陳康 劉曉靜

[摘要]近年來的高考數(shù)學(xué)壓軸題多數(shù)與不等式有關(guān).其中的數(shù)列不等式的證明是一個(gè)難點(diǎn)，考試得分率低，多數(shù)考生望而生畏，突破這個(gè)難點(diǎn)的有效辦法是通過構(gòu)造數(shù)列的求和，用替換方法證明數(shù)列不等式，此證明方法可操作性強(qiáng)，學(xué)生易掌握.

[關(guān)鍵詞]替換法;不等式;壓軸題;數(shù)列

[中圖分類號(hào)]

G633.6

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A

[文章編號(hào)] 1674-6058（ 2020）23-0001-02

近五年來的高考數(shù)學(xué)壓軸題中，就有18道題目考查了不等式或不等式的證明，因此，研究不等式的證明就成了高三數(shù)學(xué)教師及高考試題研究者必須研究的問題，

這些不等式證明題，可分為三種類型：

第一種類型是證明與x有關(guān)的不等式，如2018年全國卷Ⅲ（文科）的第21題，2018年全國卷Ⅱ（理科）的第21題，2016年全國卷Ⅲ（文科）的第21題，2016年全國卷Ⅱ（理科）的第21題，

第二種類型是證明關(guān)于x1和x2的不等式，其中x1和x2是已知函數(shù)的極值點(diǎn)或零點(diǎn)，如2018年全國卷I（理科）的第21題，2017年全國卷Ⅱ（理科）的第2l題.2016年全國I（理科）的第21題，2015年全國卷Ⅱ（理科）的第21題，

第三種類型是證明關(guān)于n的不等式，其中n是正整數(shù)，如2017年全國卷Ⅲ（理科）的第21題，2014年高考陜西卷（理科）的第2l題，2013年全國大綱卷的第21題，

這些數(shù)列不等式不但綜合了數(shù)列和不等式的相關(guān)知識(shí)，而且與函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容相結(jié)合，題目綜合性強(qiáng)且難度大，

對(duì)于第一、第二種類型問題，比較常見，并且基本上都是用構(gòu)造函數(shù)方法來證明，我們主要來分析第三種類型題目的解題方法.

[例1]（2017年高考全國卷Ⅲ理數(shù)21題變式）

點(diǎn)評(píng)：本題不同于例1，要從第（2）問得到的基本不等式中，猜測用n的代數(shù)式替換x是很難辦到的，需要用分析法，且要擬合為數(shù)列求和，再比較其通項(xiàng)，結(jié)合由（2）所得的基本不等式，用n的代數(shù)式1/n替換不等式中的x即可，

點(diǎn)評(píng)：本例的分析過程比較順暢，學(xué)生易理解，但若用第（2）小題的結(jié)論或用第（3）小題中第①問的結(jié)論，通過猜測用n的代數(shù)式替換x的辦法是比較困難的，而用替換不等式、通過構(gòu)建兩數(shù)列的求和式子的方法，則難點(diǎn)就很容易突破，

如何用n的代數(shù)式替換不等式中的x？若不通過擬合為數(shù)列求和問題，則問題很難解決，而利用替換方法，結(jié)合數(shù)列求和方法來處理，那解出來只是時(shí)間問題而已了，筆者研究了近十年來全國卷中的有關(guān)數(shù)列不等式問題，大多數(shù)的題目用上述方法都能解決.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）