李世杰 李 盛

(1.浙江省衢州市教育局教研室 324000；2.浙江省衢州第一中學(xué) 324000)

周期函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一塊重要內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn).2019版普通高中數(shù)學(xué)教科書(shū)中，人教A版[1]、北師大版[2]和湘教版[3]繼承沿用了上一版教材中周期函數(shù)的兩種定義方式,我們也曾在文獻(xiàn)[3-8]中對(duì)這兩種定義下的周期函數(shù)作過(guò)一些探討.

長(zhǎng)期以來(lái),這兩種定義下的周期函數(shù)處于混用狀態(tài)，但由于周期函數(shù)這兩種定義的內(nèi)涵并不完全相同，因此產(chǎn)生了不少似是而非，似非而是的數(shù)學(xué)問(wèn)題.下面我們對(duì)這兩種定義下的周期函數(shù)進(jìn)行對(duì)比研究，從函數(shù)的定義，定義域，值域，周期，最小正周期，圖象特征等方面尋找聯(lián)系與區(qū)別,提煉共性特征，挖掘個(gè)性特點(diǎn)，在比較中澄清事實(shí)真相，糾正錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，希望對(duì)新教材中周期函數(shù)內(nèi)容的教學(xué)有所幫助.

1 周期函數(shù)定義的比較研究

1.1 兩個(gè)課本定義

現(xiàn)行高中教科書(shū)中常用的兩個(gè)周期函數(shù)定義是:

課本定義1(人教A版[1]、北師大版[2]) 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得每一個(gè)x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)(periodic function)．非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期(period)．

課本定義2(湘教版[3]定義)對(duì)于函數(shù)y=f(x)，如果存在非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)每一個(gè)值時(shí)，x±T都有定義，并且f(x±T)=f(x)，則這個(gè)函數(shù)y=f(x)稱(chēng)為周期函數(shù)(periodic function)．T叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期(period)．

1.2 課本定義1的優(yōu)點(diǎn)與問(wèn)題

周期函數(shù)課本定義1的優(yōu)點(diǎn)：表述簡(jiǎn)潔，形式簡(jiǎn)單，易于高中學(xué)生學(xué)習(xí)理解，掌握周期函數(shù)最本質(zhì)的東西：周期函數(shù)具備周而復(fù)始的性質(zhì),所以只要研究一個(gè)周期的情況，就能推知全部了,這也是學(xué)習(xí)周期函數(shù)的初衷.與《數(shù)學(xué)手冊(cè)》[9]，《中學(xué)百科全書(shū)數(shù)學(xué)卷》[10]中定義完全一致.與原人教版必修4中的定義相比，明確了周期函數(shù)對(duì)于定義域的要求，即增加了一句“對(duì)每一個(gè)x∈D，都有x+T∈D”.這樣修改,將原來(lái)隱含的定義域問(wèn)題顯性化,教學(xué)中更好操作,與物理中實(shí)際問(wèn)題銜接也會(huì)更好.

但問(wèn)題蘊(yùn)含在定義之中．課本定義1比較簡(jiǎn)潔，約束強(qiáng)度不夠，擴(kuò)大了周期函數(shù)的外延，先看一個(gè)實(shí)例：

例1函數(shù)f(x)=1,x∈D,D={0}∪{2,3}∪[4,+∞),其周期T∈{2,3}∪[4,+∞).

解容易驗(yàn)證:對(duì)每一個(gè)x∈D，都有f(x+2)=f(x)，f(x+3)=f(x)，f(x+T)=f(x)，常數(shù)T≥4.在課本定義1下，進(jìn)一步可以證明，函數(shù)f(x)的周期T∈{2,3}∪[4,+∞).

注函數(shù)f(x)的最小正周期為2.在第一個(gè)周期區(qū)間[0,2)∩D={0}上，函數(shù)y=f(x)的圖象只有一個(gè)點(diǎn)；在下一個(gè)周期區(qū)間[2,4)∩D={2,3}上,它的圖象有二個(gè)點(diǎn)；下一個(gè)周期區(qū)間[4,6)∩D=[4,6)上,它的圖象為“一條線段(少了右端點(diǎn))”.這三個(gè)周期區(qū)間內(nèi)的函數(shù)圖象都不一致，這樣的函數(shù)顯然不具備周期函數(shù)“周而復(fù)始”的性質(zhì)，但在課本定義1下，函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，而從圖象上看，卻又不具有周期性．

因此,課本定義1是一個(gè)廣義的周期函數(shù)定義，適合此定義的并不都是傳統(tǒng)意義上具有“周而復(fù)始”良好性態(tài)的周期函數(shù).

考慮到中學(xué)生的接受能力，課本定義1盡管不完美，但簡(jiǎn)潔明快，學(xué)生容易接受，有利于學(xué)生的“學(xué)”，作為課本定義是可行的，我們一直是贊同的[4].這是現(xiàn)行教科書(shū)中采用的約束條件最小的定義，仍不失為一個(gè)比較好的解決方案，但由于它的“簡(jiǎn)單性”，需要解決其“先天不足”隨時(shí)可能導(dǎo)致人們出現(xiàn)的錯(cuò)誤判斷.

教學(xué)對(duì)策:高度重視嚴(yán)謹(jǐn)性問(wèn)題.在進(jìn)行高中周期函數(shù)內(nèi)容的教學(xué)時(shí)，應(yīng)以教科書(shū)中定義為基礎(chǔ)，非經(jīng)嚴(yán)格論證，絕對(duì)不能想當(dāng)然地搬用其它定義下的周期函數(shù)的性質(zhì).同時(shí)，要注意排除對(duì)其擴(kuò)大了的外延的討論，即避免出現(xiàn)有缺陷的“周期函數(shù)”，守住例習(xí)題選用的邊界(只討論完美的周期函數(shù)如三角函數(shù)型).否則對(duì)高中學(xué)生來(lái)說(shuō)，教學(xué)要求就太高了.

教學(xué)中的常見(jiàn)問(wèn)題：將課本定義1中的“非零常數(shù)T”理解為“T同時(shí)可正可負(fù)”，誤認(rèn)為課本定義1與課本定義2等價(jià),論證過(guò)程如下：

根據(jù)課本定義1，由于f(x+T)=f(x)，所以f(x)=f[(x+(-T)+T]=f(x-T+T)=f(x-T)，因此課本定義1與課本定義2是一致的.

事實(shí)上，f(x-T+T)=f(x-T)成立的前提條件是x-T在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)，才能由f(x+T)=f(x)推出f(x-T)=f(x).但課本定義1下的周期函數(shù)，對(duì)任意的x∈D，并不能保證x-T∈D.如例1中函數(shù)f(x)以2為周期，3∈D，但3-2=1?D.

這是常見(jiàn)教學(xué)參考資料上出現(xiàn)的一些周期函數(shù)結(jié)論,存在似是而非科學(xué)性問(wèn)題的由來(lái).

1.3 課本定義2的優(yōu)點(diǎn)與問(wèn)題

課本定義2的優(yōu)點(diǎn)：表述嚴(yán)謹(jǐn)，不違背科學(xué)性，與部分大學(xué)教材中的定義一致，能避免出現(xiàn)似是而非的周期性問(wèn)題.剛開(kāi)始學(xué)時(shí),這個(gè)定義可能比較復(fù)雜,但深入學(xué)習(xí),對(duì)周期函數(shù)的研究反而會(huì)更簡(jiǎn)單一些.

課本定義2的問(wèn)題是:形式上比較復(fù)雜，約束強(qiáng)度過(guò)大，縮小了周期函數(shù)的內(nèi)涵.

按課本定義2,函數(shù)y=sinx,x∈R是周期函數(shù),但它的“局部”函數(shù)：物理中的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)以時(shí)間為變量的函數(shù)y=sint,t∈[0,+∞)就不是周期函數(shù),被排除在外了，但它們具有相同的周期性，這樣學(xué)生在高中物理學(xué)習(xí)中可能會(huì)造成混亂,因?yàn)槲锢碇泻芏嗯c時(shí)間相關(guān)的周期性問(wèn)題都是從0開(kāi)始定義的.

教學(xué)對(duì)策:

(1)從周期性質(zhì)應(yīng)用的角度，恰當(dāng)處理“周期函數(shù)”與“函數(shù)具有周期性”問(wèn)題.

如:通過(guò)教學(xué)讓學(xué)生先從整體上掌握函數(shù)y=cosx,x∈R的周期性，再來(lái)理解y=cosx,x∈R+和y=cosx,x∈[0,10π ]的周期性質(zhì)一點(diǎn)都不困難，因?yàn)閺膱D象上看，后面二個(gè)函數(shù)的圖象只是前一個(gè)函數(shù)圖象的一部分.

(2)簡(jiǎn)化定義

課本定義2形式上比較復(fù)雜，約束條件較多，實(shí)際上這個(gè)定義還可簡(jiǎn)化：

由于對(duì)每一個(gè)x∈D，函數(shù)f(x)在x±T都有定義，即有x-T∈D，我們用x-T替換f(x+T)=f(x)中的x，可得f(x-T)=f(x).因此，在課本定義2的條件下，f(x±T)=f(x)與f(x+T)=f(x)是等價(jià)的.課本定義2可改進(jìn)為如下的等價(jià)形式.

定義3對(duì)于函數(shù)y=f(x)，如果存在非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)每一個(gè)值時(shí)，x±T都有定義，并且f(x+T)=f(x),則這個(gè)函數(shù)y=f(x)稱(chēng)為周期函數(shù),T叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期．

定義3與課本定義1形式上比較接近，“對(duì)于任意的x∈D，都有f(x+T)=f(x)”是相同的，兩個(gè)定義的關(guān)鍵差異在于對(duì)定義域的要求不同：對(duì)于任意的x∈D，課本定義1要求“x+T∈D”,定義3要求“x±T∈D”.

注由于課本定義2下的周期函數(shù)一定同時(shí)具有正、負(fù)周期,所以直接設(shè)定T為正數(shù)也是可行的.這是因?yàn)椋簾o(wú)論T是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，±T均可正可負(fù)，因此課本定義2和定義3中“非零常數(shù)T”可以更明確改進(jìn)為“正常數(shù)T”.

2 周期函數(shù)性態(tài)的比較研究

不同定義下的周期函數(shù)，其性態(tài)差異是非常大的,下面我們分塊加以討論.

2.1 兩種周期函數(shù)的共性

課本定義1和課本定義2下周期函數(shù)的公共特性有：

①周期函數(shù)y=f(x)將無(wú)限多次地取值域中的任何值．

課本定義1下的周期函數(shù)f(x)滿足f(x+T)=f(x)，函數(shù)值一定無(wú)限多次單向重現(xiàn).

課本定義2下的周期函數(shù)f(x)滿足f(x±T)=f(x)，函數(shù)值一定無(wú)限多次雙向重現(xiàn).

②周期函數(shù)y=f(x)的定義域D一定是一個(gè)無(wú)限集.

證明：在課本定義1下，對(duì)任意的x∈D，都有x+T∈D，用x+T替換x，得(x+T)+T∈D，即x+2T∈D，…,x+kT∈D，k∈N*,…,所以定義域D是一個(gè)無(wú)限集.

在課本定義2下，對(duì)任意的x∈D，都有x±T∈D，類(lèi)似地,可推知x±kT∈D，k∈N*,…,所以定義域D也是一個(gè)無(wú)限集.

利用定義域的上述特征，某些非周期函數(shù)的判定是“一望而知”的.

例2判斷下列函數(shù)的周期性:

(1)f(x)=cos 2x,x∈[0,2020];

(3)h(x)=lgx+log2(10-x).

解容易看出,函數(shù)f(x),g(x),h(x)的定義域分別為[0,2020],[2,3],(0,10),均為有限集,所以它們都是非周期函數(shù).

③當(dāng)y=f(x)是周期函數(shù)時(shí)，則它的定義域也具備相應(yīng)的“周期性”.

當(dāng)y=f(x)是課本定義1下的周期函數(shù)時(shí)，存在一個(gè)實(shí)數(shù)T≠0，對(duì)任意x∈D，都有x+T∈D．因此,定義域D以T為周期.

當(dāng)y=f(x)是課本定義2下的周期函數(shù)時(shí)，存在一個(gè)實(shí)數(shù)T≠0，對(duì)任意x∈D，都有x±T∈D．因此,定義域D同時(shí)以T,-T為周期.

因此，當(dāng)定義域D不具備以上的“周期性”時(shí)，可以斷定y=f(x)為非周期函數(shù)．這提供了判斷非周期函數(shù)的又一種方法.

進(jìn)一步地，可以證明[4]：當(dāng)DR時(shí)，CRD也具備相應(yīng)的“周期性”.

還可得出結(jié)論:僅在有限個(gè)點(diǎn)無(wú)定義的函數(shù)必為非周期函數(shù)．

④凡是周期函數(shù)，都有無(wú)窮多個(gè)周期.

在課本定義1下，若周期函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，則存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得每一個(gè)x∈D都有x+T∈D，可得x+kT∈D，k∈N*,…,在f(x+T)=f(x)中用x+(k-1)T替換x,得f(x+kT)=f(x),k∈N*,可見(jiàn)kT(k∈N*)均為函數(shù)f(x)的周期.

在課本定義2下的周期函數(shù)，類(lèi)似可證.

所以，兩種定義下的周期函數(shù)，都有無(wú)窮多個(gè)周期.

注課本定義1中最后一句“非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期”，在周期前面加上“一個(gè)”,表述會(huì)更準(zhǔn)確.而“周期函數(shù)的周期往往不是唯一的”和“周期函數(shù)的周期可以不只一個(gè)”的說(shuō)法，則是不確切的，因?yàn)檫@樣的說(shuō)法會(huì)使人誤以為“周期函數(shù)的周期，在一般情況下，是不唯一的；而在特殊情況下可以是唯一的”.

⑤周期函數(shù)一定有周期，但不一定存在最小正周期

兩個(gè)課本定義下的周期函數(shù)的所有周期中，并不一定存在著一個(gè)最小的正數(shù)，所以周期函數(shù)不一定存在最小正周期.如：常數(shù)函數(shù)f(x)=1,x∈R, 任意非零常數(shù)都是它的周期，但在正數(shù)集中不存在最小的正數(shù)，所以它沒(méi)有最小正周期.

2.2 兩種周期函數(shù)的區(qū)別

2.2.1定義域的比較研究

一個(gè)函數(shù)的周期性，不僅與函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系有關(guān)，定義域也起著關(guān)鍵的作用．對(duì)應(yīng)關(guān)系相同但定義域不同的兩個(gè)函數(shù)，它們的周期性會(huì)有很大的差異．

區(qū)別1課本定義1下的周期函數(shù),定義域D一定是一個(gè)無(wú)限集，且至少一端無(wú)界;課本定義2下的周期函數(shù),其定義域D左右雙向無(wú)界對(duì)稱(chēng).

事實(shí)上,課本定義1下的周期函數(shù)要求對(duì)任意的x∈D，都有x+T∈D，能推出x+kT∈D，k∈N*.易知當(dāng)T>0時(shí)，定義域在數(shù)軸上正向無(wú)界,但不能保證“負(fù)向無(wú)界”；當(dāng)T<0時(shí)，定義域在數(shù)軸上負(fù)向無(wú)界,但不能保證“正向無(wú)界”,更不能確定定義域在數(shù)軸上雙向無(wú)界．

課本定義2下的周期函數(shù)要求T和-T都是周期,因此當(dāng)x在定義域D中時(shí)，x+T與x-T也在定義域D中,可推知x±kT∈D，k∈N*,這樣就要求定義域D是左右雙向無(wú)界對(duì)稱(chēng)的.

命題1當(dāng)定義域D雙向無(wú)界時(shí),兩個(gè)定義等價(jià).

命題1是錯(cuò)誤的.修改例1中的案例為:

函數(shù)g(x)=1,x∈D,D={n|n=2k,k∈z,k≤0}∪{2,3}∪[4,+∞),對(duì)任意的x∈D，易知都有g(shù)(x+2)=g(x)，但g(x-2)=g(x)不恒成立(令x=3∈D，但1?D,所以g(3-2)沒(méi)有意義).

2.2.2函數(shù)周期的比較研究

區(qū)別2課本定義2下的周期函數(shù)的周期只有一種情況：同時(shí)具有正、負(fù)周期.而課本定義1下的周期函數(shù)的周期情況比較復(fù)雜,有三種可能：

(Ⅰ)同時(shí)具有正、負(fù)周期，如函數(shù)f(x)=tanx,易知π ,-π 都是它的周期．

(Ⅱ)只有正周期但沒(méi)有負(fù)周期，如函數(shù)g(x)=sin 2x,x∈(0,+∞),它的周期集合是{T|T=kπ ,k∈N*},所以函數(shù)g(x)只有正周期卻沒(méi)有負(fù)周期.

命題2如果T是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，則nT(n∈Z，但n≠0)都是它的周期.

這是似是而非的一種說(shuō)法,在許多教學(xué)資料中廣為流傳，我們需要作科學(xué)分析：

在課本定義1下，由T是函數(shù)f(x)的周期，并不能推出 -T也是一個(gè)周期.因此，它是一個(gè)假命題.我們只能說(shuō)：如果T是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，則nT(n是正整數(shù))都是它的周期.

在課本定義2下，連續(xù)運(yùn)用“±T是f(x)的一個(gè)周期”條件k次， 得f(x)=f(x±T)=f[(x±T)±T]=f(x±2T)=…=f(x±kT),k∈N*,可見(jiàn)±kT(k∈N*)均為函數(shù)f(x)的周期，這時(shí)命題3是真命題.

2.2.3最小正周期與周期關(guān)系的比較研究

在兩個(gè)課本定義下，若周期函數(shù)f(x)存在最小正周期T*，則它的任意一個(gè)周期T與最小正周期T*的關(guān)系如何？

例3函數(shù)f(x)=1,x∈{0}∪[2,+∞)是周期函數(shù),其周期的集合為[2,+∞).

解易知f(x+T)=f(x)=1,x∈{0}∪[2,+∞),T≥2，在課本定義1下，函數(shù)f(x)是周期函數(shù),其周期的集合為[2,+∞),最小正周期T*=2.

再來(lái)研究在課本定義2下，T*與T的關(guān)系如何？

結(jié)論在課本定義2下，若周期函數(shù)f(x)存在最小正周期T*，T是它的任意一個(gè)周期，則T=kT*,k∈Z,但k≠0.

證明若T是正周期，且不是T*的正整數(shù)倍，則存在n∈N*,使T=nT*+r(0

若T是負(fù)周期，類(lèi)似可證，略.

2.2.4周期函數(shù)圖象的比較研究

理想的周期函數(shù)的圖象,應(yīng)該是均勻地、周而復(fù)始地變化的.人們研究“周期性”的意義，就在于只要討論清楚一個(gè)周期內(nèi)的情況，那么從局部到整體，從有限到無(wú)限的所有情況就都清楚了.

課本定義1下的周期函數(shù)，只要求f(x+T)=f(x)，從圖象平移的角度來(lái)看,是向左或向右單向移動(dòng)．而課本定義2下的周期函數(shù)，對(duì)于定義域D內(nèi)的任意x，有x±T∈D，還同時(shí)要求f(x+T)=f(x)和f(x)=f(x-T)成立，這樣前后周期內(nèi)的圖象能來(lái)回雙向移動(dòng),必然完全相同，因而函數(shù)f(x)在每個(gè)周期內(nèi)的圖象必然是完全一致的.

圖1

(1)根據(jù)課本定義1，f(x)是周期函數(shù)，且有周期T=1(證明略).

(2)畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象，卻沒(méi)有給我們一種“周而復(fù)始”的感覺(jué)，不具有周期特征.

容易看出，當(dāng)n增大時(shí),dn嚴(yán)格單調(diào)增加,因此所有線段的長(zhǎng)度都不相等.這樣沿x軸每隔一個(gè)單位(一個(gè)周期長(zhǎng)1)，函數(shù)f(x)的圖象各不相同.

我們構(gòu)造出的這個(gè)實(shí)例，根據(jù)課本定義1是周期函數(shù)，但從整體上看函數(shù)圖象不是周而復(fù)始的，且每個(gè)周期內(nèi)的圖象都不一樣.如果將例4中函數(shù)向左擴(kuò)展：f(x)的定義域向左每個(gè)周期長(zhǎng)度逐個(gè)減少一個(gè)點(diǎn)，這樣得到新的定義域是雙向無(wú)界的,在課本定義1下仍是周期函數(shù),但每個(gè)周期內(nèi)的圖象卻完全不相同.

對(duì)于課本定義2下的周期函數(shù)，如果把握了它的一個(gè)周期內(nèi)的情況，那么也就把握了整個(gè)函數(shù)的情況，在研究這類(lèi)周期函數(shù)的性態(tài)時(shí)，可局限在某個(gè)周期內(nèi)進(jìn)行討論，因?yàn)橹芷诤瘮?shù)的整體性質(zhì)無(wú)非是它在周期內(nèi)的性質(zhì)進(jìn)行周期延拓的結(jié)果．

區(qū)別4課本定義2下的周期函數(shù)的圖象,會(huì)給人以“周而復(fù)始”的直觀感;而課本定義1下的周期函數(shù)的圖象,只要求單向重現(xiàn),其圖象重復(fù)出現(xiàn)是有方向性的，從整體上看并不一定有“周而復(fù)始”這種感覺(jué).

3 兩種周期函數(shù)關(guān)系的比較研究

3.1 兩種周期函數(shù)的統(tǒng)一

課本定義1下的周期函數(shù)，不一定是課本定義2下的周期函數(shù).如函數(shù)f(x)=1,x∈{0}∪(2,+∞),容易證明:在課本定義1下它是周期函數(shù)，其周期集合是(2,+∞),沒(méi)有最小正周期，但在課本定義2下它不是周期函數(shù).而課本定義2下的周期函數(shù)，一定也是課本定義1下的周期函數(shù).

什么情況下兩種定義能統(tǒng)一？由例4，知定義域雙向無(wú)界時(shí)兩種定義不能統(tǒng)一.文獻(xiàn)[4]給出了課本定義1下的周期函數(shù)f(x),滿足如下兩種情況之一:

(1)定義域D關(guān)于某點(diǎn)x=x0對(duì)稱(chēng).(2)同時(shí)具有正負(fù)周期.則函數(shù)f(x)也是課本定義2下的周期函數(shù).特別地,當(dāng)定義域D=R時(shí),兩種定義等價(jià).

3.2 課本定義1下的周期函數(shù)，具有“周而復(fù)始”特性的判斷

周期函數(shù)的課本定義1使用范圍廣泛,影響很大,留下的核心問(wèn)題:如何判斷課本定義1下周期函數(shù)的圖象是“周而復(fù)始”的？只有選用這樣的周期函數(shù)進(jìn)行教學(xué),才能讓學(xué)生把握其本質(zhì):知道了函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的情況，就能推知整個(gè)函數(shù)的情況.

兩種課本定義下的周期函數(shù)能統(tǒng)一時(shí)，其圖象一定是“周而復(fù)始”的，故有:

判定方法1課本定義1下的周期函數(shù)f(x)定義域D關(guān)于某點(diǎn)x=x0對(duì)稱(chēng),則函數(shù)f(x)的圖象是周而復(fù)始的.

判定方法2課本定義1下的周期函數(shù)f(x)同時(shí)具有正、負(fù)周期,則函數(shù)f(x)的圖象是周而復(fù)始的.

除了以上兩種方法,還有定義域直觀判斷方法:

判定方法3課本定義1下以T為周期的函數(shù)f(x),其定義域D是下面四種情況[a,+∞),(a,+∞),(-∞,a],(-∞,a)之一,從左向右如果在第一個(gè)周期區(qū)間[a,a+T)或(a,a+T](或最后一個(gè)周期區(qū)間(a+T,a]或[a+T,a))上全部有定義，則函數(shù)f(x)的圖象是周而復(fù)始的.

文獻(xiàn)[4]中給出的周期函數(shù)嚴(yán)格定義,是課本定義2的局部化應(yīng)用.可改寫(xiě)為下面比較嚴(yán)謹(jǐn)且簡(jiǎn)潔的判定方法:

判定方法4函數(shù)y=f(x)是定義在D上,在課本定義1下以T為周期的函數(shù)，如果對(duì)任意的x∈D且x-T∈D，都有f(x-T)=f(x)成立,則函數(shù)f(x)的圖象是周而復(fù)始的.

有興趣的讀者可自行證明，這里略去.

在高中周期函數(shù)教學(xué)中，只需研究滿足定義且具備“周而復(fù)始”特性的“理想”的周期函數(shù)，掌握這些方法就具有重要的現(xiàn)實(shí)意義：高中數(shù)學(xué)教師在選擇周期函數(shù)例習(xí)題時(shí)，能避開(kāi)有缺陷的“偽”周期函數(shù)，更有利于高中周期函數(shù)內(nèi)容的教學(xué).