章 越，王家寶，亓山山，白在橋

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

楊氏模量的測(cè)量方法可分為靜態(tài)法和動(dòng)態(tài)法，其中靜態(tài)法通過測(cè)量樣品在外力下的形變進(jìn)而求得出楊氏模量，最近有許多文獻(xiàn)討論用不同的方法測(cè)量微小位移[1-2]；動(dòng)態(tài)法是根據(jù)樣品的共振頻率推知樣品的彈性參量[3-4]，通常的操作是，調(diào)節(jié)激發(fā)信號(hào)的頻率，用示波器或交流電壓表觀察振動(dòng)信號(hào)的幅度，找到最大振動(dòng)對(duì)應(yīng)的共振頻率. 但實(shí)驗(yàn)中有時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)存在2個(gè)間隔很近的共振頻率[5]，這種“雙共振峰”現(xiàn)象不僅會(huì)影響量結(jié)果的準(zhǔn)確性，還會(huì)造成學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)原理的困惑. 實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)細(xì)圓柱形樣品的橫向振動(dòng)，由于橫波具有偏振性，至少會(huì)涉及到2個(gè)振動(dòng)模式. 只要樣品的彈性力學(xué)性質(zhì)不是嚴(yán)格各向同性的[6]，繞樣品中心線的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性就不再保持，這2個(gè)模式的頻率就會(huì)有所不同. 因此出現(xiàn)2個(gè)共振峰并不意外. 此外，實(shí)驗(yàn)采用的懸掛測(cè)量方式還會(huì)引入各向異性. 已有論文對(duì)懸掛造成的影響進(jìn)行了討論[7]，本文將綜合考慮這2種各向異性的影響，以期能夠定量理解“雙共振峰”現(xiàn)象，并在此基礎(chǔ)上給出更合理的楊氏模量計(jì)算方法.

1 理論分析

動(dòng)態(tài)法測(cè)量楊氏模量的振動(dòng)系統(tǒng)如圖1所示. 待測(cè)圓桿樣品被2根棉線水平懸掛起來，懸掛點(diǎn)相對(duì)桿的中心左右對(duì)稱. 一根懸線將激振器的激勵(lì)信號(hào)傳至樣品，另一個(gè)懸線將樣品的振動(dòng)傳回拾振器，用于監(jiān)視和測(cè)量樣品的振動(dòng). 為方便分析，在樣品截面內(nèi)建立O-xyz坐標(biāo)系，其中O為桿的幾何中心，x軸指向下，y軸水平，z軸與樣品的中心線重合.

圖1 坐標(biāo)系示意圖

桿的橫向振動(dòng)在x-y平面內(nèi)，先假設(shè)桿的力學(xué)性質(zhì)具有完美的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，并暫時(shí)忽略懸線的影響. 這樣x方向和y方向的振動(dòng)頻率和模式完全相同，在細(xì)桿近似下，由歐拉-伯努利梁理論可知共振頻率為

(1)

其中,L,I和ρ分別為桿的長度、面矩和線密度，E為材料的楊氏模量，ξk是cos (ξ)cosh (ξ)=1的

第k個(gè)正根(ξ1=4.730 040 7…).ωk,0對(duì)應(yīng)的振動(dòng)模式為

(2)

一般地，x方向的振動(dòng)位移φx(z,t)和y方向的振動(dòng)位移φy(z,t)都是不同本征振動(dòng)的疊加：

(3)

現(xiàn)在考慮桿各向異性的影響. 由于只關(guān)心基頻附近的振動(dòng)，假定振動(dòng)可以寫為

(4)

這樣假設(shè)相當(dāng)于在瑞利-里茲方法(Rayleigh-Ritz method)中選取2個(gè)簡(jiǎn)并的基頻模式作為基函數(shù)[8]. 桿的振動(dòng)被約化為2個(gè)自由度{cx,cy}的運(yùn)動(dòng). 對(duì)各向同性的情況，桿的動(dòng)能可表示為

(5)

勢(shì)能可表示為

(6)

(7)

式(7)假定了x軸和y軸是彈性的主軸. 對(duì)于一般的懸掛角度，勢(shì)能應(yīng)寫成

(8)

(9)

式中θ為彈性主軸與x軸的夾角.

(10)

(11)

其中質(zhì)量矩陣

(12)

根據(jù)動(dòng)能和勢(shì)能的表達(dá)式，利用歐拉-拉格朗日方程，可得2個(gè)本征振動(dòng)頻率為

(13)

其中λ1,2為M-1/2KM-1/2≡Q的2個(gè)本征值. 保留到1階小量，

(14)

其中

(15)

表征了懸線對(duì)振動(dòng)總的影響. 因此保留到1階項(xiàng)，有

(16)

1)θ→θ+π，共振頻率保持不變.

2)2個(gè)共振頻率的平均值

與θ無關(guān).

3)2個(gè)共振頻率的差值為

其最小值為||δ|-Δ|ω0，在|δ|增大的過程中先減小到零，然后增大. 只有|δ|=Δ且θ=0,π時(shí)才會(huì)有ω1=ω2. 這與量子力學(xué)中的能級(jí)回避交叉的數(shù)學(xué)原理相同[9].

4)如果|δ|?Δ，

此外，只要x軸不是彈性主軸，x方向的運(yùn)動(dòng)就包含了2個(gè)本征模式分量，加在x方向的激勵(lì)就可以激發(fā)出2個(gè)本征振動(dòng)，拾振器在x方向的也可探測(cè)到這2個(gè)本征振動(dòng)信號(hào). 因此雙共振峰應(yīng)該是常見現(xiàn)象. 但是當(dāng)sin (2θ)≈0或|δ|?Δ時(shí)，Q的1個(gè)本征向量與x軸夾角很小，2個(gè)共振峰的高度會(huì)相差很大，雙共振峰現(xiàn)象不明顯.

2 實(shí)驗(yàn)裝置與方法

本文實(shí)驗(yàn)裝置與文獻(xiàn)[5]相同，包括動(dòng)態(tài)法楊氏模量測(cè)定儀(杭州大華DHY-2)、信號(hào)發(fā)生器(普源精電DG1032Z)、數(shù)據(jù)采集卡(NI-myDAQ)和裝有LabVIEW軟件的計(jì)算機(jī)，其中信號(hào)發(fā)生器有USB-device接口，可以用LabVIEW控制輸出參量. 測(cè)試桿長度約180 mm，直徑約為6 mm. 與文獻(xiàn)[5]中的實(shí)驗(yàn)不同，這里需要測(cè)量樣品的角度. 用低成本顯微攝像頭監(jiān)視樣品的端面，并通過LabVIEW顯示在屏幕上，得到直徑約為300像素的圓形(見圖2). 在桿的端面上刻記號(hào)，作為角度的零點(diǎn). 同時(shí)在圖像上疊加等角度間隔的分劃線，便于把懸掛角度調(diào)整到預(yù)定值.

圖2 樣品端面照片以及角度刻線

實(shí)驗(yàn)通過LabVIEW編程掃描信號(hào)發(fā)生器的輸出頻率用于激勵(lì)測(cè)試桿的振動(dòng)，使用數(shù)據(jù)采集卡獲得每個(gè)頻率下拾振器的輸出信號(hào)，得到樣品振動(dòng)的幅-頻和相-頻特性曲線. 所得曲線用雙共振模型擬合，得到2個(gè)共振頻率及其寬度. 程序控制和數(shù)據(jù)擬合的細(xì)節(jié)參見文獻(xiàn)[5]. 由于共振頻率具有θ→θ+π的不變性，為了縮短測(cè)量時(shí)長，實(shí)驗(yàn)中θ限制在[0,π]之內(nèi). 同時(shí)，比較θ=0和θ=π的結(jié)果，可以粗略估計(jì)測(cè)量結(jié)果的可重復(fù)性.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

首先對(duì)1根黃銅桿，在從中心向邊緣的8個(gè)不同懸掛位置(z*)，分別測(cè)量了9個(gè)不同懸掛角度(θ)的頻率響應(yīng)曲線. 由于數(shù)據(jù)量很大，圖3只畫出了z*=60 mm的9條幅-頻特性曲線，可以看出，隨θ改變，2個(gè)共振峰的位置、寬度和相對(duì)高度都會(huì)改變.

圖3 黃銅桿固定z*=60 mm，不同θ的幅-頻特性曲線 (從上到下θ從0°均勻增大到180°)

注意實(shí)驗(yàn)中θ的零點(diǎn)是根據(jù)樣品端面上的記號(hào)確定的，很可能并不對(duì)應(yīng)桿的彈性主軸(即固有彈性矩陣Kθ最大特征值對(duì)應(yīng)的特征方向). 如果主軸位置為θ0，式(16)應(yīng)改寫成

(17)

因此用包含{f0,γ,α,θ0}4個(gè)參量的公式擬合實(shí)測(cè)的144個(gè)共振頻率：

(18)

(19)

需要說明的是，式(18)中f1(f2)指的是2個(gè)共振頻率中較大(較小)的，而文獻(xiàn)[3]是根據(jù)共振峰的寬窄來標(biāo)記不同的頻率. 這2種標(biāo)記并沒有確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系(圖3).

表1 黃銅桿不同懸掛位置和角度的共振頻率

表2 不同懸掛位置對(duì)應(yīng)的

采用高斯-牛頓方法進(jìn)行非線性最小二乘擬合，所得最佳擬合參量見表3.

表3 共振頻率擬合參量

圖4畫出了擬合的殘差分布. 可以看出絕大部分殘差的絕對(duì)值都小于0.2 Hz. 由于存在溫度起伏、樣品定位誤差等因素，本實(shí)驗(yàn)共振頻率測(cè)量的可重復(fù)性在0.1 Hz量級(jí)，因此可以認(rèn)為擬合結(jié)果相當(dāng)好.

為了對(duì)擬合效果有感性認(rèn)識(shí)，圖5畫出Δf=f1-f2的測(cè)量值與計(jì)算值的對(duì)比. 可以看出理論公式很好地給出了Δf的變化規(guī)律.

圖4 擬合殘差分布統(tǒng)計(jì)直方圖

圖5 Δf測(cè)量值(點(diǎn))與計(jì)算值(連續(xù)曲線)的對(duì)比(為便于展示，從下到上每條曲線的零點(diǎn)依次相對(duì)前一條向上平移了1 Hz)

對(duì)不銹鋼樣品進(jìn)行了類似的測(cè)量，同樣觀察到雙共振峰現(xiàn)象，所得測(cè)量結(jié)果見表4. 由于θ=135°比較接近彈性主軸，頻率特性曲線中“雙峰”現(xiàn)象不明顯，對(duì)應(yīng)測(cè)量角度改在了θ=140°. 同樣用式(18)擬合，擬合結(jié)果與銅桿相當(dāng)(表3). 這說明本文的理論可以較好地描述一般金屬桿由于彈性各向異性導(dǎo)致的共振頻率劈裂.

表4 不銹鋼桿不同懸掛位置和角度的共振頻率

4 總結(jié)和討論

采用合理的假設(shè)，利用瑞利-里茲方法計(jì)算了桿彈性的各向異性以及懸線約束引起的共振頻率移動(dòng)，所得公式可以很好地?cái)M合實(shí)測(cè)數(shù)據(jù). 這說明簡(jiǎn)化模型是合理的. 微擾計(jì)算的準(zhǔn)確性還應(yīng)歸結(jié)于各向異性和懸線約束的影響都很小(Δ,δ都小于0.01)，高階修正可以忽略.

表5 樣品在固定角度下線性擬合所得固有頻率