劉兆偉

一、起疑：提出設(shè)想

學(xué)校五年級(jí)數(shù)學(xué)組在進(jìn)行“多邊形的面積”單元（蘇教版五年級(jí)上冊(cè)）集體備課時(shí)，有教師提出這樣的設(shè)想：可以先教學(xué)三角形的面積，再教學(xué)平行四邊形和梯形的面積，其理由是多邊形中最簡單、最基本的是三角形，任意多邊形都可以分割成若干個(gè)三角形，如果知道了三角形的面積公式，那么就可以通過分割求和的方式推導(dǎo)出平行四邊形和梯形的面積公式。這樣的想法在邏輯上是可行的，但問題是現(xiàn)行教材中都是先教學(xué)平行四邊形的面積公式，再依據(jù)其推導(dǎo)出三角形的面積公式。能否跳過平行四邊形的面積先教學(xué)三角形的面積呢？

二、慎思：可行性分析

數(shù)學(xué)史對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著重要的指導(dǎo)作用，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程可以看作數(shù)學(xué)史的濃縮。以史為鑒，從數(shù)學(xué)史的角度對(duì)上述問題進(jìn)行分析，能夠讓教師對(duì)一些問題獲得更為透徹的理解。

史寧中教授在其所著的《數(shù)學(xué)思想概論（第2輯）》中提到：幾何學(xué)是古埃及人發(fā)明的，因?yàn)閷?shí)際需要，他們創(chuàng)造了一套有效的計(jì)算土地面積的方法，其中包括三角形、長方形和梯形的面積公式，還包括圓面積的近似公式，這些公式被記錄在公元前1700年左右的萊茵德紙草書上。古埃及人用來計(jì)算長方形面積的方法為“長乘寬”，古埃及人還知道，直角三角形的面積為長方形面積的一半。顯然，古埃及人是依據(jù)長方形的面積計(jì)算方法得到直角三角形的面積計(jì)算方法的。

公元1世紀(jì)左右，我國第一部數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中也記載了三角形的面積計(jì)算方法，人教版教材和蘇教版教材中（如圖1）都以“你知道嗎”欄目向?qū)W生介紹了這種計(jì)算方法。學(xué)生從“你知道嗎”中了解我國古代數(shù)學(xué)家是通過“以盈補(bǔ)虛”的方法將三角形等積轉(zhuǎn)化成長方形，并得到三角形的面積計(jì)算方法“半廣以乘正從”。

公元5世紀(jì)，古印度的著名數(shù)學(xué)家阿耶波多在其所著的《阿里亞哈塔歷書》一書中記載了一般三角形的面積公式。在該書“算術(shù)篇”第6回中，阿耶波多準(zhǔn)確地給出了一般三角形的面積公式“對(duì)于一個(gè)三角形，底的一半與高的乘積即為其面積”，顯然這個(gè)公式也是依據(jù)長方形的面積公式推導(dǎo)而來的。

從數(shù)學(xué)史可以看到，古人是依據(jù)長方形的面積公式得到三角形的面積公式的，并不是依據(jù)平行四邊形的面積公式推導(dǎo)出三角形的面積公式的，所以教師完全可以先教學(xué)三角形的面積。

三、明辨：價(jià)值叩問

通過上述分析，教師發(fā)現(xiàn)先教學(xué)三角形的面積公式是可行的。但有教師提出疑問：依據(jù)平行四邊形的面積公式推導(dǎo)三角形的面積公式極其簡單，學(xué)生很容易理解，而依據(jù)長方形的面積公式推導(dǎo)三角形的面積公式在思維上有一定的難度，學(xué)生學(xué)起來比較困難。放著簡單的路不走，偏走一條困難的路，有價(jià)值嗎？確實(shí)，沒有價(jià)值的教學(xué)創(chuàng)新是沒有必要的，因此需要對(duì)這兩種不同教學(xué)思路的價(jià)值進(jìn)行分析。

（一）“簡單”未必簡單

蘇教版教材在“三角形的面積”一課中安排了兩個(gè)例題，例4讓學(xué)生計(jì)算三個(gè)放置于平行四邊形中的三角形的面積（如圖2），從中學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)三角形的面積公式，例5則依據(jù)兩個(gè)完全一樣的三角形與拼成的平行四邊形之間的關(guān)系推導(dǎo)并確定三角形的面積公式，其他版本教材中的教學(xué)思路與之大致相同。

如果僅從知識(shí)獲得的角度來看，按照教材中的步驟進(jìn)行教學(xué)確實(shí)簡單、高效。但學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要獲得知識(shí)、技能，更要在獲得知識(shí)的過程中感悟數(shù)學(xué)思想方法、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展思維能力。從這個(gè)角度來看，在依據(jù)平行四邊形的面積公式推導(dǎo)三角形的面積公式的過程中，最為重要、最為關(guān)鍵的是學(xué)生怎么能夠想到將三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形，怎樣將三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形。教材中的處理方式是直接將最為關(guān)鍵的方法呈現(xiàn)給學(xué)生，這樣學(xué)生完成剩下的探究任務(wù)當(dāng)然不存在任何困難，但在這樣的探究過程中學(xué)生充當(dāng)?shù)闹皇遣僮鞴さ慕巧y以獲得深刻的感悟，并發(fā)展思維能力。

如果不給學(xué)生提供關(guān)鍵方法，會(huì)怎樣呢？于是，教師選擇了一個(gè)班進(jìn)行調(diào)研。先在這個(gè)班教學(xué)平行四邊形的面積，隨后直接出示一個(gè)三角形，讓學(xué)生探尋其面積。結(jié)果，學(xué)生能夠想到的方法是將三角形沿高剪成兩個(gè)三角形，并打算將其拼成長方形，這樣的想法源自將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形時(shí)獲得的經(jīng)驗(yàn)。在探究未果后，教師提醒學(xué)生想想其他方法，但學(xué)生還是千方百計(jì)地想要將三角形等積轉(zhuǎn)化成長方形，甚至還有學(xué)生發(fā)現(xiàn)沿高剪拼的方法能夠?qū)⒌妊切蔚确e轉(zhuǎn)化成長方形，就是沒有學(xué)生想到用兩個(gè)完全一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形。

可見，如果教材不做安排，想要讓學(xué)生自發(fā)地想到用兩個(gè)完全一樣的三角形去拼成一個(gè)平行四邊形是非常困難的，“簡單”未必簡單。

（二）困難，但有價(jià)值

無論是先學(xué)習(xí)平行四邊形的面積，還是先學(xué)習(xí)三角形的面積，本單元第一課時(shí)必然承載著讓學(xué)生感悟轉(zhuǎn)化思想的教學(xué)目標(biāo)。如果選擇困難的方式，讓學(xué)生先學(xué)習(xí)三角形的面積，有沒有獨(dú)特的價(jià)值呢？

1.統(tǒng)一轉(zhuǎn)化方法，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

如果按照教材中的順序進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生在學(xué)完本單元后，頭腦中留下的知識(shí)結(jié)構(gòu)如圖3所示，即多邊形的面積公式中最先學(xué)習(xí)的是長方形的面積，正方形、平行四邊形的面積公式與長方形的面積公式直接相關(guān)，而三角形、梯形的面積公式則與長方形的面積公式間接相關(guān)。雖然在學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形、梯形的面積公式時(shí)都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的方法，但它們轉(zhuǎn)化的方式是不一樣的，平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形是等積轉(zhuǎn)化，而三角形、梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形是加倍轉(zhuǎn)化。

當(dāng)先教學(xué)三角形的面積，讓學(xué)生感悟“以盈補(bǔ)虛”的思想方法后，再讓學(xué)生學(xué)習(xí)平行四邊形、梯形的面積時(shí)，他們完全能通過“以盈補(bǔ)虛”的方法將平行四邊形和梯形等積轉(zhuǎn)化成長方形。這樣不僅在轉(zhuǎn)化方法上統(tǒng)一了，而且學(xué)生還可以對(duì)多邊形的面積形成新的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖（如圖4）。在這個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖中，長方形的面積公式處于中心位置，其他四個(gè)圖形的面積公式都與長方形的面積公式直接相關(guān)，從而使面積公式教學(xué)緊扣度量的本質(zhì)（度量的本質(zhì)是用單位去測(cè)量）。從中學(xué)生還能感悟到在探尋圖形的面積時(shí)，對(duì)于長方形和正方形這樣“方”的圖形可以用面積單位直接度量，對(duì)于其他“不方”的圖形可將其“化斜為方”后，再用面積單位去度量，同時(shí)，學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)圓的面積時(shí)自然會(huì)想到“化圓為方”，從而統(tǒng)一了轉(zhuǎn)化方法，完善了認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

4.通過完全歸納，得到一般三角形的面積公式

師：前面我們分別研究了直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形，并得到了它們的面積計(jì)算公式，現(xiàn)在你能計(jì)算一個(gè)三角形的面積嗎？

大家通過研究得到了三種不同的三角形面積公式，這三個(gè)公式之間有什么聯(lián)系呢？

交流中明確：依據(jù)積的變化規(guī)律，兩個(gè)數(shù)相乘，不管哪個(gè)因數(shù)除以2，其積必然也除以2，所以這三個(gè)公式的計(jì)算結(jié)果是一樣的，我們一般用S=a×h÷2來計(jì)算（如圖11）。

師：回顧一下研究的過程，我們是怎么得到三角形的面積公式的？

小結(jié)：我們先研究了一個(gè)方格圖中的直角三角的面積，在研究中我們初步感悟到可以將一個(gè)直角三角形轉(zhuǎn)化成長方形并算出它的面積。接著，我們將轉(zhuǎn)化的方法運(yùn)用到一般直角三角形的面積研究之中，并得到了直角三角形的面積公式，然后我們將這個(gè)公式類推到銳角三角形、鈍角三角形之中，最后歸納出了三角形的面積公式。

（三）鞏固練習(xí)，運(yùn)用公式（略）

（四）回顧反思，拓展延伸

師：通過今天的學(xué)習(xí)，你有哪些體會(huì)？（生答略）

師：今天，我們依據(jù)長方形的面積公式得到了三角形的面積公式。想知道古人是怎么得到三角形的面積公式的嗎？請(qǐng)閱讀書中的“你知道嗎”，讀完后說說你的體會(huì)。

交流中明確：我們研究三角形面積的思路與古人的思路是一致的，其中第二、第三種方法就是“以盈補(bǔ)虛”。

結(jié)合圖形與公式S=a÷2×h讓學(xué)生理解“以盈補(bǔ)虛”和“半廣以乘正從”的意義（如圖12）。

師：以后我們還會(huì)研究平行四邊形、梯形的面積，你們打算怎么研究呢？

學(xué)生提出可以用“以盈補(bǔ)虛”的方法將它們轉(zhuǎn)化成長方形，并嘗試轉(zhuǎn)化。

（設(shè)計(jì)意圖：課的最后讓學(xué)生閱讀“你知道嗎”，不僅讓學(xué)生感悟到古人的智慧，同時(shí)也能夠讓學(xué)生將探究過程中所使用的方法與“以盈補(bǔ)虛”建立聯(lián)系，從中感悟轉(zhuǎn)化的思想方法，并積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。）

經(jīng)過實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，先教學(xué)三角形的面積，學(xué)生不僅能夠獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)結(jié)論，還能從中感悟到“以盈補(bǔ)虛”的數(shù)學(xué)思想方法，并能將其遷移到平行四邊形和梯形面積的探究之中。由于學(xué)生探究三角形面積公式的過程與古人發(fā)現(xiàn)公式的過程正好吻合，能夠從中受到數(shù)學(xué)文化的熏陶，感悟古人的智慧與創(chuàng)造。

（江蘇省高郵實(shí)驗(yàn)小學(xué)東校區(qū)? ?225600）