周琦

[摘? 要] 數(shù)學(xué)變式教學(xué)是指緊扣本質(zhì)特征不變這一中心思想，從不同角度，采用不同方式，變換背景，改變數(shù)學(xué)問(wèn)題的表現(xiàn)形式，使相關(guān)問(wèn)題非本質(zhì)特征發(fā)生更變的一種教學(xué)方式. 教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從而提升分析數(shù)學(xué)問(wèn)題、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.

[關(guān)鍵詞] 變式教學(xué);化歸思想;找規(guī)律

教材分析

“找規(guī)律”是七年級(jí)上冊(cè)，學(xué)生在學(xué)習(xí)了有理數(shù)的運(yùn)算、用字母表示數(shù)和整式的加減基礎(chǔ)上展開的一節(jié)活動(dòng)課. 它既是對(duì)前面所學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用，也是對(duì)這些知識(shí)的拓展和延伸，還能為學(xué)生今后學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等知識(shí)奠定基礎(chǔ).

教學(xué)目標(biāo)

1. 用整式表示實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系.

2. 掌握從特殊到一般的分析問(wèn)題的歸納方法，以及從一般到特殊的化歸問(wèn)題的解決策略.

3. 培養(yǎng)思辨精神和應(yīng)用意識(shí).

教學(xué)重點(diǎn)

1. 用整式表示實(shí)際問(wèn)題中的變化量與n的對(duì)應(yīng)數(shù)量關(guān)系.

2. 掌握從特殊到一般、化歸等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)

發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

教學(xué)過(guò)程

（一）情境引入，開宗明義

問(wèn)題? 請(qǐng)寫出1+2+3+…+n（n為正整數(shù)）的結(jié)果，并說(shuō)明理由.

解答? 1+2+3+…+n= ·n（n為正整數(shù)）

所以1+2+3+…+n= ·n（n為正整數(shù)）.

設(shè)計(jì)意圖? “找規(guī)律”是一個(gè)覆蓋面非常廣的課題，在初中段，需要學(xué)生掌握一些基本數(shù)字規(guī)律和研究方法. 本課以從1開始的連續(xù)自然數(shù)的求和問(wèn)題為探究主線，從不同角度和層次展開變式應(yīng)用.

追問(wèn)：看到這個(gè)等式，你們有沒(méi)有想到一位偉大的數(shù)學(xué)家和與此相關(guān)的故事？

設(shè)計(jì)意圖? 切合教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)文化介紹，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和動(dòng)力，從而讓他們?cè)跀?shù)學(xué)求學(xué)之路上增強(qiáng)自信、發(fā)憤圖強(qiáng).

（二）一法多題，融會(huì)貫通

通過(guò)變換背景，改變基本方法的表現(xiàn)形式，可以尋找核心問(wèn)題的能力增長(zhǎng)點(diǎn)，從而達(dá)到理解一個(gè)基本原理，解決一類相關(guān)問(wèn)題，促進(jìn)數(shù)學(xué)高階思維發(fā)展的目的.

1. 等式問(wèn)題中的變式

變式1? 觀察下列等式：

1=12 ①

1+3=22 ②

1+3+5=32 ③

1+3+5+7=42 ④

…

請(qǐng)寫出第⑤個(gè)等式并驗(yàn)證.

解答? 第⑤個(gè)等式為1+3+5+7+9=52.

驗(yàn)證：左邊=1+3+5+7+9=25，

右邊=52=25，

所以左邊=右邊.

所以等式成立.

追問(wèn)1：請(qǐng)寫出第n個(gè)等式（n為正整數(shù)），并說(shuō)明理由.

追問(wèn)2：從1開始，連續(xù)多少個(gè)奇數(shù)相加的和等于400？

設(shè)計(jì)意圖? 從探究連續(xù)自然數(shù)相加的規(guī)律，變式到探究連續(xù)奇數(shù)相加的規(guī)律，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的發(fā)展性和深刻性. “追問(wèn)1”對(duì)一般規(guī)律的驗(yàn)證，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性;“追問(wèn)2”從逆向變式的角度，提升學(xué)生對(duì)連續(xù)奇數(shù)的和與等式序號(hào)n之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解.

2. 數(shù)陣問(wèn)題中的變式

變式2? 將正偶數(shù)按照?qǐng)D1所示的規(guī)律排列下去. 若用有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）表示第a行的第b個(gè)數(shù)，如（4，3）表示偶數(shù)18，則圖中（8，6）的位置表示的數(shù)是多少？

解答? 圖1中的數(shù)陣我們可以換個(gè)角度改寫成圖2的形式.

用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表示第n行最后一個(gè)數(shù)，為2（1+2+3+…+n）=2· ·n=n（n+1）（n為正整數(shù)），所以第7行最后一個(gè)數(shù)為7×8=56. 所以第8行第6個(gè)數(shù)為56+2×6=68.

追問(wèn)1：求出偶數(shù)2020對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì).

追問(wèn)2：用含n的代數(shù)式表示第n行（n≥2）的最后一個(gè)數(shù)與第（n-1）行最后一個(gè)數(shù)的差.

設(shè)計(jì)意圖? 一脈相承的研究體系，體現(xiàn)了由特殊到一般的研究思路和由一般到特殊的應(yīng)用路徑. 根據(jù)題目給出的圖形、數(shù)值、數(shù)列等已知條件，發(fā)現(xiàn)第n行最后一個(gè)數(shù)的表達(dá)式可以轉(zhuǎn)化為主線的解決策略.

3. 圖形問(wèn)題中的變式

變式3? 如圖3，圖①是一個(gè)水平擺放的正方體木塊，圖②和圖③是由這樣的正方體木塊按一定的規(guī)律疊放而成的. 其中圖①有1個(gè)正方體木塊，圖②有6個(gè)正方體木塊，圖③有15個(gè)正方體木塊……按照這樣的規(guī)律繼續(xù)疊放下去，圖⑥有多少個(gè)正方體木塊？

解答? 圖①中，正方體木塊的個(gè)數(shù)為1;

圖②中，正方體木塊的個(gè)數(shù)為1+5=6;

圖③中，正方體木塊的個(gè)數(shù)為1+5+9=15.

從前3個(gè)式子可以得出圖⑥中正方體木塊的個(gè)數(shù)為1+5+9+13+17+21=66.

追問(wèn)：圖⑩中有多少個(gè)正方體木塊？

設(shè)計(jì)意圖? 圖形問(wèn)題找規(guī)律是數(shù)形結(jié)合思想方法運(yùn)用的典范. 一方面，可以從數(shù)的發(fā)展趨勢(shì)尋找規(guī)律，只要前后兩項(xiàng)的差不變，都可以用主線的方法得出一般結(jié)論;另一方面，可以從圖形的構(gòu)成特征尋找規(guī)律，分解、化歸成基本圖形并寫出變化量與n的對(duì)應(yīng)數(shù)量關(guān)系，再進(jìn)一步化簡(jiǎn)，問(wèn)題迎刃而解.

4. 實(shí)際問(wèn)題中的變式

變式4? 某次聯(lián)誼會(huì)有40人參加. 若40位與會(huì)人員彼此握手一次，那么全體與會(huì)人員共握手多少次？若用點(diǎn)來(lái)表示每個(gè)人，連接兩點(diǎn)的線段數(shù)目表示握手的次數(shù)，結(jié)合表1中的提示解決問(wèn)題.

解答? 由表1中的規(guī)律可知，2位與會(huì)人員彼此握手一次，共握手1次，1=0+1;3位與會(huì)人員彼此握手一次，共握手3次，3=1+2;4位與會(huì)人員彼此握手一次，共握手6次，6=1+2+3;5位與會(huì)人員彼此握手一次，共握手10次，10=1+2+3+4. 類比規(guī)律，當(dāng)n位與會(huì)人員彼此握手一次時(shí)，共握手1+2+…+（n-1）= n（n-1）次. 所以當(dāng)n=40時(shí)， n（n-1）= ×40×39=780.

追問(wèn)1：所有與會(huì)人員彼此握手一次，共握手435次，那么與會(huì)人員一共有多少人？

追問(wèn)2：所有與會(huì)人員彼此之間互送賀卡，40位與會(huì)人員一共送出賀卡多少?gòu)垼?/p>

設(shè)計(jì)意圖? 主線的背景放置到實(shí)際問(wèn)題的變式中，將每個(gè)人抽象成點(diǎn)，借助表格將人與人之間的握手問(wèn)題抽象為點(diǎn)與點(diǎn)之間的連線段問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了從實(shí)際問(wèn)題到數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化. “追問(wèn)1”進(jìn)行思維的逆向變式，“追問(wèn)2”進(jìn)行對(duì)比變式，學(xué)生在情境變式中會(huì)再次體驗(yàn)主線規(guī)律的運(yùn)用，能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

（三）集思廣益，變中探源

課堂小結(jié)環(huán)節(jié)請(qǐng)學(xué)生從知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)、疑惑等方面對(duì)本節(jié)課進(jìn)行變式梳理.

設(shè)計(jì)意圖? 引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課用于找規(guī)律的知識(shí)，在“萬(wàn)變之題”中總結(jié)解決找規(guī)律問(wèn)題的步驟與方法，歸納出“不變之道”——基本模型，形成解決這類問(wèn)題的通法經(jīng)驗(yàn).

教學(xué)反思

本節(jié)課抓住高斯求和這條主線，從等式問(wèn)題中的變式、數(shù)陣問(wèn)題中的變式、圖形問(wèn)題中的變式、實(shí)際問(wèn)題中的變式四個(gè)方面展開詳述. 隨著學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的增長(zhǎng)，還可以探究幾何問(wèn)題中的變式、不等式問(wèn)題中的變式、函數(shù)問(wèn)題中的變式等，豐富變式背景，從而拓寬學(xué)生觀察問(wèn)題的眼界，鍛煉學(xué)生思考問(wèn)題的能力，并賦予數(shù)學(xué)模型不同的表現(xiàn)形式和存在意義. 數(shù)學(xué)模型好比人的“筋骨”，亙古不變，變換的背景就是“血肉之軀”，二者合一便造就一個(gè)個(gè)鮮活的“生命”. 因此，二者相互依存，在教學(xué)中偏廢任何一方都是不可取的.

解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)繞不開的重要環(huán)節(jié)，學(xué)生要想達(dá)到事半功倍的學(xué)習(xí)效果，教師就要沉下心來(lái)鉆研教材教法，有目的有層次地精挑細(xì)選試題，合理運(yùn)用變式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生抓住“不變”的本質(zhì)運(yùn)用“變化”的視角靈活處理問(wèn)題. 核心素養(yǎng)理念下的數(shù)學(xué)變式教學(xué)，不僅能使學(xué)生有效鞏固所學(xué)知識(shí)，強(qiáng)化思想方法，而且能讓他們自覺(jué)建構(gòu)不同體系間的橫向聯(lián)系，促進(jìn)他們應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力的發(fā)展.