王曉玲 肖敏

摘 要：時域離散相似算法是連續(xù)系統(tǒng)仿真的常用方法，該算法具有計算量小、穩(wěn)定性好、允許采樣較大的步長等優(yōu)點，因而是線性時不變系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用的一種仿真算法。教材中給出的時域離散化模型的推導(dǎo)是基于拉普拉斯變換和拉普拉斯反變換的，學(xué)生理解起來相對困難。針對這一教學(xué)問題，文章將常數(shù)變易法引入時域離散化模型的推導(dǎo)中來，輔助時域離散化模型推導(dǎo)的教學(xué)，從而提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：控制系統(tǒng)仿真;線性時不變系統(tǒng);時域離散相似算法;教學(xué)探討

中圖分類號：G64? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? 文章編號：1673-9132（2020）27-0007-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2020.27.003

MATLAB與控制系統(tǒng)仿真是自動化專業(yè)的一門專業(yè)選修課程，該課程具有較強的實踐性，并以自動控制原理或自動控制基礎(chǔ)為學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。該課程是利用MATLAB和Simulink軟件（以下統(tǒng)稱為MATLAB軟件）實現(xiàn)對控制系統(tǒng)相關(guān)性能的分析（比如系統(tǒng)的穩(wěn)定性），促進(jìn)學(xué)生對自動控制原理或自動控制基礎(chǔ)等相關(guān)課程知識點的進(jìn)一步理解，為后期相關(guān)的課程設(shè)計、畢業(yè)設(shè)計、競賽等打下基礎(chǔ)。

生物醫(yī)學(xué)工程專業(yè)是一門工科專業(yè)。對于該專業(yè)的學(xué)生來說，MATLAB與控制系統(tǒng)仿真課程的開設(shè)不僅是為了進(jìn)一步提高學(xué)生對自動控制原理或自動控制基礎(chǔ)中所學(xué)知識的進(jìn)一步理解，同時也為該專業(yè)學(xué)生的后期學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。隨著科技的發(fā)展，外界對生物醫(yī)學(xué)工程專業(yè)學(xué)生的MATLAB軟件精通程度的要求也越來越高。這是因為越來越多的生物信息數(shù)據(jù)的分析等工作需要用到MATLAB軟件，而且MATLAB軟件中也增加了生物信息工具箱，這也從側(cè)面突出了MATLAB軟件對該專業(yè)學(xué)生的重要性。因此，MATLAB與控制系統(tǒng)仿真課程在生物醫(yī)學(xué)工程專業(yè)學(xué)生的學(xué)習(xí)中發(fā)揮著承前啟后、承上啟下的作用。

在自動控制理論中，我們用數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述系統(tǒng)中各個變量之間的關(guān)系，該數(shù)學(xué)表達(dá)式被稱為這個系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。一般地，時域中的系統(tǒng)用微分方程來描述，而復(fù)域中的系統(tǒng)則用傳遞函數(shù)來描述?？刂葡到y(tǒng)仿真主要是研究怎樣將常微分方程（組）描述的系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)離散化為與之等價的離散的差分方程（組），從而可以通過對該差分方程的迭代求出系統(tǒng)的解析解。換句話說，控制系統(tǒng)仿真的主要目的是找出與原來的微分方程（組）的解析解等價的數(shù)值解。教材[1]（見參考文獻(xiàn)，下同）主要介紹時域連續(xù)時不變系統(tǒng)的數(shù)字仿真算法中的相關(guān)概念、基本原理、常用公式等等，其中數(shù)值積分算法和離散相似算法在連續(xù)時不變系統(tǒng)的數(shù)字仿真中的應(yīng)用是教學(xué)重點。本課程教學(xué)內(nèi)容雖然可以根據(jù)開設(shè)專業(yè)的不同而進(jìn)行相應(yīng)的取舍，但是連續(xù)系統(tǒng)數(shù)字仿真的數(shù)值積分法和離散相似算法這兩個核心內(nèi)容是不可舍掉的。其中，時域離散相似算法是MATLAB與控制系統(tǒng)仿真教學(xué)中的主要內(nèi)容之一，其應(yīng)用范圍廣，并且實現(xiàn)起來很便利。但是，教材中關(guān)于時域離散模型的推導(dǎo)首先是對系統(tǒng)模型進(jìn)行拉普拉斯變換，然后再對其進(jìn)行拉普拉斯反變換而進(jìn)行的。這樣的推導(dǎo)過程復(fù)雜、容易出錯。尤其對于非自動化專業(yè)的學(xué)生和控制理論基礎(chǔ)不扎實的學(xué)生來說，基于拉普拉斯變換和拉普拉斯反變換的推導(dǎo)就更難理解消化了，也容易出錯，教學(xué)效果往往不理想。相對于自動化專業(yè)的學(xué)生，生物醫(yī)學(xué)工程專業(yè)的學(xué)生的控制理論相關(guān)的基礎(chǔ)比較薄弱，因此，拉普拉斯變換和拉普拉斯反變換學(xué)習(xí)對他們而言并非易事，而且在處理拉普拉斯變換和拉普拉斯反變換的過程中，經(jīng)常還要查表才可以得到。教師應(yīng)引入常數(shù)變易法來輔助時域離散化模型推導(dǎo)的教學(xué)工作，使理論教學(xué)過程更加具體、更加直觀，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生對這一教學(xué)內(nèi)容的理解，從而提高學(xué)生的聽課積極性，提高教學(xué)質(zhì)量。

一、時域離散化相似算法

根據(jù)教材[1，2]，線性時不變的連續(xù)系統(tǒng)的離散化是將虛擬的采樣開關(guān)分別加到該系統(tǒng)的輸入端和輸出端，使得輸入信號和輸出信號都被離散化，從而得到一個離散化的模型。保持器在這一離散化過程中發(fā)揮著重要的作用，其作用主要是為了復(fù)現(xiàn)原來的輸入信號。然而，在實際的應(yīng)用中，各種保持器不可能完全不失真地復(fù)現(xiàn)原來的輸入信號。因此，我們只能說連續(xù)系統(tǒng)經(jīng)過離散化后得到的離散化模型是原模型的“近似”模型，并且原模型與離散化模型之間的“近似性”與保持器的特點和采樣周期有關(guān)。時域上的線性時不變的連續(xù)系統(tǒng)的離散相似算法就是找出一個合適的采樣周期，使得離散化模型與原連續(xù)模型等價。

拉普拉斯變換是工程數(shù)學(xué)中非常常見的一種積分變換，該方法是求解高階常微分方程的常見的、重要的方法。教材[1，2]中，對時域離散化模型的推導(dǎo)主要分兩步走：第一步，對原來的時域連續(xù)時不變的系統(tǒng)作拉普拉斯變換，將實變量函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)閺?fù)數(shù)域中的復(fù)變量函數(shù)，然后再對所得到的復(fù)變量函數(shù)作相應(yīng)的運算，得到一個最終的復(fù)變量函數(shù)。第二步，對最終所得到的復(fù)變量函數(shù)作拉普拉斯反變換，將復(fù)數(shù)域中的復(fù)變量函數(shù)結(jié)果轉(zhuǎn)變?yōu)閷崝?shù)域上的實變量函數(shù)。正如教材[1]中所示，對線性時不變系統(tǒng)作拉普拉斯變換和拉普拉斯反變換，從而得到系統(tǒng)的解析解。

根據(jù)時域離散相似算法的原理，我們將在所得到的解析解上引入保持器來離散化上面所得到的解析解。根據(jù)教材[1]，此處我們也可以引入零階保持器或者三角形保持器，將保持器代入系統(tǒng)的解析解，從而得到了系統(tǒng)的時域離散化模型。在所得離散化模型中，當(dāng)采樣周期確定了，系統(tǒng)就可以通過離散迭代求得系統(tǒng)的數(shù)值解。這種迭代也突出了離散相似算法的優(yōu)越性，即計算量小和允許采樣大步長。

雖然離散相似算法有著以上所述的顯著優(yōu)點，但是在教學(xué)過程中，有相當(dāng)多的學(xué)生反映離散化模型的推導(dǎo)比較抽象，難以掌握。根據(jù)調(diào)查分析，出現(xiàn)這一教學(xué)情況的原因是學(xué)生對拉普拉斯變換和拉普拉斯反變換不熟悉，掌握得不夠牢固，尤其是對于非自動化專業(yè)的工科學(xué)生，如生物醫(yī)學(xué)工程專業(yè)的學(xué)生?？紤]到這一教學(xué)現(xiàn)象，可將常數(shù)變易法引入時域離散化模型的推導(dǎo)中，來輔助學(xué)生理解時域離散化模型的推導(dǎo)過程，進(jìn)一步理解時域離散模型的意義。

二、常數(shù)變易法引入

常數(shù)變易法是求解非齊次微分方程的常用方法[3]，使用該方法求解非齊次微分方程特解的基本思路主要分三步：第一步，去掉非齊次微分方程中的非齊次項，得到相應(yīng)的齊次微分方程，然后對該齊次微分方程進(jìn)行求解，得出其通解。第二步，將所得通解中的待定常數(shù)變易為自變量的待定函數(shù)。第三步是對第二步中常數(shù)變易后的通解進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)初始狀態(tài)值求得原來的非齊次微分方程的特解。常數(shù)變易法的核心主要是體現(xiàn)在第二步，即對將齊次微分方程中的待定常數(shù)“變易”為含自變量的待定函數(shù)。

時域線性時不變系統(tǒng)可以看作一個非齊次線性方程，其中控制輸入項的存在決定著它的“非齊次性”。常數(shù)變易法在時域離散化模型的推導(dǎo)中的具體步驟如下。

步驟一：將時域線性時不變系統(tǒng)的控制輸入項省略掉，僅對時域線性時不變的自治系統(tǒng)求解。因為去掉控制輸入項的時域線性時不變的自治系統(tǒng)是一個齊次線性方程，它的通解的求取很好處理。

步驟二：將步驟一中所得的自治系統(tǒng)的通解中的待定常數(shù)“變易”為包含自變量的待定函數(shù)。注意，在時域連續(xù)時間的線性時不變系統(tǒng)中，自變量是時間。因此，此處的含自變量的待定函數(shù)中的自變量是時間。

步驟三：將步驟二中變易后的通解代入原來具有控制輸入項的非齊次方程中，并根據(jù)初始狀態(tài)值即可求得原系統(tǒng)的特解。

通過使用常數(shù)變易法，我們得到了時域線性時不變系統(tǒng)的解析解。然后再借助保持器，對所得解析解離散化即可得到系統(tǒng)的時域離散化模型?？梢?，應(yīng)用常數(shù)變易法求解時域線性時不變系統(tǒng)的解析解不涉及拉普拉斯變換和拉普拉斯反變換，求解過程更加直觀。

三、常數(shù)變易法在時域離散化相似算法教學(xué)中的應(yīng)用

在教學(xué)過程中，我們并不是直接講授應(yīng)用常數(shù)變易法來推導(dǎo)時域離散相似算法公式。常數(shù)變易法只是作為時域離散化模型推導(dǎo)這一知識點的教學(xué)輔助，并不是完全取代教材中教學(xué)內(nèi)容。在具體的教學(xué)過程中，首先，教師講授怎樣通過拉普拉斯變換和拉普拉斯反變換得到教材中的離散相似算法，突出拉普拉斯變換和拉普拉斯反變換的作用。然后，再講授常數(shù)變易法求解時域線性時不變系統(tǒng)的解析解。常數(shù)變易法的引入不僅具體化了模型的推導(dǎo)過程，而且也為時域離散化模型的獲得提供了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。該方法與教材中提供的基于拉普拉斯變換和拉普拉斯反變換的證明方法的結(jié)合與對比，促進(jìn)了學(xué)生對時域線性時不變連續(xù)系統(tǒng)的離散化模型推導(dǎo)這一知識點的理解，進(jìn)而提高教學(xué)質(zhì)量。

除此之外，在教學(xué)實踐中，為了突出常數(shù)變易法的作用并促使學(xué)生對該方法的掌握，在實驗課中，在學(xué)生完成了實驗內(nèi)容之后，教師會建議學(xué)生將離散仿真算法所得的數(shù)值解與系統(tǒng)的解析解作一個對比。這樣做的原因之一是為了驗證離散算法與原系統(tǒng)的“等價性”，原因之二是讓學(xué)生事先利用常數(shù)變易法求出系統(tǒng)的解析解。這樣做可以加深學(xué)生對問題的思考，提高實驗課的教學(xué)效果。

四、結(jié)語

在MATLAB與控制系統(tǒng)仿真課程的教學(xué)中引入常數(shù)變易法這一數(shù)學(xué)方法來輔助時域離散化模型的推導(dǎo)的教學(xué)，改變了原有的完全按照教材授課的模式，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與控制理論的有機結(jié)合，突出了高等數(shù)學(xué)知識在工科專業(yè)課中的重要作用。利用常數(shù)變易法來推導(dǎo)時域離散化模型，可以加深學(xué)生對教材中的推導(dǎo)過程的理解，也更容易調(diào)動學(xué)生聽課的積極性，從而提高課堂聽課效率，改善教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]蔣珉，柴干，王宏華，劉國海.控制系統(tǒng)計算機仿真（第2版）[M].北京：電子工業(yè)出版社，2012.

[2]王正林，等.MATLAB/Simulink與控制系統(tǒng)仿真（第3版）[M].北京：電子工業(yè)出版社，2012.

[3]王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

作者簡介：王曉玲（1987.12— ），女，漢族，安徽安慶人，講師，研究方向：網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的分析與控制。

肖敏（1977.3— ），男，漢族，江西萍鄉(xiāng)人，教授，研究方向：非線性系統(tǒng)動力學(xué)分析及優(yōu)化控制。