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摘?要：掌握對(duì)稱式、交代式、齊次式、輪換式在七年級(jí)數(shù)學(xué)中的整式乘法、因式分解、分式中的應(yīng)用技巧，使得解這類題更加簡便.給出若干用對(duì)稱式、交代式、齊次式、輪換式解不等式，意在鍛煉思維.

關(guān)鍵詞：對(duì)稱式;交代式;齊次式;輪換式;初一數(shù)學(xué);解題技巧

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2020）17-0005-03

一、基礎(chǔ)概念說明

1.對(duì)稱式

一個(gè)n元代數(shù)式如果交換任意兩個(gè)字母的位置后，代數(shù)式不變，那么，就稱這個(gè)代數(shù)式為n元對(duì)稱式，簡稱對(duì)稱式.例如：

x+y，xy，x+yxy，x2+y2+z2，xy+yz+zx都是對(duì)稱式.

2.齊次式

一個(gè)n元多項(xiàng)式的各項(xiàng)的次數(shù)均等于同一個(gè)常數(shù)r，那么稱這個(gè)多項(xiàng)式為n元r次齊次多項(xiàng)式.例如，

含三個(gè)字母的三元一次齊對(duì)稱式為：A（x+y+z）;

含三個(gè)字母的三元二次齊對(duì)稱式為：A（x2+y2+z2）+b（xy+yz+zx）;

含三個(gè)字母的三元三次齊對(duì)稱式為：

a（x3+y3+z3）+b（x2y+x2z+y2x+y2z+z2x+z2y）+cxyz.

3.交代式（多見于因式分解）

一個(gè)n元代數(shù)式如果交換任意兩個(gè)字母的位置后，代數(shù)式均改變符號(hào)，那么就稱這個(gè)代數(shù)式為n元交代式.例如，

x-y，（x-y）（y-z）（z-x），x-yx+y均是交代式.

4.輪換式

一個(gè)多項(xiàng)式含有x、y、z，如果用x替換y，y替換z，z替換x，得到的代數(shù)式與原來的代數(shù)式還相等，那么稱這個(gè)代數(shù)式為輪換對(duì)稱式，簡稱輪換式.顯然，對(duì)稱式一定是輪換式，但輪換式不一定是對(duì)稱式.例如，a（x2+y2+z2）是對(duì)稱式也是輪換式;b（x2y+y2z+z2x）是輪換式，但不是對(duì)稱式.

二、運(yùn)用示例

對(duì)稱式、交代式、齊次式、輪換式在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用主要是涉及整式乘法、因式分解、分式這三個(gè)模塊.掌握對(duì)稱式、交代式、齊次式、輪換式在七年級(jí)數(shù)學(xué)中的整式乘法、因式分解、分式，使得解這類題更加簡便.在有關(guān)不等式中的應(yīng)用屬于較高要求.

1.在整式乘法中的運(yùn)用

例1計(jì)算：a+b+c3.

分析?a+b+c3是一個(gè)三次齊次的對(duì)稱式，則展開式是含字母a ，b ，c的三次齊次的對(duì)稱式，其同型式的系數(shù)相等，可用待定系數(shù)法.

解?設(shè)（a+b+c）3=m（a3+b3+c3）+n（a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b）+pabc（m、n、p是待定系數(shù)）.

令a=1，b=0，c=0.比較左右兩邊系數(shù)得m=1;

令a=1，b=1，c=0比較左右兩邊系數(shù)得2m+2n=8;

令a=1，b=1，c=1比較左右兩邊系數(shù)得3m+6n+p=27.

點(diǎn)評(píng)?這道題如果使用整式乘法法則計(jì)算，會(huì)比較復(fù)雜，但是在掌握了齊次式的概念，就能知道該式子展開是什么類型，不能確定的就是系數(shù)，因此利用待定系數(shù)法，就可快速求得結(jié)果.

例2?計(jì)算（xy+yz+zx）（1x+1y+1z）-xyz（1x2+1y2+1z2）.

分析?∵（xy+yz+zx）（1x+1y+1z）是關(guān)于x，y，z的輪換式，在乘法展開時(shí)，只要用xy分別乘以1x，1y，1z連同它的同型式一齊寫下.

解?原式=

（y+x+xyz）+

（z+x+xzy）+

（x+y+xyz）-（xyz+xzy+xyz）=2x+2y+2z.

點(diǎn)評(píng)?兩個(gè)對(duì)稱式（輪換式）的和，差，積，商（除式不為零），仍然是對(duì)稱式（輪換式）.

2.在因式分解中的運(yùn)用

由前面的基本概念，類似于x-y，（x-y）（y-z）（z-x），

x-yx+y均是交代式.

基本規(guī)律：兩個(gè)對(duì)稱式（輪換式）的和，差，積，商（除式不為零），仍然是對(duì)稱式（輪換式）.故：輪換式的因式分解結(jié)果仍是輪換式，交代式的因式分解結(jié)果一般是交代式和輪換式的乘積.交代式一般僅在因式分解當(dāng)中有所考察.

例3?分解因式：（b-c）3+（c-a）3+（a-b）3.

分析?原式多項(xiàng)式是輪換式，則因式分解的結(jié)果還是一個(gè)輪換式.利用因式定理可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a=b時(shí)，多項(xiàng)式值為零，因此，分解過后的式子肯定含有a-b，則同時(shí)含有b-c和c-a，這時(shí)候只要確定系數(shù)即可.

解?設(shè)（b-c）3+（c-a）3+（a-b）3=k（a-b）（b-c）（c-a），令a=2，b=1，c=a得k=3.故：（b-c）3+（c-a）3+（a-b）3=3（a-b）（b-c）（c-a）.

點(diǎn)評(píng)?這道題關(guān)鍵點(diǎn)是運(yùn)用因式定理，但是對(duì)稱式、交代式、齊次式、輪換式的知識(shí)會(huì)在當(dāng)中起到輔助的作用.另外，要注意的是，這道題分解的結(jié)果并不是簡單的（a-b）（b-c）（c-a）相乘，前面還有系數(shù).

變式?因式分解：a3（b-c）+b3（c-a）+c3（a-b）.

解?∵當(dāng)a=b時(shí)，a3（b-c）+b3（c-a）+c3（a-b）=0，

∴有因式a-b及其同型式b-c，c-a.

∵原式是四次齊次輪換式，除以三次齊次輪換式（a-b）（b-c）（c-a），可得一次齊次的輪換式a+b+c.

用待定系數(shù)法：

得a3（b-c）+b3（c-a）+c3（a-b）=-（a+b+c）（a-b）（b-c）（c-a）.

例4?因式分解：x3-y3.

分析?x3-y3是一個(gè)三次齊次交代式，則因式分解的結(jié)果是奇數(shù)個(gè)交代式與若干個(gè)對(duì)稱式相乘.而利用因式定理可知，x3-y3因式分解的結(jié)果含有一個(gè)x-y，剩下的就是一個(gè)二次對(duì)稱式了，設(shè)該二次對(duì)稱式為m（x2+y2）=kxy，易知m=1，只要確定k即可.

解?設(shè)x3-y3=（x-y）（x2+kxy+y2），當(dāng)x=1，y=-1時(shí)，解得k=1，故x3-y3=（x-y）（x2+xy+y2）.

點(diǎn)評(píng)?x3-y3是一個(gè)交代式，則x3-y3的分解結(jié)果會(huì)含有交代式和輪換式，當(dāng)x=y時(shí)，原代數(shù)式為0，故x3-y3含有因式x-y，這個(gè)剛好是交代式，剩下一個(gè)次數(shù)是2的輪換式.

例5?因式分解：x3+y3+z3-3xyz.

分析?x3+y3+z3-3xyz

是一個(gè)對(duì)稱式，當(dāng)x+y+z=0時(shí)，原式為0，故x3+y3+z3-3xyz因式分解含有x+y+z，而x3+y3+z3是一個(gè)三次齊次輪換式，則分解后剩下的部分是二次齊次輪換式，可設(shè)為：A（x2+y2+z2）+B（xy+yz+zx）.

解?x3+y3+z3-3xyz=（x+y+z）[A（x2+y2+z2）+B（xy+yz+zx）]，利用待定系數(shù)法求得A=1，B=-1.故x3+y3+z3-3xyz=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx）.

點(diǎn)評(píng)?一次齊次的輪換式形如：A（x+y+z），二次齊次的輪換式形如：A（x2+y2+z2）+B（xy+yz+zx）.

3.在分式中的運(yùn)用

對(duì)稱式、交代式、齊次式、輪換式在此模塊中的核心解題技巧是：

（1）若含有x、y、z的代數(shù)式是對(duì)稱式，則在解題中可設(shè)x≤y≤z;

（2）若含有x、y、z的代數(shù)式是輪換式，且x，y滿足性質(zhì)p，則x，z;y，z也滿足性質(zhì)p;

例6?已知a、b、c是互不相等的正整數(shù)時(shí)，求證：1-a+b+cabc≥0.

分析?1-a+b+cabc=

12-1ab+13-1ac+16

-1bc.由于a+b+cabc是一個(gè)對(duì)稱式，故設(shè)1≤a<b<c，當(dāng)a=1，b=2，c=3取極端情況.這時(shí)即可證明1-a+b+cabc≥0.

解?1-a+b+cabc=

12-1ab+13-1ac+16

-1bc.設(shè)1≤a<b<c，則12-1ab≥0，13-1ac≥0，16-1bc≥0，則1-a+b+cabc≥0.

點(diǎn)評(píng)?這題關(guān)鍵點(diǎn)是在于明白

a+b+cabc是一個(gè)對(duì)稱式，進(jìn)而設(shè)1≤a<b<c，故對(duì)稱式的相關(guān)概念及運(yùn)用在此類題目解題過程中起到關(guān)鍵作用.

例7?已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足

abc=1，a+b+c=4，

aa2-3a-1+bb2-3b-1+cc2-3c-1=1，求a2+b2-c2的值.

分析?題目當(dāng)中出現(xiàn)的所有式子都是對(duì)稱式，因此這道題解題過程中，必然對(duì)某種相似的部分做同種處理，例如若對(duì)aa2-3a-1

進(jìn)行變形，必然要同時(shí)對(duì)bb2-3b-1、cc2-3c-1進(jìn)行相同形式變形，三式綜合，可得到某種結(jié)果.一般情況下，具體如何變形沒有定論，還是要進(jìn)行嘗試.當(dāng)了解對(duì)稱式、交代式、齊次式、輪換式的基本概念和性質(zhì)時(shí)，它能提供的方向就是某些相同部分使用同一種變形方式.

解?由題得：1a=-bc，a=4-b-c，對(duì)于aa2-3a-1=1

a-3-1a=1bc-b-c+1=1（b-1）（c-1）.

類似的：bb2-3b-1=1（c-1）（a-1），cc2-3c-1=1（a-1）（b-1）.

三式相加得：aa2-3a-1+bb2-3b-1+cc2-3c-1=1（b-1）（c-1）+1（c-1）（a-1）+1（a-1）（b-1）=a+b+c-3（a-1）（b-1）（c-1）=1（a-1）（b-1）（c-1）=1.

所以：（a-1）（b-1）（c-1）=abc-（ab+bc+ca）+（a+b+c）-1=1，得：ab+bc+ca=1，所以：a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ca）=14.

點(diǎn)評(píng)?這道題難度大，對(duì)稱式、交代式、齊次式、輪換式的存在提供了一個(gè)解題方向：對(duì)三個(gè)式子進(jìn)行相同的處理.這就是對(duì)稱式、交代式、齊次式、輪換式存在的意義.

例8?已知：1x+1y+z=12，1y+1z+x=13，1z+1x+y=14，求2x+3y+4z的值.

分析?這道題條件中的代數(shù)式是三個(gè)輪換式，而且條件是三個(gè)等式，這里處理的方式即是對(duì)三個(gè)等式進(jìn)行相同的變化.

解?1x+1y+z=x+y+zx（y+z）=122x=y+zx+y+z.

類似的：3y=z+xx+y+z，4z=x+yx+y+z，三式相加得：2x+3y+4z=2.

點(diǎn)評(píng)?該題在解題過程中，條件中三個(gè)等式都進(jìn)行了同種變化，變化時(shí)是在考慮如何湊出2x+3y+4z

，最后再將三個(gè)式子進(jìn)行相加，即可得出最終結(jié)果.分式這塊很多題都有這類特點(diǎn).

例9?已知aba+b=115，bcb+c=117，cac+a=116，求abcab+bc+ac的值.

分析?典型的輪換式，對(duì)條件的三個(gè)式子同時(shí)取倒數(shù)即可.

解?由aba+b=115可得：a+bab=1a+1b=15，同理：1b+1c=17，1a

+1c=16.三式相加得：1a+1b+1c=24，故abcab+bc+ac=124.

點(diǎn)評(píng)?此題對(duì)于條件的變化方式還是相同：取倒數(shù).變化后的式子依然是相加得到所需結(jié)果.

例10?設(shè)x、y、z是三個(gè)互不相等的數(shù)，且x+1y=y+1z=z+1x，則xyz=.

分析?條件是一個(gè)連等輪換式，一般這種式子的處理方式是：轉(zhuǎn)化成x+1y=y+1z、x+1y=z+1x、y+1z=z+1x，對(duì)這三個(gè)式子進(jìn)行同種變化，再把得到三個(gè)式子相乘或者相加.

解?由x+1y=y+1z得：zy=y-zx-y.類似的：zx=z-xy-z，xy=x-yz-x.

三式相乘得：x2y2z2=1，故xyz=±1.

點(diǎn)評(píng)&nbsp;此題條件是連等式，解決方式則是將連等式轉(zhuǎn)化成三個(gè)等式.前提條件是準(zhǔn)備認(rèn)識(shí)到題目條件給出的是輪換式.難點(diǎn)在于三個(gè)等式的變化方式.因此，在理解“輪換式”的基礎(chǔ)上，還是要進(jìn)行一些嘗試，才能得到最終的解題方式.

4.在有關(guān)不等式中的應(yīng)用

例11?（2019高考數(shù)學(xué)全國1卷第23題[選修4-5：不等式選講]）已知a、b、c為正數(shù)，且滿足abc=1.證明：（1）1a+1b+1c≤a2+b2+c2;

（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24.

分析?第（1）問是一個(gè)明顯的對(duì)稱式，第二問是一個(gè)明顯的輪換式.第一問只要將分子1換成abc，然后移項(xiàng)配方就可以做出來;第2問要用到均值不等式.

解?（1）abca+abcb+abcc≤a2+b2+c2

a2+b2+c2-ab-ac-bc≥0

12[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]≥0，則原不等式成立.

（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）（b+c）（c+a）≥3·2ab·2bc·2ac=24.

點(diǎn)評(píng)?對(duì)稱式、交代式、齊次式、輪換式給出了一些解題方向，第1問處理方式，第二問部分處理方式.但是重要的還是課內(nèi)的基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)稱式、交代式、齊次式、輪換式能算得上“錦上添花”.第2問要用到均值不等式的延伸：a3+b3+c3≥3abc.

以上例題還存在片面性，對(duì)稱式、交代式、齊次式、輪換式一般出現(xiàn)在競(jìng)賽相關(guān)的知識(shí)當(dāng)中，學(xué)習(xí)這個(gè)可以鍛煉思維，能夠?qū)W會(huì)從不同角度解決問題，提升思維能力、解題能力.

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[責(zé)任編輯：李?璟]