physical sense.

Key words:parametric acoustic array (PAA); beam width; Westervelt theory; KZK equation

0 引 言

在使用聲吶設(shè)備進(jìn)行探測時，聲場的波束寬度是一個重要的指標(biāo)，影響探測目標(biāo)的分辨率[1]。參量陣聲吶由于其易于獲得高指向性、幾乎無旁瓣的低頻聲場而被廣泛關(guān)注并使用在各種探測領(lǐng)域[2-4]。目前常用于估算參量陣(Parametric Acoustic Array,PAA)波束寬度的公式是根據(jù)維斯特維爾特(Westervelt)理論提出的[5]。參量陣是一個累積陣，它的形成需要一定的傳播距離，而在水聲探測的應(yīng)用中，這個距離一般會很大，例如，對于由300 kHz的原頻完全形成30 kHz的差頻聲場，這個距離至少需要20 m左右(即在20 m以外的距離測量差頻聲源級不再變化)[6]。在水聲探測領(lǐng)域，如果原頻更低，介質(zhì)對聲波的吸收更小，則需要更遠(yuǎn)的距離。所以在實(shí)驗(yàn)室測量參量陣的遠(yuǎn)場指向性比較困難，在這種情況下無法驗(yàn)證估算公式計(jì)算結(jié)果的有效性。另外由于形成參量陣差頻聲場的距離較遠(yuǎn)，很多情況下探測目標(biāo)所處的位置在陣長范圍以內(nèi)，把這個距離范圍認(rèn)為是參量陣聲場的近場，對于這種近場問題的分析，Westervelt理論是不適用的。下文將用數(shù)值計(jì)算結(jié)果與 Westervelt理論估算結(jié)果進(jìn)行對比，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，總結(jié)出參量陣波束寬度的一些變化規(guī)律并給出相應(yīng)的物理解釋。

1 波束寬度計(jì)算

波束寬度決定探測目標(biāo)的橫向分辨率。參量陣聲場是兩列不同頻率的聲波同方向傳播時，由共同作用所生成的聲散射聲同相疊加形成的，因此參量陣聲場的指向性是由原頻波聲場繼承而來。本文中用于描述波束寬度的物理量是半功率束寬：即兩個半功率點(diǎn)間的夾角也即功率下降 3 dB的兩個場點(diǎn)間的夾角，所以又稱為-3 dB束寬。為便于計(jì)算分析，本文將以圓形活塞換能器生成的參量陣聲場為例，對于圓形活塞換能器，其原頻聲場的遠(yuǎn)場-3 dB波束寬度的計(jì)算公式為

式中：λ為發(fā)射聲波波長；a為換能器輻射面半徑。

1.1 Westervelt理論

Westervelt于上世紀(jì)六十年代提出參量陣?yán)碚?。Westervelt假設(shè)介質(zhì)為理想流體、不考慮兩個原頻波的波束擴(kuò)散(簡稱兩原頻波為標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)直束)；同時假設(shè)原頻波和差頻波以小振幅波進(jìn)行傳播，不考慮差頻波的衰減，忽略非線性吸收。根據(jù)這些假設(shè)條件對萊特希爾(Lighthill)關(guān)于任意流體運(yùn)動的嚴(yán)格方程取二級近似，推導(dǎo)出Westervelt非線性方程[7]：

式中：rv為場中觀察點(diǎn)到微元體積dv的距離，再根據(jù)遠(yuǎn)場近似，式(3)可以表示為

式中：腳標(biāo)“d”表示的是該物理量對應(yīng)的是差頻：ωd表示形成的差頻信號的角頻率，kd表示差頻信號的波數(shù)；k表示原頻波的波數(shù)，p0為原頻波的聲壓振幅(假設(shè)兩列原頻波的聲壓振幅一樣)；s0為換能器輻射面的面積，a0為換能器輻射面半徑；β=1+A/2B，表示介質(zhì)非線性系數(shù)；ρ0為介質(zhì)密度，c0為介質(zhì)中小信號的聲速，α0為兩原頻波的小振幅平均吸收系數(shù)。根據(jù)式(4)，可以得到-3 dB束寬為

根據(jù)前文介紹的Westervelt理論的基本假設(shè)可知，該理論只適用于陣長在瑞利距離以內(nèi)(對于圓形活塞換能器，瑞利距離以內(nèi)滿足準(zhǔn)直束的假設(shè))以及場點(diǎn)在遠(yuǎn)場的情況，即式(5)只適用于文獻(xiàn)[8]中的吸收限制陣，而對于擴(kuò)散限制陣，則會使用兩原頻波指向性圖的乘積來求波束寬度。為了克服 Westervelt理論存在的問題，Berktay對Westervelt理論加以修正[9]，經(jīng)過修正后的波束寬度計(jì)算公式為

其中，分別為兩列原頻波以及差頻波的吸收系數(shù)α稱為等效吸收系數(shù)。式(6)也是目前參量陣聲吶在工程設(shè)計(jì)時常用的束寬估計(jì)公式，但正如前面提到的該公式是針對于遠(yuǎn)場的估算。對于近場問題，則有學(xué)者通過對式(3)的數(shù)值計(jì)算來解決[10]。這些修正或計(jì)算仍以Westervelt理論為基礎(chǔ)。

1.2 KZK方程

1.1 節(jié)所提到的波束寬度的計(jì)算都是基于Westervelt理論。Khokhlov-Zabolotskaya- Kuznetsov(KZK)方程是上世紀(jì)80年代提出的，對Westervelt方程做拋物線近似可推導(dǎo)出 KZK方程。正是由于做了拋物線近似，使得 KZK方程擺脫了準(zhǔn)直束的假設(shè)限制，但是拋物線近似是一個近軸近似，所以使得 KZK方程描述的非線性超聲場又限制在了軸旁(一般取軸附近±20°)，對于大多數(shù)探測應(yīng)用來說還是比較寬松的。KZK方程可寫為

式中：p為聲壓，為延遲時間，δ是聲散射度，Δ⊥是橫向拉普拉斯算子，介質(zhì)的聲吸收系數(shù)，即粘滯和熱傳導(dǎo)耗散所引起的聲衰減系數(shù)與聲波頻率的平方成正比。式(7)等號右邊第一項(xiàng)描述聲波的衍射效應(yīng)，第二項(xiàng)描述聲波的吸收效應(yīng)，第三項(xiàng)描述聲波傳播方向的非線性效應(yīng)。該方程難以求得精確解析解，常用數(shù)值解法求解。

KZK方程的數(shù)值計(jì)算方法可分為時域和頻域兩種。兩種方法各有其優(yōu)缺點(diǎn)，在選擇了合適的計(jì)算參數(shù)后，使用這兩種方法計(jì)算出來的參量陣聲場是一致的?？紤]到實(shí)驗(yàn)使用的發(fā)射信號為脈沖(burst)信號，使用時域方法更為合適，而圓形活塞換能器輻射聲場是軸對稱的，可用二維時域有限差分算法(Texas code)[11]來計(jì)算參量陣聲場。時域方法計(jì)算得到的聲場是一個總聲場，會包含由于非線性效應(yīng)產(chǎn)生的各種頻率成分，要分析參量陣聲場就需要從總聲場中提取出差頻成分。在本文中對計(jì)算得到的結(jié)果再進(jìn)行快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform, FFT)，然后提取出差頻頻率幅度用以分析參量陣束寬。由于KZK方程擺脫了準(zhǔn)直束假設(shè)，綜合考慮了非線性、吸收、衍射等作用的影響，所以除去數(shù)值計(jì)算的計(jì)算誤差，使用該方法得到的波束寬度比式(6)的計(jì)算結(jié)果更準(zhǔn)確。

2 實(shí)驗(yàn)對比

為了驗(yàn)證以上兩種方法對聲束寬度計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，進(jìn)行了相關(guān)的驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)。為了驗(yàn)證KZK方程對近場聲場的適應(yīng)性，設(shè)計(jì)了一個頻率為300 kHz的換能器，發(fā)射的瞬時峰峰值功率為3 000 W。頻率為 300 kHz的聲波在清水中的吸收系數(shù)為 23.4 dB·km-1，分別調(diào)制形成 10、20 kHz和40 kHz的參量陣差頻聲場，在這種情況下在清水中的陣長約為 20 m左右，這個距離遠(yuǎn)超出了實(shí)驗(yàn)水池的距離。在6 m處測量分別測量了300 kHz原頻波和差頻波的波束寬度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與 KZK方程的數(shù)值計(jì)算結(jié)果表1所示。

表1 參量陣近場波束寬度測試值與數(shù)值結(jié)算結(jié)果對比Table 1 The measured and caculated near-field beam widths of parametric acoustic array

由表1可見，采用KZK方程數(shù)值計(jì)算的方法能較為準(zhǔn)確地估算出參量陣近場的波束寬度。為了能夠驗(yàn)證參量陣遠(yuǎn)場的情況，把原頻波的頻率提高到1 MHz，發(fā)射瞬時峰峰值功率為242 W，1 MHz聲波在清水中的吸收系數(shù)取 240 dB·km-1，生成差頻頻率為80 kHz的參量陣聲場，此時的參量陣的陣長約為1.5 m，在3.5 m的距離測量差頻聲場指向性圖。測量結(jié)果和數(shù)值計(jì)算結(jié)果如圖1所示。

圖1 參量陣遠(yuǎn)場波束寬度的數(shù)值計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果對比圖Fig.1 Comparison between calculated and tested far-field beam widths of parametric array

該情況下數(shù)值計(jì)算得到的波束寬度為 4.43°，實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果為4.67°，而式(6)的計(jì)算結(jié)果為6.38°。由以上的試驗(yàn)對比結(jié)果可以看出，通過 KZK方程的數(shù)值計(jì)算得到的參量陣聲場遠(yuǎn)場波束寬度與測試結(jié)果更為接近，而式(6)的計(jì)算結(jié)果與測試結(jié)果相差較大。

3 仿真分析

3.1 頻率下降比與波束寬度間的關(guān)系

頻率下降比表示為f0/fd，即原頻頻率與差頻頻率之比。從式(6)可以看出直接影響波束寬度的兩個物理量分別是原頻波的吸收系數(shù)和差頻波的波數(shù)，波數(shù)反映的是聲波的頻率。因此，差頻頻率越高，則波束寬度越小。在原頻波的頻率固定不變的情況下，根據(jù)Berktay的包絡(luò)自解調(diào)理論，考察不同的差頻對應(yīng)的波束寬度的變化規(guī)律。表2～4分別是用兩種方法計(jì)算的 200 kHz和300 kHz、1 MHz原頻形成不同差頻聲場的波束寬度的結(jié)果。

在這3個仿真中，原頻波對應(yīng)的波束寬度分別為3.26°、2.98°和3.19°。從表2～4中的數(shù)據(jù)可知，無論是用數(shù)值計(jì)算還是用式(6)估算，參量陣聲場的波束寬度都會隨著差頻頻率的增大而減小，但數(shù)值計(jì)算的結(jié)果和公式估算結(jié)果在某些頻率上相差較大。為分析公式估算與數(shù)值計(jì)算間的差值的規(guī)律，接下來將從頻率下降比的角度進(jìn)一步分析。將表2～4的數(shù)據(jù)表示為波束寬度與頻率下降比之間的變化關(guān)系，如圖2～4所示。

表2 原頻200 kHz時不同差頻生成參量陣聲場的波束寬度對比Table 2 Comparison of PAA's beam-widths generated by different difference frequencies at the primary frequency of 200 kHz

表3 原頻300 kHz時不同差頻生成參量陣聲場的波束寬度對比Table 3 Comparison of PAA's beam-widths generated by different difference frequencies at the primary frequency of 300 kHz

表4 原頻1 MHz時不同差頻生成參量陣聲場的波束寬度對比Table 4 Comparison of PAA's beam-widths generated by different difference frequencies at the primary frequency of 1 MHz

從圖 2～4可以看出，在每一組數(shù)據(jù)中，總有一個位置附近的數(shù)值計(jì)算結(jié)果與公式估計(jì)結(jié)果比較接近，而這個位置會隨著原頻的升高向頻率下降比低的方向移動。從數(shù)值計(jì)算結(jié)果的曲線可看出，頻率下降比與角度的關(guān)系基本符合一個線性的關(guān)系，對以上各計(jì)算結(jié)果進(jìn)行線性擬合，把線性擬合中的截距設(shè)置為原頻的波束寬度，這樣設(shè)置的理由是在極端的情況下即差頻等于原頻時，差頻對應(yīng)的波束寬度應(yīng)該與原頻是一致的，擬合得到的公式分別如圖 2～4中所示。進(jìn)一步分析擬合公式可看出，隨著原頻的升高，斜率也在不斷的變大，從這3組數(shù)據(jù)結(jié)果表現(xiàn)出來的規(guī)律是，原頻升高 100 kHz，則斜率增大約0.01。雖然斜率變化的規(guī)律只是由這3組數(shù)據(jù)做出的一個粗略的分析，但是可以在參量陣系統(tǒng)設(shè)計(jì)波束寬度指標(biāo)提供指導(dǎo)。

圖2 原頻200 kHz時參量陣聲場波束寬度隨頻率下降比的變化關(guān)系圖Fig.2 Variations of PAA's beam width with frequency drop ratio at the primary frequency of 200 kHz

圖3 原頻300 kHz原頻時參量陣聲場波束寬度隨頻率下降比的變化關(guān)系圖Fig.3 Variations of PAA's beam width with frequency drop ratio at the primary frequency of 300 kHz

圖4 原頻1 MHz原頻時參量陣聲場波束寬度隨頻率下降比的變化關(guān)系圖Fig.4 Variations of PAA's beam width with frequency drop ratio at the primary frequency of 1 MHz

3.2 吸收系數(shù)與波束寬度間的關(guān)系

式(6)中兩個原頻波的小振幅平均吸收系數(shù)α1、α2也是影響參量陣波束寬度的因素之一。固定原頻波和差頻波的頻率為1 MHz和100 kHz，取清水中不同溫度對應(yīng)的聲吸收系數(shù)做仿真，結(jié)果如圖5所示。

從圖5可以看出，波束寬度隨著吸收系數(shù)的增大而增大。根據(jù)式(6)得到的估算值滿足的是一個冪函數(shù)的關(guān)系，而數(shù)值計(jì)算結(jié)果更接近線性函數(shù)關(guān)系。

圖5 固定原頻和差頻頻率情況下參量陣波束寬度與吸收系數(shù)關(guān)系圖Fig.5 Relationship between PAA's beam width and absorption coefficient for fixed primary frequency and diffrence frequency

3.3 陣長與波束寬度間的關(guān)系

3.1 、3.2節(jié)是從式(6)中的兩個變量分別來探討差頻頻率與衰減系數(shù)對參量陣聲場波束寬度的影響。從物理意義上，能夠更好地解釋影響參量陣聲場束寬的變化規(guī)律的變量是陣長。參量陣實(shí)際上可視為由無數(shù)個虛源組成的體積陣。一些文獻(xiàn)里會根據(jù)源函數(shù)的不同，把這種體積陣簡化為不同的模型，例如針對Westervelt理論的準(zhǔn)直束假設(shè)把體積陣簡化為圓柱模型[12-13]；考慮球面波的擴(kuò)散效應(yīng)后把體積陣簡化為圓臺模型[13]。無論簡化為何種模型，陣的尺寸都是決定聲場指向性或者說是波束寬度的一個重要因素，一般是尺寸越大即陣長越長，指向性越尖銳[1]。

參量陣的陣長可理解為兩列原頻波相互作用可以忽略的距離。這個距離受擴(kuò)散、非線性以及聲吸收的共同影響，其中聲吸收的影響最大。因此一般情況下，陣長的估算公式為[10]

其中：α的定義與式(6)一致。從式(8)可以看出，原頻波吸收系數(shù)越大，陣長越短；而差頻波吸收系數(shù)越大，陣長越長。結(jié)合3.1和3.2節(jié)的仿真結(jié)果可知：對于固定原頻的情況下，差頻越大對應(yīng)的吸收系數(shù)越大，則波束寬度越??；而對于固定頻率的情況，在不同溫度下原頻和差頻的吸收系數(shù)都有變化，但是由于原頻波的吸收系數(shù)一般高于差頻波的吸收系數(shù)2個量級，所以在這種情況下波束寬度仍表現(xiàn)出隨原頻吸收系數(shù)增大而增大的趨勢。

比較表1和表2中對應(yīng)差頻頻率的波束寬度結(jié)果，表1的結(jié)果比表2中的大，這是因?yàn)楸?中計(jì)算的是截斷情況，參量陣還沒有達(dá)到陣長距離，還沒有完全形成差頻聲場。另外，關(guān)于式(6)的計(jì)算結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果相差較大的情況，也可從陣長方面加以解釋。前面已經(jīng)介紹，式(6)的推導(dǎo)是以準(zhǔn)直束為基礎(chǔ)的，對于圓形活塞換能器，其有一個隱含的假設(shè)即瑞利距離為參量陣陣長，而這種限制在很多情況下與實(shí)際情況并不一致，所以得到的結(jié)果也不一致。

由于 KZK方程目前沒有精確解析解，所以以上關(guān)于陣長與參量陣聲場波束寬度間的關(guān)系，只能進(jìn)行一些定性的分析，要定量分析兩者間的關(guān)系，還需要進(jìn)一步的理論研究以及更多的仿真結(jié)果。

4 結(jié) 論

波束寬度是參量陣聲吶一個重要的設(shè)計(jì)指標(biāo)，關(guān)乎設(shè)備對目標(biāo)的分辨率，因此在設(shè)計(jì)參量陣聲吶時，需要對所使用的參量陣聲場的波束寬度進(jìn)行較準(zhǔn)確的估算。目前常用的參量陣聲場波束寬度的估算公式的適用情況有限，在很多情況下計(jì)算結(jié)果誤差較大。KZK方程能準(zhǔn)確地描述非線性超聲場，但目前只能通過數(shù)值計(jì)算得到其聲場解。通過 KZK方程數(shù)值計(jì)算得到的波束寬度結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合，而且不受近遠(yuǎn)場的限制以及參量陣模型的限制。本文根據(jù)一系列數(shù)值計(jì)算結(jié)果與公式結(jié)果的仿真對比，定性地分析了波束寬度受頻率下降比和吸收系數(shù)影響的規(guī)律，并通過陣長的概念對這些規(guī)律做出了物理解釋。