張文海

(江蘇省蘇州實驗中學 215011)

1 問題的背景

當前，高三數(shù)學課堂的教學現(xiàn)狀是在高一高二拼命壓縮趕進度，留出一年甚至一年半的時間進行反復練、練反復，老師和學生陷入無盡的題海，大多數(shù)課堂呈現(xiàn)重“教”輕“學”、重“知”輕“能”、重“結果”輕“過程”的現(xiàn)象．不僅師生雙方感到疲憊不堪，而且教學效果不理想．對于一些典型問題和典型錯誤，學生是屢做屢錯，屢做屢犯；對于一些重點問題的處理方法，學生不能深刻地理解和掌握．筆者曾經(jīng)在本學期教學中做過這樣的測試，一周前讓學生在課堂上限時15分鐘解一道大題(知識可以是解析幾何、導數(shù)、數(shù)列)，批改統(tǒng)計后認真評講，課后也要求學生訂正整理，一周后再讓學生在課堂上限時15分鐘獨立完成該原題，結果能完全解答正確的人數(shù)與之前相比，沒有太大的變化，尤其值得關注的一點，原來怎么想怎么做的，后來還是怎么想怎么做的，學生的思維結構沒有發(fā)生任何變化.究其原因，還是在學生的頭腦里，知識是孤立的、零散的存在，沒有形成一個網(wǎng)絡，也沒能建立成一個完整的知識體系．還有就是在評講時，沒能讓學生的思維卷入到課堂中，沒能真正建立自己的理解；這樣的思維記憶就是短暫的，不能長久，也就造成目前教學中出現(xiàn)教師講過多遍，學生依然不會的困境．為了改變目前這種現(xiàn)狀和困境，下面以“橢圓中斜率之和問題探究”為例，通過“一題一課”模式進行的實踐與思考與同仁交流．

2 “一題一課”模式

美國著名數(shù)學家G·波利亞說：“一個專心的認真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個有意義的但有不復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域．”蘇聯(lián)數(shù)學教育家奧加涅也說過：“必須重視，很多習題潛在著進一步擴展其教學功能、發(fā)展功能和教育功能的可能性．”由此可見，解題教學在數(shù)學課堂教學，尤其在高三數(shù)學復習中的重要性，設計得當?shù)慕忸}教學，往往能夠起到事半功倍的效果．

“一題一課”模式就是對一道題或一個材料進行深入研究，認真琢磨其本質(zhì)，通過縱橫聯(lián)系，將孤立問題“串”起來；通過課外拓展，讓學生思維“飛”起來．基于學情，科學、合理、有序地組織學生進行相關的數(shù)學探索活動，從而完成一節(jié)課的教學任務，以此達成多維目標的過程．

3 教學案例

分析：本題研究的是直線PA，PB，PM的斜率k1，k2，k3之間的關系，因為斜率與點P，A，B，M的坐標有關，而點A，B，M是直線AB與橢圓和直線l的交點，所以只需設出直線AB的方程，建立方程組，就可以解出所需要點的坐標，進而找到k1，k2，k3之間的關系．

解：因為直線AB與直線l相交于點M，

所以斜率存在，

故可設直線AB的方程為y=k(x-1)．

整理得(4k2+3)x2-8k2x+(4k2-12)=0，

故存在λ=2，使得k1+k2=2k3成立．

猜想1：既然常數(shù)“λ”的值與直線AB旋轉無關，那可能只與直線AB過的定點——右焦點F有關．下面固定點F，讓點P在直線x=1運動，結論是否依然成立？

故存在λ=2，使得k1+k2=2k3成立．

從上面的證明過程來看，只要點P是直線x=1(過右焦點垂直于x軸)上的動點，就一定有k1+k2=2k3成立．

猜想2：觀察直線l的方程x=4，不難發(fā)現(xiàn)它是橢圓的右準線，如果動點M在直線l上運動，直線MA，MB，MF的斜率間有沒有什么確定的數(shù)量關系呢？

解：設M(4,n)，因為A，B，F(xiàn)三點共線，

猜想3：從上面的三個問題可以發(fā)現(xiàn)，只要點F和直線l確定，這個常數(shù)是必然存在的．那么這個常數(shù)2與點F的坐標和直線l的方程之間有什么數(shù)量關系呢？因為點F是右焦點，直線l是右準線，它們之間存在一個對應關系．如果點F改成是橢圓長軸上的任意一點，是不是也存在這樣的一條定直線l滿足上面的關系呢？

解：因為直線AB與直線l相交于點M，所以斜率存在，故可設直線AB的方程為：y=k(x-t)．設A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(t,n)，

即M(m,k(m-t))．

使得k1+k2=2k3成立．

所以kMA+kMB=2kMQ．

背景鏈接：

4 教后反思

“一題一課”最為突出的特點就是對數(shù)學“題”進行了深度挖掘，以“原題”為本，根據(jù)學生的認知規(guī)律作深思，設計出不同層次的探究題，由淺入深、淺顯易懂，知識內(nèi)容卻深刻，思想方法顯靈動．這是一節(jié)貼近學生最近發(fā)展區(qū)，突出學生自主探究過程的課堂教學．

4.1 了解學生學情，確定一個主題

4.2 遴選好的例題，衍生一串問題

瑞士數(shù)學家皮亞杰認為：學習過程并不是個體獲得越來越多外部信息的過程，而是能動地建構新的認知圖式，不斷完整新的認知結構的過程．高三數(shù)學復習的教學目標是通過有限的復習，對所學知識獲得螺旋式上升的認識，從而達到知識的系統(tǒng)化、網(wǎng)絡化，使認知結構經(jīng)過順應和同化得到發(fā)展．如何通過少量題目的訓練，而又要達到以上的理想目標，就離不開精心選擇好的問題作為研究對象．本節(jié)課從尋找斜率之間的關系入手，在一個運動的過程中發(fā)現(xiàn)一個常數(shù)的存在，凸顯了變中不變的本質(zhì)，讓學生產(chǎn)生去研究不變的常數(shù)如何刻畫有規(guī)律的變化．基于以上的思考，產(chǎn)生了一個問題串，點P從一個定點變成一個動點，結果如何？右準線上的任意一點是否也有類似的規(guī)律？題中的定點F和右準線之間有著對應的關系，如果改變定點的位置，是否也存在對應的一條定直線，保持結論的穩(wěn)定性呢？這一串問題很好地體現(xiàn)了“一題一課”選題的原則：層次性、開放性、廣延性．問題的層次性讓不同能力的學生在學力上得到不同的發(fā)展；問題的開放性讓不同層次的學生都能參與；問題的廣延性，易于學生發(fā)現(xiàn)問題做進一步的探究與推廣．

4.3 強化類題訓練，夯實一種方法

4.4 觀察思考表達，促進深度學習

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》提出：“數(shù)學教育要引導學生學會用數(shù)學的眼光觀察世界，培養(yǎng)數(shù)學抽象和數(shù)學建模素養(yǎng)；學會用數(shù)學的思維分析世界，培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)；學會用數(shù)學的語言表達世界，培養(yǎng)直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)．”高三數(shù)學復習要在發(fā)展核心素養(yǎng)的視角下設計專題復習，聚焦對問題的深度學習與思考，讓學生在研究的狀態(tài)下學習，而不是單純的接受，而是在發(fā)現(xiàn)基礎上的同化，重在引導學生通過親身觀察、深入思考、理性表達，達成對數(shù)學本質(zhì)、思想、方法和價值的領悟，才能讓學生真正學得明白，才能把發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)落到實處．本節(jié)課從一個學生熟知的問題為觀察起點，利用學生直觀想象的能力，猜測其中可能存在某種結論，通過數(shù)學的思維去分析和論證變與不變的規(guī)律，學生的邏輯推理能力得到加強．在猜測和論證的過程中，不斷調(diào)整和完善問題的條件和結論，得到一串正確的命題，學生數(shù)學抽象的素養(yǎng)得到鍛煉．建構主義認為：“學習要放在活動中進行建構，只有在活動過程中不斷地進行反省、概括和抽象，重構自己的理解，才能真正理解知識的本質(zhì)．”