曹 春，門秀萍，張子振

（安徽財經大學管理科學與工程學院，安徽蚌埠233030）

根據中國互聯網中心第43次中國互聯網絡發(fā)展狀況統計，截至2018年12月，我國手機網民規(guī)模達8.17 億，其中手機即時通信用戶達7.80 億，占手機網民的95.5%[1]。微信及WeChat 月活躍賬戶總計達10.825億，微信成為了亞洲用戶量最多的即時通訊軟件。然而，隨著微信平臺用戶的不斷增多以及微信使用過程中產生的信息量的不斷增加，公共部門管控非法網絡信息和防護網絡信息安全變得更加困難[2-3]，這給社會和個人帶來了不可忽視的安全風險[4]。因此，研究微信信息傳播過程的特點對管控微信輿論、維護網絡安全具有重要意義。

為了研究微信信息傳播規(guī)律，一些研究者從傳染病病毒模型的角度構建信息傳播模型以描述微信信息的傳播過程。文獻[5]以微信朋友圈為研究對象，構建了一種SEIR信息傳播動力學模型，以解釋朋友圈信息傳播規(guī)律。文獻[6]結合復雜網絡理論和傳染病動力學，研究了一類SIR信息傳播模型，從用戶接受閾值和關系動機方面分析微信信息傳播的過程。文獻[7]在SIR模型的基礎上考慮了微信朋友圈緊密度、免疫以及策略改變機制等因素，提出了微信朋友圈信息傳播演化規(guī)則，構建了微信朋友圈信息傳播演化模型。文獻[8]基于復雜網絡角度，對微信信息傳播過程構建Agent模型，分析了微信信息傳播演進的過程。上述文獻的傳播模型均沒有考慮在信息傳播過程中微信平臺用戶數量的變化情況，而用戶數量對于信息傳播過程有著重要影響。最近，文獻[9]研究了一類具有輸入人群的SIRS微信信息傳播模型：

模型（1）中，S表示微信平臺上接收到信息的信息敏感用戶，I表示接收信息并傳播的信息活躍用戶，R表示接收到信息但不傳播的信息免疫用戶，r表示信息的傳播率，μ表示用戶接收到信息但不再傳播的概率，A表示注冊到具有該信息的微信平臺的用戶數量，δ表示不傳播該信息的用戶回到具有該信息的微信平臺的概率，d表示用戶接收但不關注該信息的概率。

本文以文獻[9]提出的SIRS信息傳播模型為基礎，引入微信用戶的信息臨時免疫期時滯，研究了下列具有時滯的SIRS信息傳播模型：

其中τ為信息臨時免疫期時滯。

1 局部漸近穩(wěn)定性

計算模型（2）的平衡點，當Ar＞μd時，模型（2）存在唯一的平衡點E(S*,I*,R*)，其中S*=μ r，R*=(Ar-μd)rd，I*=(δ+d)R*μ。對模型（2）進行線性化處理，即S(t)、I(t)、R(t)做平移變換，令μ1(t)=S(t)-S*，μ2(t)=I(t)-I*，μ3(t)=R(t)-R*，仍然將μ1(t)，μ2(t)，μ3(t)記作S(t)，I(t)，R(t)。

通過計算，可以得到模型（2）在平衡點E(S*,I*,R*)處的線性化部分為

其中，a1=-(rI*+d)，a2=-rS*，a3=rI*，a4=rS*-μ，a5=μ，a6=-d，b1=δ，b2=-δ。進而，計算模型（3）的特征方程，得到：

其 中 ，P0=a2a3a6-a1a4a6，P1=a1a4-a2a3+a1a6+a4a6，P2=-(a1+a4+a6)，Q0=a2a3b2-a1a4b2-a3a5b1，Q1=a1b2+a4b2，Q2=-b2。

當時滯τ=0 時，方程（4）轉化為λ3+P02λ2+P01λ+P00=0,其中，P00=P0+Q0，P01=P1+Q1，P02=P2+Q2。如果勞斯-赫爾維茲穩(wěn)定性判據成立，即條件（H1）：Det1=P02＞0，Det2=P02×P01-P00＞0 ，Det3=P00×Det2＞0，成立，即矩陣的主子式均為正，那么，模型（2）的平衡點E(S*,I*,R*)是局部漸近穩(wěn)定的。

當時滯τ＞0時，令λ=iω(ω＞0)為特征方程（4）的根，代入（4）式進行化簡計算，可以得到下列等式

消除（5）式中的三角函數，則

為了得到本文主要結果，給出假設（H2）：方程（6）至少存在一個正根。

若假設（H2）成立時，方程（6）存在一個正根ω0使得方程（4）存在一對純虛根±iω0。對方程（5）進行消除sin函數處理，可以計算得到時滯τ的臨界點表達式為

對方程（4）的左右兩端分別對τ進行求導，得到

對上面的表達式進行取實數計算，得到實數部分為

顯然，如果假設（H3）：f′(v*)≠0 成立，那么根據上述分析結果和文獻[10]中Hopf分岔理論，可以得到以下結論。

對于模型（2），如果提出的假設（H1）～（H3）均成立，那么當時滯τ∈[0,τ0)時，模型（2）的平衡點E(S*,I*,R*)是局部漸近穩(wěn)定的；而當時滯τ=τ0時，模型（2）在平衡點E(S*,I*,R*)處失去穩(wěn)定性并產生Hopf分岔。

2 Hopf分岔方向和分岔周期解

令τ=τ0+μ,μ∈?，那么模型（2）在μ=0 處產生Hopf 分岔。通過定義連續(xù)實值函數的空間為C=C([-1,0],?3)，Lμ:C→ ?3，F:? ×C→ ?3，令μ1(t)=S(t)-S*，μ2(t)=I(t)-I*，μ3(t)=R(t)-R*，再對時間延遲進行歸一化處理t→(t/τ)，可以將模型（2）轉換為下列等價模型：μ˙(t)=Lμ μt+F(μ,μt)，其中，

由黎茲表示定理可知，存在η(θ,μ)，θ∈[-1,0]滿足對于φ∈C，可以選擇η(θ,μ)=(τ0+μ)(Amaxδ(θ)+Bmaxδ(θ+1))，其中δ(θ)是狄拉克德爾塔函數。

對于φ∈C([-1,0],?3)，給出定義

則模型（2）可以轉換成下列形式˙(t)=A(μ)μt+R(μ)μt，對于φ∈C1([0,1],(?3)*)，則可得A(0)的伴隨算子A*

A和A*的雙線性內積滿足

其中η(θ)=η(θ,0)。

設A(0)的特征值為+iω0τ0時，對應的特征向量為ρ(θ)=(1,ρ2,ρ3)Teiω0τ0θ；A*(0)的特征值為-iω0τ0時，對應的特征向量為計算可以得到

根據文獻[10]中的算法，可以得到Hopf 分岔方向和分岔周期解穩(wěn)定性系數：

計算可得Hopf分岔性質系數

通過上述分析，可以得到下列結論：在模型（2）中，若μ2＞0(μ2＜ 0)，Hopf 分岔是超臨界的（亞臨界的）；若β2＜ 0(β2＞0)，分岔周期解是穩(wěn)定的（不穩(wěn)定的）；若T2＞0(T2＜ 0)，分岔周期是增大的（減小的）。

3 仿真分析

本文用Matlab軟件對建立的時滯微信信息傳播模型進行數值模擬分析。對于模型（2）中的參數，取A=2.3，δ=0.4，r=0.9，d=0.15，μ=0.25，可以得到下列信息傳播模型：

將參數代入求得的平衡點表達式，得到模型（8）唯一的平衡點為E(0.277 8,33.122 2,15.055 6)，將參數代入ω0和時滯τ0的表達式，計算得到ω0=0.217 8，τ0=13.909 5。當τ=8.232 7∈[0,τ0)時，仿真的結果如圖1 所示，模型（8）是局部漸近穩(wěn)定的。當τ=16.352＞τ0時，仿真的結果如圖2所示，這時模型（8）失去穩(wěn)定性，產生Hopf分岔。

圖1 當時滯τ=8.272 3∈[0,τ0)時，模型（8）漸近穩(wěn)定

圖2 當時滯τ=16.352＞τ0時，模型（8）失去穩(wěn)定并產生Hopf分岔

4 結 論

本文在文獻[9]研究工作的基礎上，進一步研究了微信平臺用戶的信息臨時免疫期時滯對信息傳播的影響，分析了具有時滯的SIRS微信信息傳播模型，了解了微信信息的動態(tài)傳播過程。通過討論模型特征根的分布，得到了該時滯SIRS模型的局部漸近穩(wěn)定性和產生Hopf分岔的充分條件。研究和仿真表明，微信信息傳播中，用戶的信息臨時免疫期時滯超過臨界值時會使模型失去穩(wěn)定性，使得模型中的三類用戶以周期震蕩的形式存在，不利于對微信信息傳播過程進行控制。因此，為了有效控制微信信息的傳播過程，提高信息監(jiān)管的時效性，應當關注用戶的信息臨時免疫期時滯，以盡早采取措施應對Hopf分岔的產生。