劉苑醒，張瑋瑋，張紅梅

（安慶師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽安慶246133）

復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)向量、連接權(quán)值和激活函數(shù)都是復(fù)值，它不僅是實(shí)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的簡(jiǎn)單擴(kuò)展，而且其性質(zhì)也更為復(fù)雜。復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以解決一些實(shí)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)無(wú)法解決的問(wèn)題，比如用于異或問(wèn)題和對(duì)稱性問(wèn)題的檢測(cè)[1]。分?jǐn)?shù)階微積分是關(guān)于任意階微分和積分的理論，也是整數(shù)階導(dǎo)數(shù)和積分在任意階上的推廣。分?jǐn)?shù)微分方程被認(rèn)為是生物學(xué)、化學(xué)、物理、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和其他科學(xué)領(lǐng)域中對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行建模的有力工具，其主要優(yōu)點(diǎn)是分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)具有遺傳和無(wú)限記憶的特點(diǎn)。因此，許多研究者將分?jǐn)?shù)算子應(yīng)用到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，建立分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并且取得了許多研究成果，比如投影同步[2]、全局Mittag-Leffler同步[3]、固定時(shí)間反同步[4]和自適應(yīng)投影同步[5]。其中在文獻(xiàn)[2]中，利用分?jǐn)?shù)階不等式、拉普拉斯變換和建立一種簡(jiǎn)單的線性控制策略來(lái)實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階復(fù)值遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的投影同步；文獻(xiàn)[5]通過(guò)在復(fù)數(shù)域上構(gòu)造新的分?jǐn)?shù)階微分不等式和設(shè)計(jì)新的自適應(yīng)混合控制器，利用分?jǐn)?shù)階李雅普諾夫引理和復(fù)變函數(shù)理論得到了分?jǐn)?shù)階復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)同步的充分條件。另一方面，研究整數(shù)階模型的方法不能簡(jiǎn)單應(yīng)用到分?jǐn)?shù)階模型中，最好用分?jǐn)?shù)階的理論來(lái)研究分?jǐn)?shù)階模型，這在技術(shù)方面為研究分?jǐn)?shù)階復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)特征帶來(lái)了一定的困難。應(yīng)該認(rèn)識(shí)到在實(shí)際同步實(shí)現(xiàn)中，同步誤差不能總是隨著時(shí)間接近零，而是波動(dòng)的，這使得研究準(zhǔn)一致同步有一定的必要性。然而在先前的文獻(xiàn)中研究分?jǐn)?shù)階復(fù)值時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的準(zhǔn)一致同步較少?；诖?，本文選取一種比較簡(jiǎn)單的線性控制器，利用H?lder 不等式、Cauchy-Schwartz不等式、Gronwall不等式和不等式放縮技巧分別在1 2 ≤α ＜ 1和0 ＜ α ＜ 1 2的兩種情況下討論分?jǐn)?shù)階復(fù)值時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的準(zhǔn)一致同步，并得到保證分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的準(zhǔn)一致同步的充分條件。

在本文中，Pn表示n維實(shí)數(shù)空間，Rn×m是一組n × m 階實(shí)矩陣。上標(biāo)“T”表示轉(zhuǎn)置。?,?n,?n×m分別表示所有復(fù)數(shù)的集合、所有n維復(fù)數(shù)向量的集合以及所有n×m階復(fù)值矩陣的集合。i表示虛數(shù)單位，即對(duì)于任意復(fù)數(shù)z=x+iy∈X，符號(hào)表示 z 的模，即給定向量表示z的2-范數(shù)，即表示由M 到N 的n 階連續(xù)可微函數(shù)組成的空間。對(duì)于函數(shù)ψ(t):[t0- τ,τ]→ ?n，定義范數(shù)。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[6]函數(shù)h(t)的非整數(shù)α(α＞0)階的分?jǐn)?shù)積分的定義其中Γ(?)是Gamma函數(shù)。

定義2[6]函數(shù)h(t)的α分?jǐn)?shù)階Caputo導(dǎo)數(shù)定義如下：

其中n-1＜ α ＜ n∈?+，特別地，當(dāng)0 ＜ α ＜ 1時(shí)，有。

引理1[7]若

引理2[8]（H?lder 不等式）假設(shè)q,p＞1,且則

其中L1(Ω)是所有勒貝格可測(cè)函數(shù)f的Banach空間，其中f:Ω →?且。

特別地，令p,q=2，就得到Cauchy-Schwartz不等式：

引理3[9]令n∈?，ω＞1，則。

引理4[10]（Gronwall 不等式）若其中所涉及的所有函數(shù)在[t0,T)上連續(xù)，T ≤∞且k(t)≥0，則x(t)滿足。

在本文中，考慮以下分?jǐn)?shù)階時(shí)滯復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

其中j=1,2,…,n,其向量形式為

其 中 0 ＜ α ＜ 1，n 是 神 經(jīng) 元 的 數(shù) 量 ，z(t)=(z1(t),z2(t),…,zn(t))∈??n是 狀 態(tài) 向 量 ，F(xiàn)(z(t))=(f1(z1(t)),f2(z2(t)),…,fn(zn(t)))Τ、G(z(t))=(g1(z1(t)),g2(z2(t)),…,gn(zn(t)))Τ分別表示無(wú)時(shí)滯和有時(shí)滯的神經(jīng)元有界激活函數(shù)，A=(ajk)n×n、B=(bjk)n×n∈??n×n分別表示無(wú)時(shí)滯和有時(shí)滯的連接權(quán)重矩陣，C=diag{ c1,c2,…,cn}∈?n×n(cj＞0)是自反饋連接權(quán)重矩陣，P(t)=(P1(t),P2(t),…,Pn(t))T∈?n是外部輸入向量，τ是時(shí)滯且τ＞0，模型（2）定義為驅(qū)動(dòng)模型。

為了討論分?jǐn)?shù)階復(fù)值時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的準(zhǔn)一致同步，定義響應(yīng)系統(tǒng)如下：

其向量形式：

其中U(t)為控制器且U(t)=(U1(t),U2(t),…,Un(t) )Τ。

假設(shè)1令z=x+iy，F(xiàn)(z(t))和G(z(t-τ))是解析的，把它們用實(shí)部和虛部分開來(lái)表示：

同樣地，復(fù)數(shù)矩陣 A 和 B 也可以表示為 A=AR+iAI,B=BR+iBI，令，外部輸入向量P(t)表示為P(t)=PR(t)+iPI(t)，控制器U(t)表示為U(t)=UR(t)+iUI(t)。

假 設(shè) 2在 ?2上 滿 足 Lipschitz 條 件 ，即 對(duì) 任 意存在正數(shù)使得

備注1注意到對(duì)于任意有：

同樣地，也可以得到：

將分?jǐn)?shù)階復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（2）和（4）中的狀態(tài)向量、連接權(quán)重矩陣、向量激活函數(shù)、外部輸入向量和控制器分成實(shí)部和虛部來(lái)表示得到：

定義驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)之間的誤差為e(t)，令

選取響應(yīng)系統(tǒng)（4）中的控制器：

其中H =diag{h1,h2,…,hn}∈?n×n，則誤差系統(tǒng)（5）可改寫為

定義 3[11]對(duì)于誤差系統(tǒng)（5），若對(duì)于?ε＞0，存在兩個(gè)常數(shù)0 ＜ δ ＜ ε,Τ＞0，當(dāng)‖ ‖e(t0) ＜ δ 時(shí)，有對(duì)?t∈J=[t0,t0+Τ]，其中t0為初始觀測(cè)時(shí)間，則稱分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（2）和響應(yīng)系統(tǒng)（4）實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)一致同步。

根據(jù)引理1，系統(tǒng)（7），（8）可以分別表示為

2 主要結(jié)果

定理1在假設(shè)1和假設(shè)2的前提下，若1 2 ≤α ＜1且

則對(duì)于t∈J=[0,T]，分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（2）和響應(yīng)系統(tǒng)（4）實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)一致同步。

證明由假設(shè)1和假設(shè)2得到

利用引理2，得到

同樣地，可以得到

將（13）～（16）式代入（12）式得到

利用引理3，令n=4，ω=2，從（17）式中得到

將（19）式代入到（18）式得到

同理，可以得到

通過(guò)（20），（21）式可以得到

在（22）式左右兩端同時(shí)乘以e-2t得到

其中S1,S2是如定理1中的形式，通過(guò)Gronwall不等式得到

定理2在假設(shè)1和假設(shè)2的前提下，若0 ≤α ＜1 2且

p=1+α,q=1+ 1 α,則對(duì)t∈J=[0,T],分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（2）和響應(yīng)系統(tǒng)（4）實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)一致同步。

證明與定理1相同，有：

利用引理2得到

同樣地，可以得到

將（26）～（29）式代入（25）式得到

利用引理3，令n=4,ω =q,從（30）式得到

將（32）式代入到（31）式得到

同理，可以得到

把（35）式代入到（34）式后，并在（34）式左右兩邊同乘以e-qt得到

其中S3,S4如定理2中的形式，通過(guò)Gronwall不等式得到

因此

3 應(yīng)用舉例

為了驗(yàn)證所得結(jié)果的正確性以及可行性，現(xiàn)給出數(shù)值模擬結(jié)果如下。

例1 考慮一個(gè)具有雙神經(jīng)元的分?jǐn)?shù)階復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)：

其中

分?jǐn)?shù)階復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的響應(yīng)系統(tǒng)為：

（1）當(dāng)α=0.88 時(shí)，取控制器中的H為取α=0.88，τ=0.1，δ=0.1，ε=1，由定理1可以得到S1≈0.616 9，S2≈23760。將上述值代入（11）式，因分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（2）和響應(yīng)系統(tǒng)（4）實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)一致同步的時(shí)間Te≈1.5819，得不等式（11）成立。取初始條件為對(duì)于s∈[-1,0]，得到圖1～圖4。

（2）當(dāng)α=0.49 時(shí)，取控制器中的矩陣δ=0.1，ε=1，由定理2 可以算出S3≈0.099 5，S4≈115 108.6。因分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（2）和響應(yīng)系統(tǒng)（4）實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)一致同步的時(shí)間Te≈2.006 0，將上述值代入（24）式，得取系統(tǒng)中的初始條件為z1(s)=500-300i，z2(s)=150-100i，z?1(s)=-250+100i，z?2(s)=-75+75i，對(duì)于s∈[-1,0]，得到圖5～圖8。

4 總 結(jié)

本文討論了在1 2 ≤α＜1和0 ＜α＜1 2兩種情況下，分?jǐn)?shù)階復(fù)值時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的準(zhǔn)一致同步問(wèn)題。通過(guò)利用H?lder不等式、Cauchy-Schwartz不等式、Gronwall不等式和一些不等式技巧，實(shí)現(xiàn)了驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)的準(zhǔn)一致同步，并利用數(shù)值模擬說(shuō)明所得結(jié)果是正確和可行的。應(yīng)該指出的是，許多復(fù)雜的系統(tǒng)近年來(lái)得到了廣泛的研究，而本文選擇的控制器比較特殊。將來(lái)會(huì)利用一些新的技術(shù)來(lái)研究更復(fù)雜系統(tǒng)的一些同步問(wèn)題，譬如有限同步、定時(shí)同步等等。

圖1 誤差(t)的狀態(tài)軌跡

圖2 誤差(t)的狀態(tài)軌跡

圖3 誤差(t)的狀態(tài)軌跡

圖4 誤差(t)的狀態(tài)軌跡

圖5 誤差(t)的狀態(tài)軌跡

圖6 誤差(t)的狀態(tài)軌跡

圖7 誤差(t)的狀態(tài)軌跡

圖8 誤差(t)的狀態(tài)軌跡