趙士元
(蘇州市吳中區(qū)教學(xué)與教育科學(xué)研究室 215100)
我們經(jīng)常會聽到老師們的抱怨:明明講課時(shí)學(xué)生都聽懂了,可學(xué)生做練習(xí)時(shí)常常會出錯(cuò).從平時(shí)的課堂觀察和學(xué)情分析來看,這種現(xiàn)象的確并非個(gè)案,或許每一個(gè)數(shù)學(xué)教師都曾有過這樣的經(jīng)歷,也為此想了很多法子,有些教師經(jīng)過思考形成了行之有效的解決之道,而有些教師卻一直在尋求答案的路上苦苦探索.作者認(rèn)為產(chǎn)生這種現(xiàn)象是正常的,從客觀來看,數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的并非教會學(xué)生一個(gè)公式、一條公理、一套解法,而是以數(shù)學(xué)教材為載體,通過數(shù)學(xué)課堂讓學(xué)生學(xué)會一種思考——會用數(shù)學(xué)的方法思考問題,因此數(shù)學(xué)教學(xué)不能滿足于學(xué)生聽懂;從主觀來看,許多教師出于“功利主義”的目的,課堂上往往采用大容量、高密度的教學(xué)方式,剝奪了學(xué)生正常思考的權(quán)利,特別是在數(shù)學(xué)問題的審題方面,許多教師舍不得花足夠的時(shí)間讓學(xué)生仔細(xì)讀題、用心反思,造成了學(xué)生的學(xué)習(xí)機(jī)械死板.如何有效克服這種現(xiàn)象?本文試圖以讀題為話題,談?wù)勅绾翁嵘龑W(xué)生數(shù)學(xué)審題能力,如何通過反思,強(qiáng)化學(xué)生的嚴(yán)密思維,從而提升數(shù)學(xué)教學(xué)效率.
我們知道:求函數(shù)的切線方程有兩種基本類型:一是已知切點(diǎn)(x0,f(x0)),這時(shí)可先求出切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)(即切線斜率),再直接代入切線方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),這時(shí)求出的切線通常只有一條;另一種類型是沒有明確切點(diǎn)是哪一點(diǎn),這時(shí)通常設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),再寫出切線方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),再利用切線方程的某些已知特征代入方程求出待定參數(shù)x0.
當(dāng)學(xué)生明確切線求法時(shí),再讓學(xué)生思考“存在兩條”的含義其實(shí)就是“求出滿足條件的切線有兩條”,也就是說求出的x0有兩個(gè),這隱隱約約讓我們感覺到這很可能與方程的根的個(gè)數(shù)問題有關(guān),這是一個(gè)什么樣的方程呢?閱讀題目的題干,這兩條切線的斜率均是a,因此這個(gè)方程實(shí)際上就是f′(x)=a.是否如此?試試再說.
設(shè)這兩個(gè)切點(diǎn)分別為
其中x1,x2是方程ax2-ax+1=0的兩個(gè)不同正根且x1 因?yàn)閤1,x2是方程ax2-ax+1=0的兩根, 所以ax2-ax+1=a(x-x1)(x-x2), 于是當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí), 由此可知,a>4即是我們要求的取值范圍. 感悟之一學(xué)生的數(shù)學(xué)審題能力是在不斷的訓(xùn)練中逐漸提升的,而在審題過程中吃透并領(lǐng)會題中信息,在逐字逐句的品味中培養(yǎng)學(xué)生的題感,不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)讀題能力. 在上述案例的第(2)小題時(shí)中,有部分學(xué)生對條件“{x|f(x)≤0}?(0,1)”不能很好地理解而無法找到合適的思路,甚至無從下手.事實(shí)上,這一條件用數(shù)學(xué)語言理解即為“不等式f(x)≤0的解集是區(qū)間(0,1)的子集”,于是可以將問題分解兩個(gè)小問題加以研究: (i)求不等式f(x)≤0的解集A;(ii)若A?(0,1),求a的取值范圍. 反思之二當(dāng)證明出函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減且f(1)=1時(shí),我們可以斷定對任意的x∈(0,1)均有f(x)>0,此時(shí)很有可能直接舍去“a<0”這一情況,事實(shí)上“對任意的x∈(0,1)均有f(x)>0”仍有兩種基本情況,如果f(x)≤0的解集是空集,那么結(jié)論仍然成立,此時(shí)應(yīng)保留“a<0”的情況(如圖1),若f(x)≤0的解集不是空集,則就應(yīng)舍去“a<0”的情況(如圖2),為說明f(x)≤0的解集不是空集,我們采取選擇特殊值的方法(也就是求出f(x)≤0的某一個(gè)解),這一點(diǎn)往往會被我們的解題者所忽視,而取特殊值也是數(shù)學(xué)證明的基本策略. 圖1 圖2 綜上所述:所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為a>0. 反思之四從上述反思可以看到{x|f(x)≤0}?(0,1)的含義是“不等式f(x)≤0的解集是(0,1)的子集”,用直觀語言來理解就是滿足不等式f(x)≤0的任意一個(gè)x都在區(qū)間(0,1)內(nèi),這句話是否可以用“不在區(qū)間(0,1)內(nèi)的任意一個(gè)x都不滿足f(x)≤0”這句話來理解呢?事實(shí)上,這兩者是等價(jià)的,又考慮到函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),于是問題可等價(jià)轉(zhuǎn)化為“對任意x∈[1,+∞),都有f(x)>0”,于是我們又產(chǎn)生了如下想法: {x|f(x)≤0}?(0,1)等價(jià)于“對任意x∈[1,+∞),都有f(x)>0”, 若x=1,則f(x)=1成立; 綜上所述:所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為a>0. 感悟之二一個(gè)數(shù)學(xué)問題往往是若干個(gè)小問題的綜合,在教學(xué)過程中教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會“解剖麻雀”,將一個(gè)綜合問題分解為若干個(gè)小問題,而后逐個(gè)擊破.這是解決數(shù)學(xué)綜合問題常常采用的方式策略,也是數(shù)學(xué)題意理解的基本組成部份. 感悟之三許多同學(xué)把精力集中在不等式f(x)≤0求解上,如果我們的思路只局限于這一點(diǎn),那么解題就顯得力不從心了.此時(shí),應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生逐步理解題干條件中所隱含的豐富信息,引導(dǎo)學(xué)生多讀題、多思考,不必?fù)?dān)心思考和讀題的時(shí)間影響解決問題的進(jìn)程.當(dāng)學(xué)生習(xí)慣了這種思考和讀題后,他的數(shù)學(xué)理解能力和思考能力會得到不斷提升,有利于增強(qiáng)他們的問題意識、提高其解決問題的能力,這就是“磨刀不誤砍柴功”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的體現(xiàn). 從閱讀量來看,該題共有230多字的閱讀量,比較適合高二學(xué)生,但是題中數(shù)字較多,而且題中“當(dāng)且僅當(dāng)”的數(shù)學(xué)語言讓部份學(xué)生“犯難”,學(xué)生要么對“當(dāng)且僅當(dāng)”這樣的數(shù)學(xué)語言理解不清,不會用生活化的語言來理解,要么無法將此問題與數(shù)列的最大最小項(xiàng)問題聯(lián)系起來,因此出現(xiàn)了許多本不應(yīng)該出現(xiàn)的錯(cuò)誤. 感悟之四本案例初看是一個(gè)函數(shù)最值問題,但由于函數(shù)定義域是正整數(shù)集,于是把函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列最值問題,通過轉(zhuǎn)換“視角”在“山重水復(fù)疑無路”的情況下達(dá)到“柳暗花明又一村”的效果.換個(gè)角度思考問題實(shí)際上也是數(shù)學(xué)問題解決過程中常常被采用的策略. 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,常常會出現(xiàn)一些問題,這些問題在教師看來似乎很易理解,但由于受生活經(jīng)歷和理解能力所限,學(xué)生往往一時(shí)無法理解透徹,因此在學(xué)習(xí)過程中往往會“死記硬背”,這時(shí)教師會誤以為學(xué)生已聽懂甚至學(xué)會,但學(xué)生在實(shí)際演練時(shí)又會出現(xiàn)這樣那樣的錯(cuò)誤,其根本原因是教師在教學(xué)過程中不善于用通俗易懂的方法幫助學(xué)生理解從而導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)只停留在淺層次的學(xué)習(xí)狀態(tài)中. 案例三“不等式恒成立”、“不等式能成立”、“不等式無解”問題常常是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的一個(gè)難點(diǎn),大多數(shù)學(xué)生只是生硬地記住了“不等式f(x) 有這樣一個(gè)問題:已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3. (1)若對?x∈[-1,4]不等式f(x) (2)若存在x∈[-1,4]使不等式f(x) (3)若不等式f(x) 教學(xué)時(shí)這一內(nèi)容時(shí)是這樣處理的:首先,當(dāng)自變量x在一定范圍內(nèi)取值時(shí),對應(yīng)的函數(shù)值y在某一范圍變化,它的不同取值形成一個(gè)集合(這個(gè)集合實(shí)際上就是函數(shù)的值域),而“f(x) 通過這一通俗化的比較,學(xué)生很容易理解“不等式f(x)a恒成立等價(jià)于f(x)的最小值大于a”.而“不等式能成立”的問題實(shí)際上可以轉(zhuǎn)化為“不等式有解”問題. 為了讓學(xué)生能較好地理解第(2)問,又提出了一個(gè)生活化的問題:在我們班里存在一個(gè)學(xué)生,年紀(jì)比老師小,是否有必要逐個(gè)驗(yàn)證?如果不需要這么做,我們又該怎么處理?經(jīng)過短暫的思考,很多學(xué)生都能完美地回答出“只要我們班級里最小的學(xué)生比老師小就可以了”,隨后立即追問:“存在x∈[-1,4]使不等式f(x) 第(3)個(gè)問題實(shí)際上可以轉(zhuǎn)化為類似于(1)的情況,為了讓學(xué)生理解題意,讀懂題目,老師用通俗語言替代數(shù)學(xué)語言幫助學(xué)生理解,提出了如下一系列問題: 你能用通俗的語言來表達(dá)“不等式f(x) 這句話的意思是否可以等價(jià)地轉(zhuǎn)換成“不等式恒成立問題”? 事實(shí)上,“不等式f(x)
2 讓學(xué)生在細(xì)微處提升讀題能力
3 讓學(xué)生在思辯中提升讀題能力
4 讓學(xué)生在比較中提升讀題能力