陳昱嘉

(西安交通大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 西安 710049)

由于Tesla閥沒有可動(dòng)部件，不能使流道完全閉合，所以壓差比(Tesla閥的反向壓降與正向壓降的比值)是衡量Tesla閥性能的最重要的指標(biāo)[1]. 壓差比越大說明閥的阻斷性能越好. 為了提高Tesla閥的性能，必須對(duì)其結(jié)構(gòu)參量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì). 需要研究Tesla閥內(nèi)部流場(chǎng)，分析其性能受到哪些因素影響及其影響程度[2]. 在Tesla閥的優(yōu)化設(shè)計(jì)方面，國內(nèi)外現(xiàn)有大多數(shù)研究成果是應(yīng)用CFD(Computational fluid dynamics)軟件技術(shù)，對(duì)Tesla閥進(jìn)行仿真分析，實(shí)現(xiàn)對(duì)幾何結(jié)構(gòu)、尺寸參量的優(yōu)化設(shè)計(jì). 由于CFD技術(shù)計(jì)算結(jié)果的精度往往取決于對(duì)復(fù)雜流場(chǎng)仿真前置處理時(shí)的邊界條件、物性參量等是否與實(shí)際情況一致，以及計(jì)算方法與后置處理是否準(zhǔn)確等方面[3]. CFD仿真結(jié)果是否有效，仍需要進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.

本文利用數(shù)控加工技術(shù)，制作Tesla閥模型，通過試驗(yàn)研究，探究Tesla閥的幾何結(jié)構(gòu)和尺寸參量、使用條件(流體壓差、黏度)對(duì)Tesla閥性能的影響. 在給定的閥體整體結(jié)構(gòu)尺寸約束條件下，研究Tesla閥的幾何結(jié)構(gòu)、尺寸參量的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，實(shí)現(xiàn)Tesla閥性能最優(yōu).

1 Tesla閥模型與制作

1.1 模型建立

Tesla閥是由多個(gè)相同幾何構(gòu)型的瓣膜管道拼接而成的，如圖1所示[4-6].

圖1 Tesla閥瓣膜管道結(jié)構(gòu)示意圖

單個(gè)瓣膜管道的幾何構(gòu)形可由分叉角α、匯入角β、彎道半徑R、瓣膜管道間的距離L和管道直徑W決定. 因此選擇其中1個(gè)瓣膜管道進(jìn)行建模，最終將N個(gè)瓣膜管道拼接在一起便可形成完整的Tesla閥. 本文不考慮管徑W的影響，選擇沿著Tesla閥的管道中心線建立閥的數(shù)學(xué)模型，如圖2所示.

圖2 Tesla閥單個(gè)瓣膜管道數(shù)學(xué)模型

對(duì)于圖2中的閥體得到方程組I：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

解得

(6)

(7)

將O′點(diǎn)坐標(biāo)(x0,y0)代入式(2)～(5)得到A和B點(diǎn)的坐標(biāo)(xa,ya),(xb,yb).

1.2 模型制作

采用T-500高速鉆攻中心，按照?qǐng)D2瓣膜管道數(shù)學(xué)模型，編制數(shù)控加工程序，控制刀具沿著圖3所示的瓣膜管道中心線進(jìn)行加工. 利用直徑5 mm的球頭銑刀，在2塊同尺寸亞克力板上銑出正反兩面的半個(gè)管道，如圖4所示. 然后，將2塊已加工好瓣膜管道的亞克力板，利用螺絲和螺母組裝起來，并在閥體兩端的進(jìn)出水口加工螺孔，連接進(jìn)出水接頭.

圖3 瓣膜管道中心線的數(shù)控加工軌跡

圖4 加工在亞克力板上正反兩面的瓣膜管道

由于T-500的高速鉆攻中心的加工誤差小于±0.02 mm，所制作的Tesla閥模型的精度滿足實(shí)驗(yàn)要求.

按照以上方法，制作了18個(gè)Tesla閥模型，其基本參量如表1所示.

表1 實(shí)驗(yàn)用Tesla閥的基本參量

2 Tesla閥性能分析

2.1 Tesla閥機(jī)理分析

為了解Tesla閥順流與逆流的流體阻斷機(jī)理，使用有限元分析方法，利用ANSYS軟件，對(duì)單個(gè)瓣膜管道進(jìn)行幾何建模.

2.1.1 網(wǎng)格劃分

仿真采用非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，網(wǎng)格總數(shù)為20×105，網(wǎng)格質(zhì)量控制在0.7以上.

2.1.2 仿真參量設(shè)置

1)采用RNGk-ε湍流模型，SIMPLEC算法求解.

2)速度入口：設(shè)定來流速度的大小與方向，此處設(shè)置為1 m/s.

3)壓力出口：認(rèn)為流動(dòng)在該處已經(jīng)充分發(fā)展，故邊界條件使用壓力出口.

4)壁面：管道壁面，設(shè)定無滑移條件，u=v=w=0.

5)閥體幾何參量設(shè)置：分叉角α取60°，匯入角β取172.5°，彎道半徑R取8 mm，瓣膜管道個(gè)數(shù)N取4.

2.1.3 仿真結(jié)果

通過觀察繪制的順流和逆流速度云圖(圖5)，發(fā)現(xiàn)在順流時(shí)，流阻主要產(chǎn)生于分叉角α處，其原因是流體的流動(dòng)方向發(fā)生變化. 而在逆流時(shí)，流阻主要產(chǎn)生于匯入角β處，其原因是直管和彎管中的水流相互撞擊，導(dǎo)致流阻變大. 無論是順流還是逆流，流阻大小都與管道內(nèi)流體流速v有關(guān)，但流速對(duì)逆流流阻的影響，大于對(duì)順流的影響. 流速太小會(huì)導(dǎo)致Tesla閥的阻流效應(yīng)失效.

(a)

參照電路分析中對(duì)電阻的定義，引入流阻G，并使用逆順流阻比M衡量Tesla閥的性能.

(8)

(9)

2.2 Tesla閥性能測(cè)試的實(shí)驗(yàn)方法

采用控制變量法，通過固定水桶中的水面到Tesla閥閥口的高度，以固定Δp，通過測(cè)量流體質(zhì)量和秒表計(jì)時(shí)的方式，利用

(10)

得到流量Q，進(jìn)而得到流阻G和流阻比M.

實(shí)驗(yàn)裝置如圖6所示. 首先配置好水桶，將長(zhǎng)導(dǎo)水管的一端連接在水桶出口處，另一端連接到Tesla閥的入口處. 將短導(dǎo)水管一端接到Tesla閥的出口處，另一端置于已經(jīng)固定高度的燒杯杯口. 向水桶中持續(xù)加水，保證水桶中的水面到Tesla閥閥口的高度保持一定. 打開長(zhǎng)導(dǎo)管上的止水夾，等到Tesla閥中的氣泡被排盡，且Tesla閥內(nèi)流體處于穩(wěn)定流動(dòng)后，開始測(cè)量流體質(zhì)量和時(shí)間. 順逆流各測(cè)量3次流體質(zhì)量和時(shí)間.

通過改變水面到特斯拉閥的高度差，改變Tesla閥的壓差. 通過在水中配置不同比例的甘油，改變流體的黏度. 通過更換Tesla閥實(shí)物模型，改變Tesla閥的幾何參量.

圖6 Tesla閥性能測(cè)試實(shí)驗(yàn)方法示意圖

2.3 Tesla閥性能的影響參量

2.3.1 流體壓差

采用10號(hào)閥進(jìn)行實(shí)驗(yàn). 通過調(diào)整水桶水面與Tesla閥之間的高度差h，改變Tesla閥兩端的壓差. Tesla閥的流阻G和流阻比M實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表2和圖7所示.

表2 壓差對(duì)Tesla閥流阻比M的影響

圖7 壓差對(duì)Tesla閥逆順流阻比的影響

將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采用f(x)=axb擬合得到(95%置信區(qū)間)：

M=-1.151h0.057 81,h∈[0,+∞).

(11)

曲線擬合均方根誤差為0.008 5，從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到結(jié)論：壓差越大， Tesla閥的性能越好，且滿足式(11).

2.3.2 流體黏度

仍采用10號(hào)閥進(jìn)行實(shí)驗(yàn). 通過調(diào)整甘油與水的溶液配比比例φ改變流體的黏度. 對(duì)不同黏度的流體進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，計(jì)算Tesla閥的流阻G和流阻比M，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果如表3和圖8所示.

表3 流體黏度對(duì)Tesla閥流阻比M的影響

圖8 不同黏度對(duì)Tesla閥逆順流阻比的影響

采用f(x)=ax2+bx+c對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到(95%置信區(qū)間)：

(12)

擬合均方根誤差為0.021 71.

隨著甘油水溶液的體積分?jǐn)?shù)增大(即黏度增大)，Tesla閥的流阻比減小并趨于1. 這是因?yàn)橐后w黏度增大導(dǎo)致了沿程阻力的增大. 盡管沿程阻力的增大會(huì)在一定程度上導(dǎo)致阻流效果更好，但是與此同時(shí)其流速也因此大大降低，從而Tesla閥難以發(fā)揮其構(gòu)型帶來的阻流作用，說明Tesla閥并不適用于高黏度的流體.

2.4 Tesla閥的幾何結(jié)構(gòu)參量

2.4.1 分叉角α

利用7～12號(hào)Tesla閥進(jìn)行實(shí)驗(yàn). 將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采用f(x)=axb+c進(jìn)行擬合得到式(95%置信區(qū)間)：

M=-1.439×10-7α3.414+1.566,α∈[0,90].

(13)

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合圖像如圖9所示. 擬合均方根誤差為0.007 893，Tesla閥的逆順流阻比M會(huì)隨著分叉角α變大而減小，呈現(xiàn)由緩至陡的變化趨勢(shì).

圖9 分叉角α對(duì)Tesla閥逆順流阻比的影響趨勢(shì)

2.4.2 匯入角β

利用1,8,2,3號(hào)Tesla閥進(jìn)行實(shí)驗(yàn). 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采用f(x)=axb+c擬合得(95%置信區(qū)間)：

M=5.656×10-16β6.453+1.387,β∈[90,180].

(14)

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合圖像如圖10中. 擬合均方根誤差為0.022 73. Tesla閥的逆順流阻比M會(huì)隨著匯入角β變大而增大，呈由緩至陡的變化趨勢(shì).

圖10 匯入角β對(duì)Tesla閥逆順流阻比M的影響趨勢(shì)

2.4.3 彎道半徑R

利用6,5,10,4號(hào)Tesla閥進(jìn)行實(shí)驗(yàn). 通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可得到定性結(jié)論：Tesla閥的逆順流阻比M會(huì)隨著彎道半徑R變大先增大后減小. 但由于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)本身的缺乏，無法依據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)直接得到對(duì)應(yīng)的定量擬合函數(shù). 依據(jù)其變化趨勢(shì)，采用f(x)=ax3+bx2+cx+d對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合(95%置信區(qū)間)：

M=0.003 304R3-0.105 8R2+1.053R-1.685,R∈[5,14].

(15)

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和擬合如圖11所示. 由于本文只有4個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)必定完美符合上述擬合公式，但逆順流阻比M在R∈[5,14]時(shí)是否滿足式(15)還需更多數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行佐證.

圖11 彎道半徑R對(duì)Tesla閥逆順流阻比的影響趨勢(shì)

2.4.4 瓣膜管道間的垂直距離L

共利用13,10,14,15號(hào)Tesla閥進(jìn)行實(shí)驗(yàn). 當(dāng)L=0時(shí)，Tesla閥的逆順流阻比M最大；當(dāng)L≠0時(shí)，逆順流阻比M會(huì)下降，其中L<0比L>0下降的更快(圖12). 這是由于當(dāng)L<0時(shí)，匯入角處的結(jié)構(gòu)遭到破壞，逆流時(shí)直管與彎管水流無法很好的進(jìn)行碰撞，從而逆流的阻礙作用大打折扣. 而當(dāng)L>0時(shí)，L增大只會(huì)徒增整個(gè)Tesla閥的長(zhǎng)度，從而增大閥的沿程阻力，這對(duì)逆流順流都會(huì)造成影響.

圖12 13,10,14,15號(hào)Tesla閥實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

但由于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)本身的缺乏，無法依據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)直接得到對(duì)應(yīng)的定量擬合函數(shù). 依據(jù)其變化趨勢(shì)，本文采用f(x)=axb+c對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合(95%置信區(qū)間)

M=-0.051 37L0.430 3+1.492,L∈[0,+∞).

(16)

后3組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合的圖像見圖13. 由于此

圖13 瓣膜管道間的垂直距離L對(duì)Tesla閥 逆順流阻比的影響

處只取了3個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)必定完美符合上述擬合公式，但逆順流阻比M在L∈[0,+∞)時(shí)是否滿足式(16)還需更多數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行佐證.

2.4.5 瓣膜管道個(gè)數(shù)N

利用16,10,17,18號(hào)，Tesla閥進(jìn)行實(shí)驗(yàn). 將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采用f(x)=axb的冪函數(shù)進(jìn)行擬合得到如下擬合公式(95%置信區(qū)間)

M=1.075N0.245 2,N∈N+.

(17)

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合圖像如圖14所示. 擬合公式的均方根誤差為0.021 31. Tesla閥的逆順流阻比M會(huì)隨著瓣膜管道個(gè)數(shù)N的增大而增大.

圖14 瓣膜管道個(gè)數(shù)N對(duì)Tesla閥逆順流阻比的影響

3 Tesla閥的綜合優(yōu)化

3.1 幾何參量對(duì)閥尺寸影響

3.1.1 瓣膜管道間的垂直距離L

圖15 Tesla閥單個(gè)瓣膜管道數(shù)學(xué)模型細(xì)致化

首先研究瓣膜管道間的垂直距離L對(duì)矩形P的長(zhǎng)的影響. 此時(shí)對(duì)矩形P的長(zhǎng)的影響反應(yīng)在線段OD的長(zhǎng)度變化上. 如對(duì)于某2個(gè)瓣膜管道間的垂直距離L，

(18)

由式(18)，隨著瓣膜管道間的垂直距離L增大，矩形P的長(zhǎng)會(huì)線性增大. 又由2.3.4節(jié)，當(dāng)L=0時(shí)，Tesla閥的逆順流阻比M最大；當(dāng)L≠0時(shí)，逆順流阻比M會(huì)下降. 總結(jié)來講，瓣膜管道間的垂直距離L的增大會(huì)增大尺寸，減弱性能. 因此，L=0即是最優(yōu)的情況.

3.1.2 匯入角β

匯入角β對(duì)矩形P的長(zhǎng)的影響,反映在線段OH的長(zhǎng)度變化上. 由1.1節(jié)式(6)～(7)得

(19)

(20)

圖16 線段OH和OO′長(zhǎng)度隨著匯入角β的變化趨勢(shì)

3.1.3 分叉角α和彎道半徑R

此時(shí)彎道半徑R與線段OH的長(zhǎng)度成正比；分叉角α與線段OH的長(zhǎng)度成反比. 由于彎道半徑R對(duì)線段OH的影響大致呈線性，屬于可接受范圍內(nèi)，且根據(jù)圖14可看出看出R=8 mm時(shí)閥體可達(dá)到最優(yōu)性能，因此固定彎道半徑R為8 mm. 相對(duì)的，分叉角α對(duì)線段OH的影響較大，并且分叉角α對(duì)逆順流阻比M的影響又相對(duì)復(fù)雜，因此，分叉角α需要進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化.

圖17 線段OH長(zhǎng)度隨著分叉角α的變化趨勢(shì)

圖18 線段OH長(zhǎng)度隨著彎道半徑R的變化趨勢(shì)

通過以上分析，最終固定了以下參量：瓣膜管道間的垂直距離L=0，匯入角β=π，彎道半徑R=8 mm；并在固定了以上3個(gè)參量的條件下，進(jìn)行綜合優(yōu)化.

3.2 綜合優(yōu)化

L0為亞克力板可用部分的長(zhǎng)度(已減去入水口和出水口所需的攻絲螺紋長(zhǎng)度). 若給定L0，通過

可得到最大可容納的瓣膜管道個(gè)數(shù). 注：[]為向下取整.

利用薄板樣條插值方法和前文實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)點(diǎn)，可以得到逆順流阻比M關(guān)于分叉角α和瓣膜管道個(gè)數(shù)N的函數(shù)M(α,N)，結(jié)果如圖19～20所示.

圖19 薄板樣條插值方法得到M(α,N)的三視圖視角

圖20 薄板樣條插值方法得到M(α,N)的上視圖視角

將分叉角α從22.5°～60°均分為2 000份，取逆順流阻比M最大的組即為最優(yōu)解. 通過改變閥體可用的最大長(zhǎng)度L0，給出了最大逆順流阻比M隨L0的變化曲線并進(jìn)行了擬合，如圖21所示.

圖21 最大逆順流阻比M隨L0的變化曲線

圖21表明，當(dāng)L0從30 mm(再短會(huì)導(dǎo)致做不出來任何瓣膜管道結(jié)構(gòu)而失去意義)變化至1 030 mm時(shí)，最大逆順流阻比M隨L0呈指數(shù)增長(zhǎng)，采用f(x)=axb的指數(shù)函數(shù)進(jìn)行擬合(95%置信區(qū)間)：

(21)

擬合均方根誤差為0.011 57，綜上，當(dāng)給定了閥體可用的最大長(zhǎng)度L0時(shí)，可以通過式 (21)推算該閥可能達(dá)到的最大逆順流阻比M；當(dāng)對(duì)閥體性能 (即逆順流阻比M)有特定需求時(shí)(如： 必須達(dá)到2及以上)，也可以通過式 (21)反推閥體至少要達(dá)到的最短長(zhǎng)度.

4 結(jié)束語

本文建立了Tesla閥的幾何結(jié)構(gòu)參量化的數(shù)學(xué)模型，分析了Tesla閥阻流特性的形成機(jī)理. 利用數(shù)控加工技術(shù)，提出了Tesla閥模型制作方法，并制作了多種結(jié)構(gòu)參量的Tesla閥模型. 設(shè)計(jì)了Tesla閥的性能測(cè)試的試驗(yàn)方法. 在給定的閥體整體結(jié)構(gòu)尺寸約束條件下，開展了對(duì)Tesla閥的幾何結(jié)構(gòu)參量的優(yōu)化設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了Tesla閥性能最優(yōu). 本文的研究工作和仍有待進(jìn)一步深化和完善. 對(duì)于Tesla閥的瓣膜管道的幾何構(gòu)形、結(jié)構(gòu)參量(如變管道直徑)、拼接方式等仍有很多可以創(chuàng)新和優(yōu)化的內(nèi)容，有待于進(jìn)一步深入研究.