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換元法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

2020-09-10 07:22賴振華
關(guān)鍵詞:解題初中數(shù)學(xué)應(yīng)用

賴振華

摘?要:換元法是初中數(shù)學(xué)解題中最為重要的、常見的方法,巧妙借助換元法對初中數(shù)學(xué)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化和化歸等,進(jìn)而使得問題解答更加簡單明了.本論文以初中數(shù)學(xué)為研究對象,對換元法在初中數(shù)學(xué)解題中具體應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)的研究和分析.

關(guān)鍵詞:初中數(shù)學(xué);換元法;解題;應(yīng)用

中圖分類號:G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1008-0333(2020)17-0013-02

在初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中明確提出,初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)首要目標(biāo)就要求學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中,獲得必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)基本技能等,并對最基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)等進(jìn)行理解,進(jìn)而充分體會初中數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法等.因此,在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,必須要充分借助“換元法”以提升學(xué)生的解題效率.

一、換元法概述

換元法又稱之為輔助元素法、變量代換法,主要是將某一個(gè)式子看做成一個(gè)整體,并用另一個(gè)變量去代替它.換元的實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化,是用一種變數(shù)形式對另一種變數(shù)的形式進(jìn)行取代,進(jìn)而使得問題得到了有效的簡化.可以說,在使用換元法這一方法對初中數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解答的時(shí)候,其關(guān)鍵就在于合適地選擇出“新元”,并將其引入到數(shù)學(xué)問題中進(jìn)行適當(dāng)?shù)拇鷵Q,進(jìn)而找到數(shù)學(xué)問題的解題思路.

具體來說,在使用換元法解決數(shù)學(xué)問題的時(shí)候,其解題的步驟就是:換元——求解——回代——檢驗(yàn).具體來說,最為基本的換元方法主要有三種:(1)局部換元:又被稱之為整體換元.主要是在已知或者未知的過程中,某一個(gè)代數(shù)式出現(xiàn)了幾次.在解題的時(shí)候,就可以利用某一個(gè)字母對其進(jìn)行代替,進(jìn)而將數(shù)學(xué)問題進(jìn)行簡化.甚至有的時(shí)候,在進(jìn)行局部換元的時(shí)候,必須要將數(shù)學(xué)問題進(jìn)行變形之后,才能借助這一方式進(jìn)行解決.例如,在解不等式:4x+2x-2≥0的時(shí)候,就可以采用局部換元的形式進(jìn)行,先設(shè)2x=t(t>0),在這種情況下,就可以將不等式進(jìn)行簡化,進(jìn)而使得學(xué)生更加方便求解. (2)三角換元:該換元方法主要應(yīng)用在去根號、變換為三角形式進(jìn)行求解的過程中,在進(jìn)行換元的時(shí)候,主要是利用已知代數(shù)式中與三角知識中的聯(lián)系點(diǎn)進(jìn)行換元.例如,在求函數(shù)y=x+1-x的值域的時(shí)候,學(xué)生在對其進(jìn)行解決的時(shí)候,就可以借助三角換元的形式,將這一函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,使其成為學(xué)生熟悉的三角函數(shù)問題.學(xué)生在對本道題進(jìn)行分析的時(shí)候,發(fā)現(xiàn)x∈[0,1],隨之就可以將其與三角函數(shù)進(jìn)行聯(lián)系,設(shè)x=sin2α,α∈(0,π/2).通過換元轉(zhuǎn)化,復(fù)雜的函數(shù)問題瞬間就變得簡單了,更加易于學(xué)生求解.(3)均值換元:主要是在對某些數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解答的過程中,兩個(gè)未知量的和是已知,這種時(shí)候在對其進(jìn)行解答的過程中,就可以將這兩個(gè)未知量用他們的均值、一個(gè)新的變量進(jìn)行表示,進(jìn)而將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得更加簡單.例如,在求解x+y=S類型的數(shù)學(xué)問題時(shí),就可以采用均值換元的方式,設(shè)x=S/2+t,y=S/2-t之后再對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解答.

總而言之,在對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解決的過程中,換元法是最為常用的數(shù)學(xué)解題方式.通過換元法的應(yīng)用,使得整個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算更加簡便,進(jìn)一步提升了學(xué)生的解題效率.

二、換元法在初中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用

1.在因式分解中的應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)知識體系中,多項(xiàng)式的因式分解歷來是教學(xué)、考試的重點(diǎn).就因式分解這一部分的內(nèi)容來說,雖然總體難度不是特別大,但是涉及到的基礎(chǔ)知識卻非常多.例如:加減乘除、平方、代數(shù)式等,學(xué)生在進(jìn)行該部分?jǐn)?shù)學(xué)問題的解決過程中,必須要對因式分解與整式乘法之間的關(guān)系,并對新舊知識之間的比較進(jìn)行探索,進(jìn)而掌握因式分解的主要方法.

而在進(jìn)行因式分解問題解答的過程中,換元法則是學(xué)生最為常用的方法,并深得學(xué)生的青睞.具體來說,換元法在因式分解中應(yīng)用的時(shí)候,首先應(yīng)將原代數(shù)式中的某個(gè)部分,用新元對其進(jìn)行代替,以達(dá)到減少因式項(xiàng)數(shù)的目的,進(jìn)而使得問題變得更加簡單.

例如,在解方程1x2+4x+6+1x2+4x-10+1x2+4x+16=0的時(shí)候,就可以采用換元法的方式,設(shè)x2+4x-10=t,則該因式就會變?yōu)?t+16+1t+1t+26=0,在這種情況下,這一復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題就變得更加簡單,便于了學(xué)生的解決.

2.在解方程組問題中的應(yīng)用

方程組也是初中數(shù)學(xué)中最為重要的內(nèi)容,在對這部分?jǐn)?shù)學(xué)問題進(jìn)行解答的時(shí)候,學(xué)生只有明確找出未知條件、已知條件兩者的關(guān)系,或者將方程組中所隱蔽的已知條件之間的關(guān)系進(jìn)行明確的時(shí)候,才能將新知識進(jìn)行轉(zhuǎn)化,使其成為舊知識,進(jìn)而對其進(jìn)行有效的解決.而在這一過程中,則離不開換元法的應(yīng)用.

例如,在對2x2-6x-1+3x2-3x+2=0這一方程進(jìn)行解答的時(shí)候,多數(shù)學(xué)生都對其無從下手.面對這一情況,就可以引導(dǎo)學(xué)生采用換元的方式進(jìn)行解答,將這一無理方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化,促使其成為有理方程.具體來說,在換元的時(shí)候,可設(shè)x2-3x+2=y,通過這一換元,整個(gè)方程式就變?yōu)?y2+3y-5=0,進(jìn)而學(xué)生就可以充分借助所學(xué)的舊知識對其進(jìn)行求解.

3.在整式運(yùn)算中的應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,整式運(yùn)算是學(xué)生最為常見的運(yùn)算問題,同時(shí)整式運(yùn)算也相對比較復(fù)雜.許多學(xué)生面對這一問題,常常無從下手,不知道如何對其進(jìn)行解決.據(jù)此,教師在引導(dǎo)學(xué)生對其進(jìn)行解答的時(shí)候,可充分借助換元法的形式,將相同的部分看做一個(gè)整體,并利用新元對其進(jìn)行替代,進(jìn)而這一復(fù)雜的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)換,使其成為一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)問題.

例如,在對(1-2-3-…-998)(2+3+4+…+999)-(1-2-3-…-999)(2+3+4+…+998)這一整式進(jìn)行運(yùn)算的時(shí)候,就可以充分借助換元法,將(2+3+4+…+999)設(shè)置為a,將(2+3+4+…+998)設(shè)為b,那么該整式運(yùn)算就會簡化為(1-b)a-(1-a)b,進(jìn)而使得整個(gè)整式運(yùn)算更加簡單.

綜上所述,在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,學(xué)生經(jīng)常會遇到比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題,如果直接按照原始的方式對其進(jìn)行求解,不僅使得數(shù)學(xué)問題變得十分棘手,并且致使學(xué)生在對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解決的過程中,常常出現(xiàn)無從下手、頻頻出現(xiàn)錯(cuò)誤等現(xiàn)象.因此,在指導(dǎo)學(xué)生對這些數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解決的過程中,就可以引導(dǎo)學(xué)生充分借助換元法的方式,將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行簡化,進(jìn)而促使學(xué)生對其進(jìn)行順利解決.

參考文獻(xiàn):

[1]盧春松.淺析換元法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)(初中版),2014(10):72+74.

[2]劉道明.換元法在初中數(shù)學(xué)解題中的探究[J].數(shù)理化解題研究(初中版),2013(12):17-17.

[3]李素珍.換元法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用[J].信息教研周刊,2014(6):60-61.

[責(zé)任編輯:李?璟]

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