林獻(xiàn)武，王仕超，李智斌，蘭維瑤

1. 廈門大學(xué) 航空航天學(xué)院，廈門 361005

2. 山東科技大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，青島 266510

飛行力學(xué)模型是研究飛艇技術(shù)的一個(gè)重要基礎(chǔ)，建立飛行力學(xué)模型的難點(diǎn)在于氣動(dòng)力和力矩的確定和處理。在長(zhǎng)達(dá)一百多年的飛艇技術(shù)發(fā)展過程中，許多學(xué)者對(duì)飛艇氣動(dòng)力和力矩的計(jì)算、測(cè)量和處理方法進(jìn)行了研究。19世紀(jì)及以前基于無旋無環(huán)流假設(shè)估算運(yùn)動(dòng)體的氣動(dòng)力和力矩，其理論由Lamb[1]總結(jié)；這個(gè)研究主要關(guān)注非定常氣動(dòng)力和力矩以及穩(wěn)態(tài)的Munk力矩。飛艇長(zhǎng)時(shí)間勻速直線平動(dòng)所對(duì)應(yīng)的氣動(dòng)力和力矩估算主要是基于20世紀(jì)20年代Munk提出的劃片法[2]，于20世紀(jì)中葉由Allen和Perkins[3-4]推廣到有黏流的情況并由Hopkins[5]進(jìn)行改進(jìn)；到了20世紀(jì)80年代，隨著計(jì)算技術(shù)的發(fā)展面元法也被應(yīng)用于飛艇定常氣動(dòng)力和力矩的數(shù)值計(jì)算中[6]。有黏流情況下，飛艇長(zhǎng)時(shí)間勻速直線平動(dòng)氣動(dòng)力和力矩實(shí)驗(yàn)測(cè)量的代表性工作有文獻(xiàn)[7-10]等。有黏流中非定常氣動(dòng)力和力矩實(shí)驗(yàn)測(cè)量的代表性工作有文獻(xiàn)[9-12]等。有黏流中的非定常氣動(dòng)力計(jì)算，早期的代表性工作有文獻(xiàn)[12-13]，近年來隨著CFD技術(shù)的發(fā)展，越來越多的學(xué)者開展基于CFD計(jì)算數(shù)據(jù)來辨識(shí)動(dòng)導(dǎo)數(shù)的研究[14-17]。關(guān)于有黏流和無黏流對(duì)應(yīng)氣動(dòng)系數(shù)的融合，代表性的工作有文獻(xiàn)[13，18-20]等。

在剛體假設(shè)下，運(yùn)動(dòng)體上任一點(diǎn)的速度可以用運(yùn)動(dòng)體的角速度和其上一點(diǎn)(不妨稱為平動(dòng)參考點(diǎn))的平動(dòng)速度來表征。因此飛行力學(xué)模型中一般取這些當(dāng)前運(yùn)動(dòng)參數(shù)為未知狀態(tài)變量，并建立與未知數(shù)個(gè)數(shù)相對(duì)應(yīng)的微分方程。為了在飛行力學(xué)模型中計(jì)入氣動(dòng)力或力矩的影響，一般需要將其與這些當(dāng)前運(yùn)動(dòng)參數(shù)關(guān)聯(lián)，這樣才能使方程組封閉；這種表征方法是通過氣動(dòng)系數(shù)的概念來實(shí)現(xiàn)的。對(duì)于無旋無環(huán)流場(chǎng)而言，Lamb的理論表明運(yùn)動(dòng)剛體的氣動(dòng)力和力矩均取決于其當(dāng)前運(yùn)動(dòng)參數(shù)，因此非定常氣動(dòng)系數(shù)的概念是存在的，一般稱為附加質(zhì)量。對(duì)于有黏或有旋流而言，運(yùn)動(dòng)剛體的非定常運(yùn)動(dòng)氣動(dòng)力或力矩不僅與其當(dāng)前運(yùn)動(dòng)參數(shù)有關(guān)，同時(shí)也受其歷史運(yùn)動(dòng)信息影響；因此傳統(tǒng)意義上的氣動(dòng)系數(shù)并不是嚴(yán)格存在的?；谶@個(gè)原因，現(xiàn)在飛艇飛行力學(xué)模型中的相當(dāng)部分非定常氣動(dòng)系數(shù)仍采用無黏流中的對(duì)應(yīng)結(jié)果。與俯仰、偏航、升沉或側(cè)滑運(yùn)動(dòng)有關(guān)的氣動(dòng)力或力矩，用于確定飛艇的擾動(dòng)特性；這時(shí)其所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)接近周期性振蕩過程，因此這些氣動(dòng)力和力矩仍可近似與其當(dāng)前運(yùn)動(dòng)參數(shù)相關(guān)，如文獻(xiàn)[14]中介紹的傅里葉分析法所示。正是基于這個(gè)原因，與飛艇俯仰、偏航、升沉或側(cè)滑運(yùn)動(dòng)有關(guān)的氣動(dòng)系數(shù)存在有黏流中的結(jié)果，它們與對(duì)應(yīng)當(dāng)前運(yùn)動(dòng)參數(shù)的關(guān)聯(lián)系數(shù)一般稱為動(dòng)導(dǎo)數(shù)。這時(shí)就存在一個(gè)問題：在飛艇飛行力學(xué)建模中，動(dòng)導(dǎo)數(shù)與無旋無環(huán)流中對(duì)應(yīng)的附加質(zhì)量均表示非定常氣動(dòng)力或力矩與當(dāng)前運(yùn)動(dòng)參數(shù)之間的關(guān)系，它們應(yīng)該如何融合，現(xiàn)有代表性工作[13，18-20]中所采用的方法并不一致。例如文獻(xiàn)[13]在氣動(dòng)系數(shù)融合時(shí)，同時(shí)采用了有黏流中的俯仰阻尼力/力矩和無旋無環(huán)流中對(duì)應(yīng)的非定常氣動(dòng)力/力矩；在文獻(xiàn)[19]中，既不采用有黏流中的動(dòng)導(dǎo)數(shù)，也不采用無旋無環(huán)流中的對(duì)應(yīng)結(jié)果；文獻(xiàn)[18]在采用部分有黏流中的動(dòng)導(dǎo)數(shù)后，摒棄了作者認(rèn)為與之對(duì)應(yīng)的無旋無環(huán)流中的結(jié)果；在文獻(xiàn)[20]中，非定常氣動(dòng)系數(shù)僅采用無旋無環(huán)流中的結(jié)果，這種融合方法也被近期的許多專著所采用[21-23]。這說明人們?cè)谶@個(gè)問題的認(rèn)識(shí)上不但存在爭(zhēng)議，而且多數(shù)文獻(xiàn)回避了這個(gè)問題，因此需要進(jìn)一步探討。由于潛航器或傳統(tǒng)重于飛行介質(zhì)的飛行器建模中也存在類似問題，因此研究這個(gè)問題具有重要意義。

導(dǎo)致這種不一致的根本原因有兩點(diǎn)：其一是缺乏統(tǒng)一的理論框架來計(jì)算和對(duì)比無旋無環(huán)流以及有黏流中的氣動(dòng)力和力矩。在無旋無環(huán)流中，氣動(dòng)力或力矩根據(jù)Lamb的理論取決于流場(chǎng)中的速度分布；在有黏流中，氣動(dòng)力或力矩一般是根據(jù)物體表面的壓力和摩擦力分布積分或加權(quán)積分得到；這樣人們就難以比較兩種流場(chǎng)中同成分氣動(dòng)力/力矩的從屬關(guān)系。其二是兩種流場(chǎng)中氣動(dòng)力/力矩的成分劃分不明確，一般將氣動(dòng)力/力矩按其與運(yùn)動(dòng)體當(dāng)前運(yùn)動(dòng)參數(shù)的關(guān)聯(lián)性劃分為不同成分。對(duì)于軸對(duì)稱體而言，與縱向非定常氣動(dòng)力/力矩有關(guān)的當(dāng)前運(yùn)動(dòng)參數(shù)有俯仰角速度和迎角變化率等，而與俯仰角速度相關(guān)的氣動(dòng)力/力矩既可以是因俯仰角速度引起，也可以是因部分迎角變化率引起[12]。這種特點(diǎn)使得人們無法從實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)或數(shù)值計(jì)算(CFD)結(jié)果中區(qū)分俯仰角速度引起的氣動(dòng)力/力矩成分和迎角變化率引起的氣動(dòng)力/力矩成分[10,14]，給氣動(dòng)力/力矩的成分劃分帶來困難。為了解決這兩個(gè)問題，本文首先介紹能兼容Lamb無旋無環(huán)流理論的渦量矩定理，使得飛艇的氣動(dòng)力和力矩可以在統(tǒng)一的框架下計(jì)算和分析，進(jìn)而明確同成分氣動(dòng)系數(shù)在兩種流場(chǎng)中的從屬關(guān)系；然后通過重構(gòu)運(yùn)動(dòng)體的當(dāng)前運(yùn)動(dòng)參數(shù)，將俯仰角速度和迎角變化率轉(zhuǎn)換為俯仰角速度和平動(dòng)加速度，使得按這種新運(yùn)動(dòng)參數(shù)劃分的氣動(dòng)力和力矩成分是明確并可計(jì)算或測(cè)量的。進(jìn)而根據(jù)這兩個(gè)研究結(jié)果，提出了一種動(dòng)導(dǎo)數(shù)與附加質(zhì)量的新融合方法。文章最后通過一個(gè)實(shí)際算例來評(píng)估這種新融合方法和文獻(xiàn)[18]中融合方法的差異對(duì)飛艇縱向擾動(dòng)特性的影響，說明采用這種新方法的必要性。

1 不可壓縮流中通用的氣動(dòng)力和力矩表達(dá)式

關(guān)于非定常氣動(dòng)力和力矩的計(jì)算和分析理論，最早被Lamb用于流體無黏假設(shè)系統(tǒng)闡述中。這種無黏流場(chǎng)中既不存在渦也不存在環(huán)量，因而和空氣動(dòng)力學(xué)中所說的無黏流和勢(shì)流概念又有所不同，這里簡(jiǎn)稱其為無旋無環(huán)流。與無旋無環(huán)流對(duì)應(yīng)的是有旋流或渦流，渦是由黏性引起的，在強(qiáng)調(diào)黏性影響的情況下也將渦流稱為有黏流。

Lamb[1]所介紹無旋無環(huán)流場(chǎng)中對(duì)應(yīng)的氣動(dòng)力和力矩方法是基于能量守恒的原理推導(dǎo)得到的；因?yàn)橛叙ち鲌?chǎng)中存在黏性損耗，因此這種方法難以被推廣到有黏流中去。運(yùn)動(dòng)體在有黏流場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)所對(duì)應(yīng)的氣動(dòng)力和力矩可以用Wu提出的渦量矩定理[24-26]來計(jì)算和分析，這種方法是基于動(dòng)量守恒方法得到的。然而在流場(chǎng)黏性減少為零的情況下，渦量矩定理并不能收斂于Lamb的研究結(jié)果[27]。這種不兼容性的原因之一在于渦量矩定理的推導(dǎo)過程中將運(yùn)動(dòng)體和流場(chǎng)視為一體。在無旋無環(huán)流的情況下，滑移邊界條件將導(dǎo)致速度等變量分布在流體和固體所占領(lǐng)的空間區(qū)域上不連續(xù)，從而導(dǎo)致渦量矩定理的推導(dǎo)過程和結(jié)果不成立。渦量矩定理不能兼容無旋無環(huán)流結(jié)果的另一個(gè)原因是目前許多渦動(dòng)力學(xué)理論[28-31]中的氣動(dòng)力和力矩表達(dá)式并沒有考慮力矩參考點(diǎn)可動(dòng)的情況；然而在飛行力學(xué)中，運(yùn)動(dòng)體所受氣動(dòng)力矩的參考點(diǎn)一般是固聯(lián)在運(yùn)動(dòng)體上的，因而是運(yùn)動(dòng)的。考慮到這些問題和不足，重新推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)體的氣動(dòng)力和力矩表達(dá)式可得到能同時(shí)兼容渦量矩定理和無旋無環(huán)流結(jié)果的氣動(dòng)力FA和力矩MA的公式為

(1)

(2)

式中：N=2,3為流場(chǎng)的維度；Si為與物面Sb相接觸的流體表面，Si與Sb之間的間距為無窮小但不重合；Rf,∞是流體所占領(lǐng)的無窮大空間區(qū)域；n是Si的法向方向并指向Rf,∞的外部，以指向運(yùn)動(dòng)體為正；r=x-x0是流場(chǎng)中某一點(diǎn)相對(duì)參考點(diǎn)O0的位矢；ρ是流體密度；ω是流場(chǎng)中的渦量分布。

注1Rf,∞是流體所占領(lǐng)的無窮大空間區(qū)域，它不同于一個(gè)趨于無窮大的空間區(qū)域。無窮大的空間區(qū)域Rf,∞是沒有外邊界的，因此式(2)在使用導(dǎo)數(shù)矩轉(zhuǎn)換(Derivative Moment Transformation， DMT)公式[28]展開體積分后，只有內(nèi)邊界Si上的積分。若是趨于無窮大的空間區(qū)域，因其有外邊界，在使用DMT公式展開體積分后還會(huì)多出一個(gè)與內(nèi)邊界Si類似的外邊界Se上的面積分。

注2對(duì)于無旋無環(huán)流場(chǎng)，式(2)可簡(jiǎn)化為

(3)

在無旋無環(huán)流中，Si上的滑移速度可以根據(jù)Hess[32]的面元法來計(jì)算。對(duì)于旋成橢球體的計(jì)算結(jié)果表明，用式(1)計(jì)算得到的氣動(dòng)力和力矩，與Lamb[1]和Munk[2]所得到的結(jié)果一致。

注3基于Lamb的理論，在求得物面速度勢(shì)的情況下，可以計(jì)算任意外形運(yùn)動(dòng)體的附加質(zhì)量或無旋無環(huán)流氣動(dòng)力/力矩。式(3)實(shí)際上提供了一種更簡(jiǎn)便的方法，在獲得物面速度分布的情況下，并不需要積分求速度勢(shì)就可以直接求氣動(dòng)力，這是式(3)的第1個(gè)優(yōu)點(diǎn)。其次，Lamb 公式中并沒有明確力矩參考點(diǎn)的位置，從上下文來看力矩參考點(diǎn)應(yīng)該是體坐標(biāo)系的原點(diǎn)或平動(dòng)參考點(diǎn)。事實(shí)上，力矩的參考點(diǎn)并不一定會(huì)和平動(dòng)參考點(diǎn)或體坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，因此式(3)給出的公式更具一般性。最后，Lamb公式中的v0是指平動(dòng)參考點(diǎn)或體坐標(biāo)系原點(diǎn)的速度。而式(1)中的v0是指力矩參考點(diǎn)的速度。在一般情況下，力矩參考點(diǎn)的速度是可以任意指定的，并不一定會(huì)與旋轉(zhuǎn)中心或體坐標(biāo)系原點(diǎn)的速度一致。這些都表明式(3)是對(duì)Lamb理論的推廣，同時(shí)也說明了Lamb公式的不足。

注4對(duì)于有黏流場(chǎng)而言，根據(jù)無滑移邊界條件Sb和Si上的流動(dòng)參數(shù)相同，不難看出式(1)中的氣動(dòng)力表達(dá)式與渦量矩定理[26]的氣動(dòng)力表達(dá)式一致。然而對(duì)比式(1)中的氣動(dòng)力矩表達(dá)式與渦量矩定理中的力矩表達(dá)式可發(fā)現(xiàn)，前者多了一項(xiàng)v0×Qf，∞。渦動(dòng)力學(xué)理論中缺少這一項(xiàng)的根本原因在于推導(dǎo)動(dòng)量矩定理的時(shí)候，并沒有考慮參考點(diǎn)速度的影響。在飛行力學(xué)的研究中，力矩的參考點(diǎn)一般是固聯(lián)在運(yùn)動(dòng)體上的，即速度不為零。因此考慮力矩參考點(diǎn)速度影響的結(jié)果更實(shí)用。

(4)

式(4)清楚地表明，無旋無環(huán)流和有黏流中流場(chǎng)的動(dòng)量或動(dòng)量矩享有相同的表達(dá)式。這樣根據(jù)式(1)可知，運(yùn)動(dòng)在有黏流場(chǎng)和無旋無環(huán)流場(chǎng)中以相同速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，其氣動(dòng)力或力矩的差異是因?yàn)槎叩臏u量分布不同所致。對(duì)于有黏流而言，物面上所產(chǎn)生的渦將在黏性的作用下逐漸擴(kuò)散到流場(chǎng)中去形成邊界層，并在對(duì)流的作用下最終形成尾跡。隨著黏性的減小，擴(kuò)散作用減弱，物面所產(chǎn)生的渦更加集中在物面附近并形成邊界層。當(dāng)流場(chǎng)黏性進(jìn)一步減少到零，這個(gè)邊界層就會(huì)最終縮減為滑移邊界。這表明無旋無環(huán)流場(chǎng)只是有黏流場(chǎng)在流體黏性為零情況下的一個(gè)特例。因此，在無旋無環(huán)流氣動(dòng)力或力矩與有黏流中對(duì)應(yīng)成分融合時(shí)，應(yīng)當(dāng)僅取有黏流中的結(jié)果。需要注意的問題是，只有相同成分的氣動(dòng)力或力矩才可以按上面的研究結(jié)論融合。然而有黏流和無旋無環(huán)流中的氣動(dòng)力或力矩的成分劃分方法并不相同。無旋無環(huán)流中的氣動(dòng)力或力矩一般是根據(jù)運(yùn)動(dòng)體平動(dòng)參考點(diǎn)速度和角速度劃分，而有黏流中的氣動(dòng)力或力矩一般是根據(jù)運(yùn)動(dòng)體的迎角、迎角變化率以及角速度等參數(shù)來劃分的。這樣在氣動(dòng)力或力矩融合之前，首先需要明確這兩種氣動(dòng)力或力矩劃分結(jié)果的成分對(duì)應(yīng)關(guān)系，或者說有黏流場(chǎng)中氣動(dòng)系數(shù)與無旋無環(huán)流場(chǎng)中附加質(zhì)量所表征氣動(dòng)力或力矩的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

2 氣動(dòng)系數(shù)計(jì)算與融合

只有基于可獲得的氣動(dòng)系數(shù)討論融合才有意義，也只有先明確氣動(dòng)系數(shù)的特點(diǎn)，才能討論解決氣動(dòng)系數(shù)融合的方法。因此本節(jié)先分別介紹氣動(dòng)系數(shù)在無旋無環(huán)流和有黏流中的算法和特點(diǎn)，然后討論氣動(dòng)系數(shù)在有黏流和無旋無環(huán)流中的融合方法。

2.1 無旋無環(huán)流中的氣動(dòng)系數(shù)計(jì)算

根據(jù)前面的分析，無旋無環(huán)流中氣動(dòng)力可根據(jù)式(1)和式(3)來計(jì)算，但這個(gè)結(jié)果并不能將氣動(dòng)力或力矩與運(yùn)動(dòng)體當(dāng)前的運(yùn)動(dòng)參數(shù)關(guān)聯(lián)起來。在初始時(shí)刻流場(chǎng)是靜止的情況下，根據(jù)面元法的理論[32]、廣義的Biot-Savart定理[26]或者文獻(xiàn)[1]中所介紹的Kirchhoff公式，均不難證明在無旋無環(huán)流的情況下Si上的滑移速度與運(yùn)動(dòng)體的當(dāng)前運(yùn)動(dòng)參數(shù)成正比。根據(jù)式(4)可知，流場(chǎng)中的總動(dòng)量和動(dòng)量矩可分別表示為

(5)

式中：vD為平動(dòng)參考點(diǎn)的速度；ωb為運(yùn)動(dòng)體的旋轉(zhuǎn)角速度；λFv、λFω、λMv、λMω為相關(guān)系數(shù)，它們均為二階張量。再根據(jù)式(1)可知，運(yùn)動(dòng)體在無旋無環(huán)流場(chǎng)中的氣動(dòng)力和力矩可表示為

(6)

式(6)表明，無旋無環(huán)流場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)體的氣動(dòng)力和力矩僅取決于運(yùn)動(dòng)體的當(dāng)前運(yùn)動(dòng)參數(shù)，因此可以建立氣動(dòng)系數(shù)的概念。這種氣動(dòng)系數(shù)可以取λFv、λFω、λMv、λMω在體坐標(biāo)系中的投影分量，一般被稱為附加質(zhì)量。

對(duì)于旋成體而言，若體坐標(biāo)系原點(diǎn)位于主軸上且Ox軸與主軸重合，則張量λFv、λFω、λMv、λMω在體坐標(biāo)系中的投影具有如下簡(jiǎn)化形式：

(7)

在這種情況下，氣動(dòng)力和力矩在體坐標(biāo)系中的投影矩陣可分別展開為

(8)

(9)

式中：u、v、w為平動(dòng)參考點(diǎn)速度vD在體坐標(biāo)系中的3個(gè)投影分量；p、q、r為當(dāng)前角速度ωb在體坐標(biāo)系中的3個(gè)投影分量。

根據(jù)式(6)可知，附加質(zhì)量可以根據(jù)不同運(yùn)動(dòng)參數(shù)下的氣動(dòng)力/力矩差分得到。以計(jì)算λ66為例，先給運(yùn)動(dòng)體一個(gè)僅擁有r分量的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，然后基于面元法計(jì)算運(yùn)動(dòng)體氣動(dòng)力矩在Oz軸方向上的分量Mz；由于在速度和角速度均為零時(shí)運(yùn)動(dòng)體的氣動(dòng)力矩為零，因此根據(jù)式(6)可知λ66=Mz/r。其他附加質(zhì)量系數(shù)可按類似計(jì)算[33-35]。已有的算例表明，針對(duì)橢球體，這種新計(jì)算方法與經(jīng)典結(jié)果一致；針對(duì)一般外形剛體，這種新計(jì)算方法比經(jīng)典方法更直觀、通用。

2.2 有黏流中的氣動(dòng)系數(shù)計(jì)算

在有黏流中，飛行力學(xué)著作一般采用如下方式來定義氣動(dòng)系數(shù)：

(10)

(11)

式中：U=SL為飛艇的特征體積；j、k分別是體坐標(biāo)系Oy軸和Oz軸的基矢量。對(duì)應(yīng)的氣動(dòng)系數(shù)可分別表示為

(12)

還有一種周期性擾動(dòng)是升沉運(yùn)動(dòng)或側(cè)滑平動(dòng)，與其加速度有關(guān)的力和力矩可表示為

(13)

且相關(guān)的氣動(dòng)系數(shù)可分別表示為

(14)

式中：ay、az分別表示運(yùn)動(dòng)體平動(dòng)參考點(diǎn)沿著體坐標(biāo)系Oy、Oz軸的平動(dòng)加速度；式(14)中各子式的最后一個(gè)等號(hào)使用了泊松公式。升沉運(yùn)動(dòng)中運(yùn)動(dòng)體無俯仰角速度而只有迎角變化，因此ay實(shí)際上表示某種迎角變化率。這里又出現(xiàn)了新問題，那就是在測(cè)量或計(jì)算與俯仰角速度有關(guān)的氣動(dòng)系數(shù)mzr時(shí)，運(yùn)動(dòng)體的迎角也發(fā)生了變化，這是否意味著辨識(shí)結(jié)果中也包含一部分迎角變化率引起的力矩呢？這個(gè)問題的答案是肯定的，人們很早就發(fā)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到與俯仰角速度相關(guān)的力矩中同時(shí)包含俯仰角速度引起的阻尼力矩和迎角變化率引起的下洗延遲力矩[12]；Wang在2012年基于CFD 和傅里葉分析法計(jì)算動(dòng)導(dǎo)數(shù)時(shí)也無法區(qū)分俯仰阻尼力矩和下洗延遲力矩這兩類氣動(dòng)系數(shù)[14]。因此，基于數(shù)值計(jì)算結(jié)果或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)辨識(shí)得到與俯仰角速度r相關(guān)的俯仰力矩系數(shù)mzr并非俯仰角速度所引起的俯仰阻尼力矩系數(shù)mz,r，因?yàn)榍罢哌€多包含一部分因迎角變化率所對(duì)應(yīng)的氣動(dòng)力矩。這種現(xiàn)象的存在，給氣動(dòng)系數(shù)的成分劃分帶來了困難，進(jìn)而阻礙了氣動(dòng)系數(shù)融合方法的研究，其解決方法將在2.3節(jié)具體討論。

2.3 動(dòng)導(dǎo)數(shù)與附加質(zhì)量的融合

動(dòng)導(dǎo)數(shù)和附加質(zhì)量分別在有黏流和無旋無環(huán)流中將飛艇的氣動(dòng)力和力矩與其當(dāng)前運(yùn)動(dòng)參數(shù)關(guān)聯(lián)起來，這就產(chǎn)生了動(dòng)導(dǎo)數(shù)和附加質(zhì)量的融合問題。根據(jù)前面所介紹的不可壓縮流中氣動(dòng)力和力矩的通用分析理論可知，同成分氣動(dòng)系數(shù)融合時(shí)，應(yīng)當(dāng)取有黏流中的結(jié)果并同時(shí)摒棄對(duì)應(yīng)的附加質(zhì)量。如果能在有黏流中計(jì)算所有的動(dòng)導(dǎo)數(shù)，那么氣動(dòng)系數(shù)的融合就不存在困難。從前面的氣動(dòng)系數(shù)計(jì)算分析中可以看出，無旋無環(huán)流中的附加質(zhì)量成分要比有黏流中的動(dòng)導(dǎo)數(shù)豐富。對(duì)于那些有黏流中無對(duì)應(yīng)成分的無旋流附加質(zhì)量，在融合過程中應(yīng)當(dāng)保留。因此研究氣動(dòng)系數(shù)融合的目的在于明確無旋無環(huán)流中附加質(zhì)量需要保留的部分。為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)目的，需要明確這兩種流場(chǎng)中氣動(dòng)系數(shù)成分的劃分及其對(duì)應(yīng)關(guān)系。

有黏流中的氣動(dòng)系數(shù)一般表示為平動(dòng)參考點(diǎn)速度的幅值vD、迎角α、側(cè)滑角β和運(yùn)動(dòng)體旋轉(zhuǎn)角速度ωb的函數(shù)，而無旋無環(huán)流中的氣動(dòng)力或力矩一般表征為平動(dòng)參考點(diǎn)的平動(dòng)速度在體坐標(biāo)系中分量u、v、w和ωb的函數(shù)。為了融合有黏流和無旋無環(huán)流的氣動(dòng)系數(shù)，首先需要建立這兩類參數(shù)之間的聯(lián)系，在小迎角假設(shè)下，這種關(guān)系為

(15)

可進(jìn)一步求得

(16)

(17)

接下來討論如何將無旋無環(huán)流氣動(dòng)力與新當(dāng)前運(yùn)動(dòng)參數(shù)相關(guān)聯(lián)。利用泊松公式可將式(6)中的氣動(dòng)力表達(dá)式改寫為

ωb×(λFv·vD)-ωb×(λFω·ωb)

(18)

其中：dr表示相對(duì)導(dǎo)數(shù)，即對(duì)矢量求導(dǎo)數(shù)時(shí)，只考慮坐標(biāo)的變化而不考慮參考坐標(biāo)系基矢量隨時(shí)間的變化[39]。從式(18)最后一個(gè)等號(hào)右邊可以明顯看出，與運(yùn)動(dòng)體角速度相關(guān)的氣動(dòng)力為最后3項(xiàng)而不是最后2項(xiàng)。這是因?yàn)閐rvD/dt采用相對(duì)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，本身受運(yùn)動(dòng)體角速度影響；而dvD/dt采用了絕對(duì)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，不受運(yùn)動(dòng)體角速度影響的緣故。這樣無旋無環(huán)流中與俯仰角速度q、r相關(guān)的氣動(dòng)力為

Fqr,p=λFv·[(qj+rk)×vD]-

(qj+rk)×(λFv·vD)-

(qj+rk)×[λFω·(qj+rk)]

(19)

另一方面，在運(yùn)動(dòng)體沒有平動(dòng)加速度，即dvD/dt=0 的情況下，由式(18)可知

(20)

Fqr1,p=Fqr,p-Fqr,p·i

(21)

式中：i為體坐標(biāo)系的Ox軸基矢量。根據(jù)有黏流和無旋無環(huán)流中的氣動(dòng)系數(shù)關(guān)系，式(21)與式(11) 融合后應(yīng)當(dāng)僅取式(11)中的第1式。

由式(18)還可知，無旋無環(huán)流中與橫向和法向平動(dòng)加速度有關(guān)的氣動(dòng)力為

(22)

有黏流場(chǎng)中與平動(dòng)加速度相關(guān)的氣動(dòng)系數(shù)為式(13) 中的第1式。類似地，這個(gè)式子并不含Ox軸向分量，因此它與無旋無環(huán)流中Fa,p的法向和橫向分量為

Fayaz1,p=Fayaz,p-Fayaz,p·i

(23)

根據(jù)有黏流和無旋無環(huán)流中的氣動(dòng)系數(shù)關(guān)系，式(23) 與式(13)融合后應(yīng)當(dāng)僅取式(13)中的第1式。

類似地，式(6)中的氣動(dòng)力矩表達(dá)式可改寫為

λMv·(ωb×vD)-ωb×(λMv·vD)-

ωb×(λMω·ωb)-

v0×λFv·vD-v0×λFω·ωb

(24)

Mqr,p=λMv·[(qj+rk)×vD]-

(qj+rk)×(λMv·vD)-

(qj+rk)×[λMω·(qj+rk)]-

v0×[λFω·(qj+rk)]

(25)

其法向和橫向分量為

Mqr1,p=Mqr,p-Mqr,p·i

(26)

無旋無環(huán)流中與法向和橫向平動(dòng)加速度相關(guān)的氣動(dòng)力矩為

(27)

其法向和橫向分量為

Mayaz1,p=Mayaz,p-Mayaz,p·i

(28)

有黏流中與俯仰角速度q、r相關(guān)且與Mqr1,p對(duì)應(yīng)的氣動(dòng)力矩為式(11)中的第2式，與運(yùn)動(dòng)體橫向和法向平動(dòng)加速度ax、ay相關(guān)且與Mayaz1,p對(duì)應(yīng)的氣動(dòng)力矩為式(13)中的第2式。類似地，與同樣當(dāng)前運(yùn)動(dòng)參數(shù)相關(guān)聯(lián)的，即同成分氣動(dòng)力和力矩的融合方法是直接取有黏流的結(jié)果。因此與周期性擺動(dòng)有關(guān)的氣動(dòng)力和力矩融合結(jié)果分別直接取式(11)和式(13)中的第2式。

3 算例分析

圖1 兩種氣動(dòng)系數(shù)融合方法對(duì)比

取平衡態(tài)為勻速直線運(yùn)動(dòng)，將飛艇的飛行力學(xué)模型線性化可得其縱向擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)模型為

(29)

式中：

xln=[ΔvD,Δα,r,Δ?]

Mln=

(30)

aln=

(31)

(32)

對(duì)于氣動(dòng)系數(shù)融合方法Ⅰ，推導(dǎo)的結(jié)果表明

(33)

(34)

取文獻(xiàn)[18]中飛艇的結(jié)構(gòu)參數(shù)，如表1所示。

表1 飛艇的參數(shù)

對(duì)于方法Ⅱ，氣動(dòng)參數(shù)計(jì)算如下：

(35)

(36)

圖2 縱向擾動(dòng)系統(tǒng)的根軌跡

為了進(jìn)一步分析各特征根的差異，將復(fù)數(shù)根的實(shí)部和虛部分別繪制于圖3，將兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別繪制于圖4。從圖3可以看出，共軛復(fù)數(shù)根的實(shí)部差異較大，但這種差異隨vD變化并不顯著。在vD∈(5 m/s,65 m/s)的范圍內(nèi)，按文獻(xiàn)[18]融合方法所引起的復(fù)數(shù)根實(shí)部相對(duì)誤差約在15%～20%之間。從圖3還可以看出，共軛復(fù)數(shù)根的虛部在vD較小時(shí)差異顯著，隨著vD增加這種差異逐漸減小。在飛行速度為5 m/s時(shí)，復(fù)數(shù)根虛部相對(duì)誤差可達(dá)33%。

圖3 復(fù)特征根隨飛行速度的變化

圖4 實(shí)特征根隨飛行速度的變化

從圖4可以看出，縱向擾動(dòng)系統(tǒng)擁有一大一小兩個(gè)實(shí)數(shù)根。其中絕對(duì)值較大的實(shí)數(shù)根在飛艇飛行速度較小的時(shí)候差異較大，隨著飛行速度增加，這種差異逐漸減小；在飛行速度為5 m/s時(shí)，這個(gè)實(shí)數(shù)根的相對(duì)誤差約為39%。絕對(duì)值較小的實(shí)數(shù)根在飛艇飛行速度較小時(shí)幾乎沒有差異；隨著速度增加，這種差異逐漸增大，在飛行速度約為25 m/s時(shí)，這個(gè)實(shí)數(shù)根的相對(duì)誤差達(dá)到最大值12%；但隨著速度的進(jìn)一步增加，這個(gè)實(shí)數(shù)根的相對(duì)誤差又逐漸減小。

4 結(jié) 論

氣動(dòng)系數(shù)是保證飛行器飛行力學(xué)模型封閉的前提條件。在無旋無環(huán)流中，飛艇的氣動(dòng)力/力矩可以直接與其當(dāng)前運(yùn)動(dòng)參數(shù)相關(guān)，非定常氣動(dòng)系數(shù)即附加質(zhì)量的概念是存在的，氣動(dòng)力/力矩或氣動(dòng)系數(shù)均可根據(jù)當(dāng)前運(yùn)動(dòng)參數(shù)明確劃分。對(duì)于有黏流而言，只有一些與周期性運(yùn)動(dòng)相關(guān)的非定常氣動(dòng)力/力矩才可以與當(dāng)前運(yùn)動(dòng)參數(shù)相關(guān)，進(jìn)而定義非定常氣動(dòng)系數(shù)即動(dòng)導(dǎo)數(shù)的概念。

為了研究這兩種氣動(dòng)系數(shù)的融合問題，首先建立了能同時(shí)適用于無旋無環(huán)流和有黏流的氣動(dòng)力和力矩表達(dá)式；然后在同一框架下對(duì)這兩種流場(chǎng)中的氣動(dòng)系數(shù)進(jìn)行分析和成分劃分；最后明確了這兩種氣動(dòng)系數(shù)的融合方法。就縱向非定常氣動(dòng)力/力矩而言，它一般被表示為俯仰角速度和迎角變化率的函數(shù)，這時(shí)應(yīng)特別注意基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或數(shù)值計(jì)算結(jié)果辨識(shí)得到與俯仰角速度相關(guān)的氣動(dòng)力/力矩中也含有部分與迎角變化率引起的成份；因此與迎角變化率相關(guān)的氣動(dòng)力/力矩應(yīng)當(dāng)只考慮升沉平動(dòng)加速度所對(duì)應(yīng)迎角變化率引起的部分。

為了將動(dòng)導(dǎo)數(shù)與附加質(zhì)量融合，無旋無環(huán)流中的氣動(dòng)力/力矩也應(yīng)該按類似的方法劃分，這樣在動(dòng)導(dǎo)數(shù)和附加質(zhì)量融合時(shí)，若動(dòng)導(dǎo)數(shù)存在，則融合結(jié)果取動(dòng)導(dǎo)數(shù)，同時(shí)摒棄對(duì)應(yīng)附加質(zhì)量所表征的氣動(dòng)力/力矩；若動(dòng)導(dǎo)數(shù)不存在，則取附加質(zhì)量對(duì)應(yīng)的結(jié)果。忽視與俯仰角速度相關(guān)氣動(dòng)力/力矩中含有迎角變化率引起的成份這個(gè)事實(shí)并使用融合后的氣動(dòng)系數(shù)分析飛艇的動(dòng)態(tài)特性，將使特征根產(chǎn)生較大的誤差。這個(gè)分析結(jié)果對(duì)于橫向動(dòng)導(dǎo)數(shù)和附加質(zhì)量的融合同樣適用。