◇ 山東 張 暉

正弦定理揭示了任意三角形邊與角之間的客觀規(guī)律，是研究三角形問(wèn)題的重要工具.正弦定理的變形形式，在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中往往能直接應(yīng)用.在不同的問(wèn)題中，我們經(jīng)常根據(jù)具體情況選用正弦定理的變式進(jìn)行應(yīng)用.

1 正弦定理的變形形式

2 正弦定理變形形式的應(yīng)用

利用正弦定理的變形形式，可以進(jìn)行三角形的邊、角及外接圓半徑之間的互化，以解決一些有關(guān)的三角形問(wèn)題.

2.1 三角形幾何量的計(jì)算

利用正弦定理的變式可以進(jìn)行三角形的邊長(zhǎng)、角度、面積等問(wèn)題的計(jì)算.

例1已知△ABC 中，三個(gè)內(nèi)角的正弦之比為4∶5∶6，且其周長(zhǎng)為求△ABC 的三邊長(zhǎng).

利用正弦定理的變式a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，可設(shè)a＝4k，b＝5k，c＝6k，則有故△ABC 的三邊長(zhǎng)分別為

求解有關(guān)幾何計(jì)算的問(wèn)題時(shí)，要注意將問(wèn)題轉(zhuǎn)到三角形的邊角關(guān)系之中.

2.2 三角形形狀的判斷

判斷三角形的形狀，實(shí)質(zhì)是判斷三角形的三邊或三角具備怎樣的關(guān)系.由于正弦定理非常好地描述了三邊與三角的數(shù)量關(guān)系，所以可利用正弦定理的變式實(shí)現(xiàn)邊角的統(tǒng)一，便于尋找三邊或三角具備的關(guān)系式.

例2在△ABC 中，有sin2A＝sin2B＋sin2C，則△ABC 為三角形.

解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)根據(jù)所給的邊角條件，合理選用定理的變形形式.另外應(yīng)熟悉特殊三角形(如直角三角形、等邊三角形等)的邊角條件.

2.3 取值范圍的求解

在解決三角形的一些參數(shù)或代數(shù)式的取值范圍問(wèn)題中，往往要通過(guò)正弦定理及其相應(yīng)的變形，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)或?qū)?yīng)的函數(shù)問(wèn)題，再利用相應(yīng)的知識(shí)來(lái)求解.

例3在△ABC 中，若C ＝3B，求的取值范圍.

由正弦定理的變式，可知

又因?yàn)锳＋B＋C＝180°，C＝3B，所以0°＜B＜45°，則，所以1＜4cos2B－1＜3，故1＜

在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，一定要注意不能忽略了三角形自身的隱含條件，本題包含三角形的內(nèi)角和定理及A，B，C 均為正角這一條件，在解決問(wèn)題過(guò)程中要注意加以綜合應(yīng)用.

正確掌握正弦定理及其對(duì)應(yīng)的變式，可以非常有效地破解一些相應(yīng)的三角形問(wèn)題.在具體應(yīng)用時(shí)，經(jīng)常會(huì)借助三角形的相關(guān)性質(zhì)、三角恒等變換公式等，綜合余弦定理或三角形的面積公式等加以處理，使問(wèn)題快速獲解.