何東林，樊 亮

（隴南師范高等專科學(xué)校數(shù)信學(xué)院，甘肅 隴南 742500）

Gorenstein模類是相對(duì)同調(diào)代數(shù)的研究熱點(diǎn)之一.Auslander等[1]介紹了雙邊Noether環(huán)上有限生成模的G-維數(shù).Enochs等[2]給出了一般環(huán)上Gorenstein內(nèi)射模和Gorenstein投射模的定義.隨后，仍有許多學(xué)者先后對(duì)其進(jìn)行了研究和推廣.特別地，2008年毛立新和丁南慶[3]引入了關(guān)于有限表示模的Gorenstein模，即Gorenstein FP-內(nèi)射模.2012年Gao等[4]進(jìn)一步討論了左凝聚環(huán)上Gorenstein FP-內(nèi)射模的若干性質(zhì)及其刻畫.有限n-表示模（即FPn型模[5-6]）是有限表示模的一個(gè)重要推廣.2017年Bravo等[7]介紹了關(guān)于有限n-表示模的內(nèi)射模，即FPn-內(nèi)射模，它是FP-內(nèi)射模的一個(gè)推廣，并給出左n-凝聚環(huán)的若干刻畫.眾所周知，在左凝聚環(huán)上，（F P，F(xiàn) I）是一個(gè)完全遺傳余撓理論，其中F P和F I分別表示所有FP-投射模和FP-內(nèi)射模組成的類.受此啟發(fā)，本文引入關(guān)于有限n-表示模的投射模（即FPn-投射模）的概念，并證明左n-凝聚環(huán)R上（F PnP，F(xiàn) PnI）是一個(gè)完全遺傳余撓理論，其中F PnP和F PnI分別表示所有限n-表示投射模和內(nèi)射模組成的類.進(jìn)而介紹Gorenstein FPn-內(nèi)射模的定義，研究其性質(zhì)和等價(jià)刻畫.

文中的環(huán)R均指有單位元的結(jié)合環(huán)，模指酉左R-模.P和I分別表示所有投射模和內(nèi)射模組成的類.設(shè)n是非負(fù)整數(shù)，稱左R-模M是有限n-表示的[7]，如果存在正合列Fn→Fn－1→…→F1→F0→M→0，其中Fi（0≤i≤n）是有限生成自由模.用F Pn表示所有有限n-表示模組成的類，則模類F Pn關(guān)于擴(kuò)張、單同態(tài)的余核及直和因子封閉且F P0?F P1?F P2?…? F Pn?….稱環(huán) R 是左 n-凝聚環(huán)[7]，如果 F Pn?F Pn＋1.顯然左1-凝聚環(huán)就是左凝聚環(huán).在左n-凝聚環(huán)上，F(xiàn) Pn關(guān)于滿同態(tài)的核封閉.稱左R-模N是FPn-內(nèi)射模[7]，如果對(duì)任意M∈F Pn，都有用F PnI表示所有FPn-內(nèi)射模組成的類，則F P0I?F P1I?F P2I?…?F PnI?…且F PnI關(guān)于擴(kuò)張、直積和正向極限封閉.

設(shè)x和y是左R-模類.稱正合列（ε）在HomR（x，－）下正合，如果對(duì)任意X∈x有（ε）在HomR（X，－）下正合.記類似地可定義和⊥y.稱對(duì)子（x，y）是余撓對(duì)[8]（也稱余撓理論），如果進(jìn)而，如果對(duì)任意左R-模M都存在正合列0→Y→X→M→0和 0→M→Y′→X′→0，其中 X，X′∈x 且 Y，Y′∈y，那么稱余撓理論（x，y）是完全的，如果對(duì)任意 X∈x和 Y∈y都有，那么稱余撓理論（x，y）是遺傳的.余撓理論（x，y）是遺傳的等價(jià)于模類y是內(nèi)射可解的，即y包含所有內(nèi)射模且關(guān)于擴(kuò)張和單同態(tài)的余核封閉.其余未涉及的概念和記號(hào)參見文獻(xiàn)[9-11].

1 FPn-投射模與余撓理論

2 Gorenstein FPn-內(nèi)射模

下文均假設(shè)R為左n-凝聚環(huán).

圖1 V→W和E→W的拉回圖

在正合列0→K→D→V→0中K∈GF PnI，由引理2.1得該序列在HomR（F PnP∩F PnI，－）下正合，且存在HomR（F PnP∩F PnI，－）下正合的正合列…→E1→E0→V→0，其中Ei∈F PnI.由上面兩個(gè)正合列拼接可得正合列…→E1→E0→D→V→0，從而由引理2.1得V∈GF PnI.

引理2.3模類GF PnI關(guān)于擴(kuò)張、單同態(tài)的余核及直和因子封閉.

證明先證對(duì)任意U∈GF PnI，都存在HomR（F PnP∩F PnI，－）下正合的正合列…→H1→H0→U→0，其中 Hi＝F PnP∩F PnI.由引理 2.2得存在正合列 0→K0→E0→U→0，其中E0∈F PnI且K0∈GF PnI.由定理1.2知（F PnP，F(xiàn) PnI）是一個(gè)完全遺傳余撓理論.從而存在正合列0→L0→H0→E0→0，其中H0∈F PnP且L0∈F PnI.因?yàn)镕 PnI關(guān)于擴(kuò)張封閉，所以H0∈F PnI，可見H0∈F PnP∩F PnI.構(gòu)造拉回圖如圖2.由圖2第一列和引理2.2知N0∈GF PnI.因?yàn)閳D2中間列和第三行正合列在HomR（F PnP∩F PnI，－）下正合，所以中間行正合列0→N0→H0→U→0在HomR（F PnP∩F PnI，－）下也正合.對(duì)N0重復(fù)上面對(duì)N的過程，如此繼續(xù)，可得HomR（F PnP∩F PnI，－）下正合的正合列…→H1→H0→U→0，其中Hi∈F PnP∩F PnI.

圖 2 K0→E0 和H0→E0 的拉回圖

設(shè)0→U→V→W→0是左R-模正合列.若U，W∈GF PnI，由上面的證明可知，存在HomR（F PnP∩F PnI，－）下正合的正合列

若U，V∈GF PnI，則存在HomR（F PnP∩F PnI，－）下正合的正合列0→K→E→V→0，其中E∈F PnI且K∈GF PnI.考慮拉回圖，如圖3.

圖3 U→V和E→V的拉回圖

由圖3中第二列和第三行在HomR（F PnP∩F PnI，－）下正合，易得0→D→E→W→0在HomR（F PnP∩F PnI，－）下也正合.在正合列0→K→D→U→0中，K，U∈GF PnI且GF PnI關(guān)于擴(kuò)張封閉，所以D∈GF PnI.從而存在HomR（F PnP∩F PnI，－）下正合的正合列（ξ）:…→H1→H0→D→0，其中 Hi∈F PnI且 D∈（F PnP ∩F PnI）⊥.將（ξ）和短正合列0→D→E→W→0拼接易得HomR（F PnP∩F PnI，－）下正合的正合列

…→H1→H0→E→W→0，

其中Hi∈F PnI且E∈F PnI.由D，E∈GF PnI及引理 2.1可得W∈（F PnP∩F PnI）⊥，進(jìn)而W∈GF PnI.因此GF PnI關(guān)于單同態(tài)的余核封閉.

因?yàn)镚F PnI關(guān)于擴(kuò)張和直積封閉，根據(jù)文獻(xiàn)[9]中命題1.4可得GF PnI關(guān)于直和因子封閉.

推論2.1完全F PnI-I分解X的每個(gè)核都是Gorenstein FPn-內(nèi)射模.

引理2.4設(shè)0→U→V→W→0是左R-模正合列.若V，W∈GF PnI，則U∈GF PnI的充要條件是對(duì)任意H∈F PnP∩F PnI都有

證明（必要性）由引理2.1易證.

（充分性）設(shè)對(duì)任意H∈F PnP∩F PnI都有.由W∈GF PnI及引理2.3的證明過程知，存在HomR（F PnP∩F PnI，－）下正合的正合列0→K→H→W→0，其中K∈F PnI且H∈GF PnI.構(gòu)造拉回圖如圖4.

圖4 V→W和U→W的拉回圖

由圖4中間列及GF PnI關(guān)于擴(kuò)張封閉知C∈GF PnI.考慮中間行0→U→C→H→0，因?yàn)镠∈F PnP∩F PnI且，所以該序列可裂.可見U是C的直和因子.又由引理2.3知GF PnI關(guān)于直和因子封閉，因此U∈GF PnI.

圖 5 K0→C0 和E0→C0的拉回圖

由圖5中間列和第三行在HomR（F PnP∩F PnI，－）下正合得，中間行0→U0→E0→U→0在HomR（F PnP∩F PnI，－）下也正合.考慮拉回圖如圖6.

圖 6 U0→K0 和C1→K0 的拉回圖

…→E1→E0→U→0，其中 Ei∈F PnI.

根據(jù)引理2.1可得U是Gorenstein FPn-內(nèi)射模.

3 結(jié)論

利用環(huán)模理論和同調(diào)代數(shù)的方法，研究了有限n-表示投射模和Gorenstein FPn-內(nèi)射模的若干性質(zhì)和等價(jià)刻畫.結(jié)果表明在左n-凝聚環(huán)R上，（F PnP，F(xiàn) PnI）是一個(gè)完全遺傳余撓理論，其中F PnP表示所有限n-表示投射模組成的類.從而補(bǔ)充了相對(duì)同調(diào)代數(shù)中關(guān)于余撓理論和有限表示模的相關(guān)理論.