◇ 山東 武雪燕

章建躍先生提出數(shù)學概念是學生認知的基礎，是學生思維發(fā)展的重要載體.數(shù)學概念往往涉及豐富的數(shù)學背景，即引入的必要性與定義的合理性.數(shù)學概念的教學應當關注概念產生的背景、提出的過程等環(huán)節(jié)，幫助學生構建數(shù)學概念，發(fā)展數(shù)學思維.本文以弧度制教學設計為例，就如何在高中數(shù)學概念課中關注概念的背景，分享自己的實踐與思考.

1 教材分析

弧度制是學生在學習了任意角概念之后，通過探究認識的一種新的度量角的單位，弧度制的引入能為系統(tǒng)學習三角函數(shù)奠定基礎.本節(jié)內容的重點是弧度制的概念、弧度與角度的換算.為什么要引入弧度制，如何引導學生用弧長與半徑的比值來刻畫角是本節(jié)內容需要解決的難點.

2 教學過程

2.1 設置問題，體現(xiàn)必要性

概念課堂的引入要體現(xiàn)數(shù)學概念的必要性，借助問題設置，喚起學生探求新知的興趣.考慮到學生的最近發(fā)展區(qū)，設置如下問題：

(2)如何比較30°與sin30°的大小?

設計意圖從問題中讓學生體會角度制的不足，啟發(fā)學生尋求十進制的度量方法，引入弧度制.

2.2 建構概念，體現(xiàn)合理性

概念的建構過程是培養(yǎng)學生數(shù)學思維，發(fā)展學生數(shù)學素養(yǎng)的關鍵.以弧度制的發(fā)展史進行引導，通過設置問題組，讓學生在問題的解決過程中體會弧度制定義的合理性.

數(shù)學史：弧度制的發(fā)現(xiàn)，是數(shù)學家們經歷了漫長探索所得的結果.古希臘數(shù)學家在制作弦表時，發(fā)現(xiàn)了給定半徑時弧長與角度的一一對應關系，這種思想正是弧度制的雛形.1748年，瑞士數(shù)學家歐拉在他的著作《無窮小分析概論》中明確提出弧度制思想，他提到把圓的半徑作為1個單位長度，那么半圓的弧長就是π，這一思想將線段與弧的度量單位統(tǒng)一起來.

問題1設圓心角α＝30°，半徑分別為1，2，3，4時，計算對應的弧長l，弧長l 與半徑r 有怎樣的關系?

設計意圖從特殊角出發(fā)，讓學生在計算的過程中觀察、發(fā)現(xiàn)規(guī)律：圓心角不變時，弧長與半徑的比值恒為定值.

問題2一般地，假設圓心角α＝n°，上述關系是否仍成立? 試利用弧長公式進行推理.

設計意圖借助幾何畫板演示，讓學生經歷從特殊到一般的思維過程，驗證弧度制定義的合理性，提升數(shù)學抽象、邏輯推理的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

類比角度制的定義，給出1弧度的角的定義.有了1弧度的角，就可以衍生出更多的弧度制下的角.

問題3寫出下圖中α 的弧度數(shù).

圖1

圖2

設計意圖幫助學生理解弧度制表示角的意義，揭示弧度制的精髓.

2.3 單位換算，感受聯(lián)系性

同一數(shù)學對象從不同的角度去刻畫，得到的結論往往有內在聯(lián)系，角度制與弧度制都是角的度量方法，它們之間如何換算呢?

問題分別用弧度制和角度制表示一個圓周角，你能得到角度制與弧度制的換算方法嗎?

設計意圖借助周角的弧度數(shù)，得到角度與弧度的換算公式：πrad＝180°.

事實上，弧度制的引入統(tǒng)一了角與三角函數(shù)值的進制，使角的集合與實數(shù)集R之間建立了一種一一對應的關系，在此基礎上定義三角函數(shù)，進而研究函數(shù)的圖象與性質.

3 幾點思考

3.1 借助概念背景，創(chuàng)設教學情境

簡潔是數(shù)學發(fā)展的重要推動力.弧度制的引入，簡化了有關公式與運算.本文開頭設置的問題(2)來源于數(shù)學分析中的重要極限考慮到學生現(xiàn)有的知識水平，對問題進行簡化，要比較30°與sin30°的大小，需統(tǒng)一角與三角函數(shù)的單位，即尋求十進制的實數(shù)來度量角.需要指出的是，盡管在角度制下可以定義三角函數(shù)，但三角函數(shù)的圖象與性質不夠簡潔，而隨著數(shù)學分析的發(fā)展，弧度制的必要性越來越顯著，例如在角度制下正弦函數(shù)的導數(shù)公式為，比在弧度制下(sinx)′＝cosx要復雜，微積分學的重要極限，在角度制下就變成

3.2 依托概念背景，經歷概念建構

概念教學中，教師要引導學生建立與原認知結構中有關概念的聯(lián)系.從古到今，數(shù)學家們歷經不懈的努力，找到了用弧長來度量角的思路.本節(jié)內容介紹了弧度制的發(fā)展歷程，讓學生沿著弧度制的尋求軌跡，從熟悉的弧長公式入手，經歷特殊到一般的研究過程，得出結論并進行驗證.整個過程學生充分參與，鼓勵學生發(fā)現(xiàn)、驗證規(guī)律，提升數(shù)學學科核心素養(yǎng).

3.3 新舊知識融合，深化概念背景

概念教學中，如果能把新概念納入原有概念體系中，并達到融會貫通，對學生知識整體性的理解具有重要意義.教師引導學生思考弧度制與角度制的聯(lián)系與區(qū)別，加深理解.事實上，弧度制與角度制有著更為深刻的聯(lián)系，角度制是將圓周角360°等分，每一份弧長為該弧所對圓心角是1°的角，而弧度制則是將圓周2π等分，每一份弧長為r，它所對圓心角是1rad的角，可見弧度制與角度制都是在圓周等分的基礎上，對單位弧長所對應的角進行定義.從這個背景出發(fā)，可以解釋弧度制在后續(xù)的學習中優(yōu)于角度制的原因，即將圓周2π等分，每一份弧長為r，省略了換算因子使得弧度制下角的研究更為簡捷.