姜浩哲 汪曉勤

(華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

1 問(wèn)題的提出

2017年6月，由美國(guó)數(shù)學(xué)及其應(yīng)用聯(lián)合會(huì)(COMAP)、工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)(SIAM)聯(lián)合編寫(xiě)的《數(shù)學(xué)建模教學(xué)與評(píng)估指南》一書(shū)中明確提出了“數(shù)學(xué)建模應(yīng)當(dāng)在學(xué)生數(shù)學(xué)教育的每一個(gè)階段都被教授”、“從學(xué)前到大學(xué)開(kāi)展數(shù)學(xué)建模是可行的”等觀點(diǎn)[1].但是在目前各學(xué)段的數(shù)學(xué)教育中，現(xiàn)實(shí)情境通常以應(yīng)用題的形式作為練習(xí)讓學(xué)生鞏固所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)[2]，數(shù)學(xué)建模課程缺乏有效的組織形式和系統(tǒng)的教學(xué)資源，建模內(nèi)容間也缺乏必要的聯(lián)系.

美國(guó)國(guó)家研究理事會(huì)(National Research Council，簡(jiǎn)稱NRC)在研究中發(fā)現(xiàn)大多數(shù)課程內(nèi)容的主題間缺乏連貫性和系統(tǒng)性，課程設(shè)計(jì)忽視了學(xué)生對(duì)同一主題的理解不斷提升和深化的過(guò)程，而重復(fù)、淺顯、間斷地學(xué)習(xí)某一主題會(huì)阻礙學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)的夯實(shí)[3].為此，NRC提出學(xué)習(xí)進(jìn)階(Learning Progressions)(1)Learning Progressions與Learning Trajectories本質(zhì)上具有一致性，因而在此可不做區(qū)分(參閱文獻(xiàn)[4]和[5]).有關(guān)概念，將其定義為“在一個(gè)較大時(shí)間跨度內(nèi)(例如6至8年間)，學(xué)生對(duì)某一主題的思考和認(rèn)識(shí)不斷豐富、精致和深入的一種過(guò)程”，旨在揭示學(xué)生在相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)學(xué)習(xí)和研究某一主題思考、理解和實(shí)踐活動(dòng)的認(rèn)知發(fā)展：由淺入深、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從零散到全面、從低水平到高水平[5].學(xué)習(xí)進(jìn)階為數(shù)學(xué)建模系統(tǒng)、一致、連貫地貫穿于不同學(xué)段數(shù)學(xué)課程和有效銜接相鄰學(xué)段間數(shù)學(xué)建模教學(xué)提供了科學(xué)方法.

在大、中、小學(xué)的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中，常常出現(xiàn)一類關(guān)于如何將給定資源(如經(jīng)濟(jì)資源、權(quán)力資源等)按一定的方案、要素或準(zhǔn)則(如按比例要素等)分配給若干對(duì)象的問(wèn)題.例如，在小學(xué)階段，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》明確要求學(xué)生“在實(shí)際情境中理解比及按比例分配的含義，并能解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題”[6]；在初中階段，用方程組解應(yīng)用題中就有不少分配問(wèn)題；在普通高中階段，分配問(wèn)題會(huì)與古典概型有關(guān)內(nèi)容相聯(lián)系；大學(xué)本科階段，席位分配問(wèn)題往往是各類數(shù)學(xué)建模課程的重點(diǎn)內(nèi)容.

在數(shù)學(xué)史上，分配問(wèn)題自公元1世紀(jì)就引發(fā)了數(shù)學(xué)家的關(guān)注，并在此后的眾多實(shí)際運(yùn)用中經(jīng)歷了發(fā)展、完善和優(yōu)化的過(guò)程.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的衰分術(shù)詳細(xì)記載了古代農(nóng)業(yè)、征役、行商中的按比例分配問(wèn)題[7].17世紀(jì)，帕斯卡(B. Pascal, 1623—1662)與費(fèi)馬(P. Fermat, 1601—1665)通信討論賭金分配的“點(diǎn)數(shù)問(wèn)題”標(biāo)志了概率論的誕生[8].1880年，美國(guó)眾議院的席位分配悖論產(chǎn)生后，亨廷頓(S. P. Huntington, 1927—2008)等數(shù)學(xué)家更是一度尋求新的分配方法和模型[9].

荷蘭學(xué)者Bakker認(rèn)為，歷史現(xiàn)象學(xué)可以為建立和發(fā)展假設(shè)的學(xué)習(xí)進(jìn)階(Hypothetical Learning Trajectories)理論提供準(zhǔn)備[10].有鑒于此，我們希望以分配問(wèn)題發(fā)展史為依據(jù)和參考建立假設(shè)的學(xué)習(xí)進(jìn)階，使數(shù)學(xué)建模教學(xué)能?chē)@主線、不斷深入，貫穿在小學(xué)至大學(xué)的課程中，與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展齊頭并進(jìn).同時(shí)，教學(xué)設(shè)計(jì)從HPM視角切入，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分配問(wèn)題逐漸復(fù)雜、數(shù)學(xué)模型逐漸完善的過(guò)程，既感受數(shù)學(xué)的歷史，感悟數(shù)學(xué)的文化，又加深對(duì)模型本質(zhì)、建模過(guò)程的認(rèn)識(shí)和理解.

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 小學(xué)階段分配問(wèn)題的教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1.1問(wèn)題引入

例1早在公元1世紀(jì)，我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中就記載了大量農(nóng)業(yè)、征役、行商中的按比例分配問(wèn)題，古人稱比例為“衰”，按比例分配為“衰分”.其中，有這樣一道關(guān)于分派徭役的問(wèn)題：“今有北鄉(xiāng)算八千七百五十八，西鄉(xiāng)算七千二百三十六，南鄉(xiāng)算八千三百五十六，凡三鄉(xiāng)，發(fā)徭三百七十八人，欲以算術(shù)多少衰出之.問(wèn)各幾何？”

2.1.2方法歸納

教師進(jìn)而向?qū)W生解釋：事實(shí)上，這就是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，可以把數(shù)學(xué)模型理解為數(shù)字、字母或其他數(shù)學(xué)符號(hào)組成的，描述現(xiàn)實(shí)對(duì)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)公式、圖形或算法.

2.1.3思維拓展

教師展示《九章算術(shù)》中的問(wèn)題答案：“北鄉(xiāng)遣一百三十五人、一萬(wàn)二千一百七十五分人之一萬(wàn)一千六百三十七；西鄉(xiāng)遣一百一十二人、一萬(wàn)二千一百七十五分人之四千四；南鄉(xiāng)遣一百二十九人、一萬(wàn)二千一百七十五分人之八千七百九.”并向?qū)W生提出以下思考拓展問(wèn)題：

思考題1：《九章算術(shù)》的問(wèn)題答案在數(shù)學(xué)上沒(méi)有任何問(wèn)題，但是否符合實(shí)際？

思考題2：能否猜想古人實(shí)際會(huì)如何分派徭役？

思考題3：如果按照思考題2中你猜想的方法分派徭役，是否會(huì)對(duì)北鄉(xiāng)、西鄉(xiāng)或南鄉(xiāng)造成不公平？三鄉(xiāng)在理論上會(huì)因此分別多征派或少征派多少徭役人數(shù)？

在學(xué)生思考回答后，教師更進(jìn)一步說(shuō)明：由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)模型其實(shí)還是一種對(duì)實(shí)際問(wèn)題的簡(jiǎn)單化、理想化表達(dá).

在上述教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師運(yùn)用了選自《九章算術(shù)》的一段史料，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型開(kāi)始有了最初步的認(rèn)識(shí).小學(xué)階段，大多數(shù)學(xué)生常常將數(shù)學(xué)模型理解為對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題復(fù)制式的數(shù)學(xué)表達(dá)，學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題停留在直接運(yùn)用教師幫助他們已經(jīng)建立的數(shù)學(xué)模型，但數(shù)學(xué)史的運(yùn)用使得學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型不是現(xiàn)實(shí)原原本本的復(fù)制，而是數(shù)學(xué)化、理想化的產(chǎn)物，從對(duì)數(shù)學(xué)模型本質(zhì)認(rèn)識(shí)的層面上說(shuō)，學(xué)習(xí)進(jìn)階的萌芽已經(jīng)出現(xiàn).同時(shí)，從思維拓展部分中可以發(fā)現(xiàn)，教與學(xué)源于史料，但又不唯史料，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)史料中脫離實(shí)際的內(nèi)容，培養(yǎng)他們的批判性思維，為后續(xù)的學(xué)習(xí)進(jìn)階打下了認(rèn)知基礎(chǔ).

2.2 初中階段分配問(wèn)題的教學(xué)設(shè)計(jì)

2.2.1新知傳授

教師教授學(xué)生運(yùn)用方程組求解應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟.

2.2.2例題解析

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧：在6年級(jí)，學(xué)生曾學(xué)習(xí)和解決了公元1世紀(jì)《九章算術(shù)》中一類簡(jiǎn)單的按比例分配問(wèn)題.繼而指出，現(xiàn)實(shí)生活中的許多分配問(wèn)題，其分配所依據(jù)的比例并不會(huì)直接給出，而是需要根據(jù)已知條件間接求得.

例2(改編自《九章算術(shù)》)假設(shè)漆與油的售價(jià)之比為3∶4；油與漆可按4∶5的比例和成油漆.現(xiàn)有銀兩正好能購(gòu)買(mǎi)3斗漆，問(wèn)：該按什么比例分配銀兩來(lái)分別購(gòu)買(mǎi)漆與油，使購(gòu)得的漆與油恰可以和成油漆？如果現(xiàn)有銀兩正好能購(gòu)買(mǎi)n斗漆呢？

再指導(dǎo)學(xué)生作答.

隨后，教師再次引導(dǎo)學(xué)生回顧6年級(jí)時(shí)的按比例分配模型，發(fā)現(xiàn)例1的比例關(guān)系式同樣可由方程組得出：對(duì)于未知量X,Y,Z，有方程組

這時(shí)，教師向?qū)W生說(shuō)明，兩類看似不同的問(wèn)題本質(zhì)實(shí)際上卻是統(tǒng)一的.

2.2.3課堂總結(jié)

課堂最后，教師指出，從簡(jiǎn)單運(yùn)用已建立的模型到根據(jù)一般步驟自主建立模型，這一階段的學(xué)習(xí)讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模有了更進(jìn)一步的嘗試.再看數(shù)學(xué)模型，小學(xué)階段，數(shù)學(xué)模型曾被認(rèn)為僅僅是用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的，它只是具有應(yīng)用價(jià)值，但如今，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)模型還是對(duì)現(xiàn)實(shí)情境的一種簡(jiǎn)潔、清晰的表達(dá)，兩道例題中的寥寥幾個(gè)等式，卻有數(shù)行文字的內(nèi)涵，這也很好地解釋了人們常說(shuō)的“數(shù)學(xué)是一種語(yǔ)言”.

運(yùn)用方程組求解應(yīng)用問(wèn)題是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模過(guò)程，在初中數(shù)學(xué)課堂，教師往往會(huì)教授學(xué)生運(yùn)用方程求解應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟，此時(shí)的數(shù)學(xué)建模有固定的模式和方法作為參照，但學(xué)生開(kāi)始能夠獨(dú)立完成建立模型和求解模型這兩個(gè)十分重要的步驟.無(wú)論從數(shù)學(xué)建模的水平上，還是對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解上，學(xué)生都完成了一次學(xué)習(xí)進(jìn)階.

2.3 高中階段分配問(wèn)題的教學(xué)設(shè)計(jì)

2.3.1問(wèn)題引入

在學(xué)習(xí)了概率論的有關(guān)知識(shí)后，教師告訴學(xué)生其實(shí)概率論的起源也與分配問(wèn)題有關(guān).

例3賭技相當(dāng)?shù)募住⒁叶烁鞒?6金幣，規(guī)定必須要贏p場(chǎng)者才能贏得全部賭金共192金幣，但比賽中途因故終止，且此時(shí)甲乙勝局?jǐn)?shù)為n:m.若你是仲裁者，請(qǐng)問(wèn)此時(shí)應(yīng)如何分配賭金，并說(shuō)明理由.

教師要求學(xué)生根據(jù)小學(xué)和初中時(shí)期對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)，以小組合作討論的形式，為甲和乙確定一種合理的分配方案，并求得分配結(jié)果.

2.3.2歷史展示

教師告訴學(xué)生，本題的背景就是17世紀(jì)帕斯卡和費(fèi)馬通信往來(lái)中研究的賭金分配問(wèn)題.教師指出：在歷史上，數(shù)學(xué)家們也對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了激烈的討論，許多數(shù)學(xué)家都給出了自己的解答.教師向?qū)W生加以展示：

表1 賭金分配問(wèn)題中的數(shù)學(xué)家解答

教師對(duì)上述方法依次作出解釋和評(píng)價(jià).

2.3.3課堂總結(jié)

最后，教師作適當(dāng)總結(jié)：與小學(xué)和初中所認(rèn)識(shí)的應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題不同，這一次，數(shù)學(xué)家們沒(méi)有直接得到數(shù)學(xué)模型，而是在逐步調(diào)整、修正模型過(guò)程中找到了真理.1654年，帕斯卡在他的《論算術(shù)三角形》中給出了正確的賭金分配問(wèn)題一般公式，才結(jié)束了模型從錯(cuò)誤到正確的漫長(zhǎng)發(fā)展歷程.教師也向?qū)W生強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)模型其實(shí)并不唯一，無(wú)論是歷史上費(fèi)馬、帕斯卡、惠更斯的方法，還是今天部分同學(xué)給出的直接計(jì)算甲、乙獲勝概率的方法，他們都是有理有據(jù)的正確模型.

高中階段，數(shù)學(xué)模型開(kāi)始走向多元、開(kāi)放，運(yùn)用不同數(shù)學(xué)方法可以建立不同的模型，模型所聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)也不再單一.在對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解上，通過(guò)數(shù)學(xué)史的融入，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型不是一蹴而就的，而是在數(shù)學(xué)家們不斷調(diào)整、修正中逼近真理的.同時(shí)，學(xué)生開(kāi)始在沒(méi)有模式參照的情況自己探索建模方法，這是建模能力進(jìn)階過(guò)程中的一個(gè)重要臺(tái)階.

2.4 大學(xué)本科階段分配問(wèn)題的教學(xué)設(shè)計(jì)

2.4.1回顧歷史背景

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧：在6年級(jí)時(shí)，學(xué)生曾研究過(guò)《九章算術(shù)》中一道關(guān)于分派徭役的按比例分配問(wèn)題，當(dāng)時(shí)學(xué)生曾在教師的引導(dǎo)下將數(shù)學(xué)模型理解為對(duì)現(xiàn)實(shí)情境問(wèn)題的一種簡(jiǎn)單化、理想化表達(dá)，知道《九章算術(shù)》給出的分配結(jié)果解答在實(shí)際生活中是不可能實(shí)現(xiàn)的.但是，數(shù)學(xué)模型從實(shí)際問(wèn)題中來(lái)，終歸還是要回到實(shí)際問(wèn)題中去，而這樣的分配難題在實(shí)際問(wèn)題中似乎并不可以避免.表2是思考題2的一種常規(guī)解答，即參照慣例，可以把各鄉(xiāng)按比例分配后的徭役名額近似地保留一位小數(shù)，將無(wú)法細(xì)分的一個(gè)徭役名額分派至十分位數(shù)值最大的地區(qū).

表2 按照比例并參照慣例的徭役分派

2.4.2展示歷史上的悖論

教師指出，在歷史上，表2的解法也是漢密爾頓(A. Hamilton, 1755-1804)的想法，被稱為最大剩余法(Greatest Remainders，簡(jiǎn)稱GR).事實(shí)上，1850年至1900年間，美國(guó)國(guó)會(huì)眾議院席位分配就多次出現(xiàn)了與公元1世紀(jì)《九章算術(shù)》中記載的相類似的情形，這種模型也被當(dāng)時(shí)采用.但是，1880年，關(guān)于亞拉巴馬(Alabama)州的席位分配難題將GR法推上了風(fēng)口浪尖：由于美國(guó)總?cè)丝跀?shù)的增加，國(guó)會(huì)眾議院的總席位數(shù)從1787年的65逐漸增加到1920年的435，但是，亞拉巴馬州卻在該州人口占美國(guó)總?cè)丝诒壤唤档偷那闆r下，因眾議院總席位增加分得的席位反而減少，這就是歷史上著名的席位悖論[9].教師用以下表格模擬這種情況.

表3 當(dāng)總席位數(shù)增加時(shí)按照比例并參照慣例的席位分配

教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，A州的人口比例沒(méi)有發(fā)生變化，但當(dāng)總席位增加1時(shí)，其分得的席位數(shù)反而減少了，并指出：這樣不公平的分配人們是難以接受的，更加不公平的問(wèn)題還有！

表4 當(dāng)人口數(shù)增加時(shí)按照比例并參照慣例的席位分配

教師再次解釋說(shuō)明，B州的人口數(shù)增加卻比原來(lái)少了1席，A州的人口數(shù)未變卻比原來(lái)增加了1席！歷史上，GR法的這一重大缺陷稱之為人口悖論[9].

2.4.3新探歷史舊題

教師指出：由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)模型不能僅僅憑直覺(jué)或感性的認(rèn)識(shí)構(gòu)造，它必須包括嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)論證，擁有嚴(yán)密的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)模型必須要讓我們看到問(wèn)題的本質(zhì).席位有可能無(wú)法按照人口比例精確分配，就有可能會(huì)出現(xiàn)不公平現(xiàn)象，但我們應(yīng)該努力去尋找一種衡量不公平的數(shù)量指標(biāo)，通過(guò)計(jì)算和比較數(shù)值大小把不公平度降到最低.在找到問(wèn)題的突破口后，教師提到，學(xué)生曾在6年級(jí)思考題3中計(jì)算過(guò)三鄉(xiāng)在理論上分別多征派或少征派多少徭役人數(shù)，這其實(shí)就是一種衡量絕對(duì)不公平的指標(biāo).學(xué)生曾在初中學(xué)習(xí)了相對(duì)和絕對(duì)的概念，教師自然而然地引導(dǎo)學(xué)生借鑒并建立一種衡量相對(duì)不公平的指標(biāo).在學(xué)生適當(dāng)討論后，教師介紹亨廷頓除數(shù)法席位分配模型基本構(gòu)想.

2.4.4再現(xiàn)歷史解答

教師指出：高中時(shí)期，費(fèi)馬、帕斯卡、惠更斯等數(shù)學(xué)家們都曾給出了賭金分配問(wèn)題的精彩解答，學(xué)生第一次看到了數(shù)學(xué)文化的多元、開(kāi)放與包容.在今天所學(xué)習(xí)的席位分配模型中，歷史上的許多數(shù)學(xué)家同樣曾“心有靈犀”地探尋過(guò)亨廷頓除數(shù)和不公平度的衡量指標(biāo)[11].教師向?qū)W生展示表5.

實(shí)際上，早在6年級(jí)時(shí)，席位分配問(wèn)題的雛形就已出現(xiàn)，教師曾通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“《九章算術(shù)》中也有脫離生活實(shí)際的內(nèi)容”這一情況，為大學(xué)階段激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突埋下了伏筆.重新審視席位分配模型，可以發(fā)現(xiàn)其實(shí)質(zhì)就是《九章算術(shù)》中按比例分配模型在政治選舉領(lǐng)域優(yōu)化、發(fā)展、完善了的“進(jìn)化體”，只是這樣的優(yōu)化、發(fā)展、完善過(guò)程聯(lián)系了更多的數(shù)學(xué)知識(shí)，需要有更高的數(shù)學(xué)水準(zhǔn)、更強(qiáng)的應(yīng)用能力.通過(guò)數(shù)學(xué)史的回憶、再現(xiàn)和演繹，教師加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型本質(zhì)的理解：數(shù)學(xué)模型不是單一、靜態(tài)、固定、一成不變、事先預(yù)制好的，而是多元、動(dòng)態(tài)、開(kāi)放、靈活多變的，當(dāng)數(shù)學(xué)模型從一個(gè)領(lǐng)域轉(zhuǎn)移到另一個(gè)領(lǐng)域時(shí)，它就必須經(jīng)歷修正、調(diào)整的過(guò)程以適應(yīng)新的問(wèn)題情境.同時(shí)，關(guān)于亨廷頓除數(shù)和不公平度的衡量指標(biāo)建立，數(shù)學(xué)史上也再次呈現(xiàn)了“百花齊放”的格局，展現(xiàn)了多元文化的魅力.

3 數(shù)學(xué)史與學(xué)習(xí)進(jìn)階的融合

縱觀從小學(xué)至大學(xué)的分配問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)，數(shù)學(xué)史通過(guò)復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式融入數(shù)學(xué)教學(xué)，且教師在不同學(xué)段教學(xué)中運(yùn)用的數(shù)學(xué)史既有相互照應(yīng)、補(bǔ)充，也有相互抵觸、矛盾，既是為了與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展相匹配，也是為了在創(chuàng)造學(xué)生認(rèn)知沖突的過(guò)程中激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探索新知的欲望.而在數(shù)學(xué)史料和問(wèn)題的不斷回顧、補(bǔ)充、對(duì)比中，學(xué)生的認(rèn)知和元認(rèn)知水平均能得到促進(jìn)[12].實(shí)際上，數(shù)學(xué)史是在整體性重構(gòu)后與學(xué)習(xí)進(jìn)階相融合的，如表6所示.

表6 數(shù)學(xué)史與學(xué)習(xí)進(jìn)階融合的方式

4 數(shù)學(xué)史與學(xué)習(xí)進(jìn)階融合的價(jià)值

在分配問(wèn)題的教學(xué)設(shè)計(jì)中，不僅融入數(shù)學(xué)史體現(xiàn)了“文化之魅”，而且融合了的數(shù)學(xué)史與學(xué)習(xí)進(jìn)階還共同體現(xiàn)了“知識(shí)之諧”、“方法之美”、“探究之樂(lè)”、“能力之助”和“德育之效”.

4.1 文化之魅

當(dāng)跨越了近20個(gè)世紀(jì)，來(lái)自亞洲、歐洲和美洲不同地域，且與經(jīng)濟(jì)生活、社會(huì)生活等多個(gè)方面相聯(lián)系的分配問(wèn)題發(fā)展歷史在教學(xué)中展現(xiàn)時(shí)，學(xué)生能充分感受到數(shù)學(xué)的“文化之魅”.

4.2 知識(shí)之諧

一方面，基于賭金、席位分配問(wèn)題的歷史相似性或歷史上數(shù)學(xué)家們的認(rèn)知引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題，使得學(xué)生理解和學(xué)習(xí)模型有關(guān)知識(shí)的過(guò)程變得自然而然、水到渠成；另一方面，基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的教學(xué)是依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知和理解而設(shè)計(jì)的，各學(xué)段的學(xué)習(xí)有賴于之前學(xué)段的知識(shí)內(nèi)容，學(xué)生也能明白有關(guān)模型或知識(shí)不是“降落傘”從天而降，并親身經(jīng)歷了知識(shí)不斷補(bǔ)充、發(fā)展、完善的過(guò)程，體現(xiàn)了“知識(shí)之諧”.

4.3 方法之美

一方面，歷史上眾多數(shù)學(xué)家們關(guān)于賭金、席位等分配問(wèn)題或合理完美、或有待完善的思想與方法，都拓寬了教與學(xué)過(guò)程中師生的視野，成為了今天數(shù)學(xué)建模發(fā)展的寶庫(kù).另一方面，分配問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型不斷發(fā)展、完善，并適用于更多全新的領(lǐng)域，其所聯(lián)系的數(shù)學(xué)方法也不斷增多.在學(xué)習(xí)進(jìn)階中，不僅學(xué)生不同學(xué)段所學(xué)的許多或簡(jiǎn)單、或復(fù)雜的思想與方法相互聯(lián)結(jié)在了一起，而且不同數(shù)學(xué)分支或領(lǐng)域的方法能有機(jī)統(tǒng)一地在分配問(wèn)題教學(xué)中呈現(xiàn)，“方法之美”躍然于課堂之中，更全面、豐富、系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)和體系也得以被學(xué)生深刻理解.

4.4 探究之樂(lè)

一方面，探究歷史問(wèn)題時(shí)，學(xué)生既能因與歷史上數(shù)學(xué)家的解法相似而收獲成功體驗(yàn)，也能基于歷史主動(dòng)分析和改進(jìn)數(shù)學(xué)家的錯(cuò)誤并探索新的合理方法，在數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累中收獲樂(lè)趣.另一方面，在學(xué)習(xí)進(jìn)階中，教學(xué)始終圍繞分配問(wèn)題不斷深入，學(xué)生經(jīng)歷著從面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題到完善解決方案的循環(huán)過(guò)程，6年級(jí)時(shí)思考和解答的不完美更是成為了推動(dòng)大學(xué)問(wèn)題探究的直接動(dòng)力.隨著問(wèn)題情境的不斷發(fā)展，“探究之樂(lè)”也因而愈發(fā)濃烈.

4.5 能力之助

一方面，歷史問(wèn)題有助于提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)[13]，數(shù)學(xué)史也為數(shù)學(xué)建模提供了真實(shí)的問(wèn)題情境，而將真實(shí)情境數(shù)學(xué)化并檢驗(yàn)不同模型實(shí)用性的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用任務(wù)能有效發(fā)展學(xué)生一系列不同的數(shù)學(xué)能力[14].另一方面，學(xué)習(xí)進(jìn)階為循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展建模能力提供了科學(xué)依據(jù).從簡(jiǎn)單運(yùn)用模型，到依固定步驟建立模型，再到獨(dú)立自主全過(guò)程建模；學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力不是一蹴而就的，基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的教學(xué)也無(wú)疑成為“能力之助”.

4.6 德育之效

一方面，歷史上數(shù)學(xué)家們鍥而不舍追求真理的精神鼓舞了今天課堂中的學(xué)生；另一方面，基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的教學(xué)也促進(jìn)了學(xué)生的道德發(fā)展.早在先秦時(shí)期，我國(guó)《論語(yǔ)·季氏》就記載了孔子“不患寡而患不均”的政治主張，公平公正一直以來(lái)都是倫理道德的核心范疇.從按比例分配到席位分配，學(xué)生由依照和執(zhí)行公平分配方案向研究和制定公平分配方案逐漸轉(zhuǎn)變.當(dāng)面對(duì)的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題越發(fā)復(fù)雜時(shí)，教師幫助學(xué)生加深了對(duì)于公平實(shí)質(zhì)的認(rèn)識(shí)和感悟，潛移默化的“德育之效”也由此達(dá)成.