章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

1 平行四邊形在平面幾何課程中的地位

三角形雖然是最簡單的幾何圖形，但空間的大部分基本性質(zhì)都已在三角形的幾何性質(zhì)中充分體現(xiàn).那么，為什么還要安排四邊形的有關(guān)內(nèi)容？它有什么特性？它在研究空間性質(zhì)時(shí)扮演了怎樣的角色？發(fā)揮著哪些不可替代的作用？……這些問題是我們在設(shè)計(jì)和實(shí)施四邊形課程時(shí)需要認(rèn)真思考的問題.

在平面幾何中，我們一般先對平面圖形進(jìn)行定性研究，然后再作定量分析.這樣的過程反映了人類認(rèn)識事物的普遍進(jìn)程，是一個(gè)由此及彼、由表及里、從現(xiàn)象到本質(zhì)進(jìn)而把握事物規(guī)律的自然過程.在定性研究幾何中的“等”與“不等”時(shí)，我們可以完全不用平行性.而在定量研究中，平行性具有舉足輕重的地位，它的作用是大大簡化了定量幾何的基礎(chǔ)理論和基本公式.實(shí)際上，過直線外一點(diǎn)是否能作唯一一條平行線(等價(jià)于三角形的內(nèi)角和是否等于180°)，就是歐氏幾何與非歐幾何的分水嶺，前者的基本公式要比后者的基本公式簡單得多，像矩形面積公式、勾股定理、相似三角形定理等，在非歐幾何中或者根本沒有，或者要復(fù)雜得多(1)項(xiàng)武義. 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)講義叢書·基礎(chǔ)幾何學(xué). 北京：人民教育出版社，2004，p.41～42.而在平行性的研究中，平行四邊形是一個(gè)主要工具，就像等腰三角形在研究對稱性時(shí)所扮演的角色一樣.因此，四邊形的課程內(nèi)容應(yīng)聚焦平行四邊形，以便引導(dǎo)教師把精力放在平行四邊形的教學(xué)上，使學(xué)生牢固掌握平行四邊形的性質(zhì)，從而為定量幾何的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).其實(shí)，平行四邊形也是中心對稱圖形，矩形、菱形、正方形等特殊平行四邊形既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形，所以它們也是幾何變換的重要工具.另外，平行四邊形法則是現(xiàn)實(shí)事物所遵循的規(guī)律，平行四邊形的性質(zhì)在現(xiàn)實(shí)中也有大量應(yīng)用.總之，無論從數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)、核心與關(guān)鍵看，還是從平面幾何課程的削支強(qiáng)干、精益求精考慮，在四邊形課程中，我們都應(yīng)該把注意力放在平行四邊形上.

2 四邊形的教材建構(gòu)

2.1 關(guān)于平面幾何內(nèi)容的安排

從數(shù)學(xué)的整體性出發(fā)，初中平面幾何的內(nèi)容安排要在對幾何基本概念(立體圖形、平面圖形、點(diǎn)、直線、射線、線段、角等)形成直觀認(rèn)識的基礎(chǔ)上，按圖形的復(fù)雜程度，先安排兩條直線的關(guān)系，再安排三角形、四邊形、圓，以及兩個(gè)圖形的關(guān)系(相似形)，圖形的平移、軸對稱和旋轉(zhuǎn)等工具類內(nèi)容可以根據(jù)研究圖形性質(zhì)的需要和學(xué)生的知識儲備“見機(jī)行事”，而尺規(guī)作圖則應(yīng)在每一個(gè)圖形的研究中隨時(shí)隨地的提出要求.當(dāng)然，圖形簡單并不意味著好理解，例如直線似乎是簡單的，但這個(gè)“直”就很難嚴(yán)格定義，這樣的內(nèi)容往往擔(dān)負(fù)著“從無到有”的創(chuàng)生任務(wù)，所以處理時(shí)應(yīng)“點(diǎn)到為止”，待學(xué)生知識儲備充分后再螺旋上升.具體處理時(shí)采用“擴(kuò)大幾何公理體系以降低幾何入門難度”的做法，把“兩點(diǎn)確定一直線”、“兩點(diǎn)間線段最短”、“垂線的唯一性”、“點(diǎn)到直線的垂直線段最短”、“平行線的唯一性”、“同位角相等，兩直線平行”、 “平行線的同位角相等”、“三角形全等的三個(gè)判定”等作為公理，通過直觀感知、操作確認(rèn)的方式使學(xué)生認(rèn)可結(jié)論，在此基礎(chǔ)上作為證明其他命題的依據(jù)，這是我國平面幾何課程改革的成功經(jīng)驗(yàn).從有利于學(xué)生形成研究一個(gè)幾何圖形的完整經(jīng)驗(yàn)考慮，三角形的內(nèi)容整體上應(yīng)按從一般到特殊、從定性到定量的架構(gòu)安排.在相對完整地學(xué)習(xí)三角形后，再安排四邊形的有關(guān)概念(包括四邊形的定義，頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、外角、對角線等要素)和基本性質(zhì)(內(nèi)角和公式、外角和公式等)，并將四邊形的概念和基本性質(zhì)推廣到多邊形.然后，類比三角形的研究路徑，以概念的內(nèi)在邏輯關(guān)系為依據(jù)，以“屬+種差”的定義方式，通過“要素或要素關(guān)系的特殊化”，順序安排平行四邊形、矩形、菱形、正方形，并以“背景——概念——性質(zhì)——判定——應(yīng)用”的基本套路展開具體內(nèi)容.

2.2 關(guān)于平行四邊形的教材內(nèi)容

在構(gòu)建平行四邊形教材體系、處理具體內(nèi)容時(shí)，要把握如下要點(diǎn)：

(1)加強(qiáng)公理化思想的滲透

將平行四邊形作為一個(gè)完整獨(dú)立的內(nèi)容，以公理化思想為指導(dǎo)，從概念抽象開始，層層遞進(jìn)地展開相關(guān)內(nèi)容，使學(xué)生體會如何邏輯嚴(yán)密地構(gòu)建一類平面圖形的知識體系.這里要特別注意，平行四邊形的教材應(yīng)避免不必要的“聯(lián)系實(shí)際”，主要從數(shù)學(xué)內(nèi)部創(chuàng)設(shè)情境并提出數(shù)學(xué)問題，形成自然而然、環(huán)環(huán)緊扣、邏輯嚴(yán)密的“平行四邊形——矩形——菱形——正方形”整體架構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷用數(shù)學(xué)的眼光觀察圖形要素與關(guān)系，用數(shù)學(xué)思維思考圖形的性質(zhì)與判定，用數(shù)學(xué)的語言嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇磉_(dá)的完整過程，讓學(xué)生干凈利索地學(xué)數(shù)學(xué)，獲得嚴(yán)密的推理論證訓(xùn)練，使直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng)得到發(fā)展.

(2)加強(qiáng)一般觀念的引導(dǎo)

要給學(xué)生以“如何抽象圖形的概念”、“圖形的性質(zhì)、判定指什么”、“如何通過歸納、類比發(fā)現(xiàn)和提出命題”、“如何利用推理的基本形式和規(guī)則探索和表述論證過程”等等的明確指導(dǎo)，創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫常龑?dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究，發(fā)現(xiàn)平行四邊形、矩形、菱形和正方形的性質(zhì)與判定，并給出嚴(yán)密的證明.

(3)加強(qiáng)推理論證的訓(xùn)練

平行四邊形的學(xué)習(xí)是培養(yǎng)推理論證能力的關(guān)鍵時(shí)機(jī).要明確作為“應(yīng)用三角形的知識(特別是等腰三角形、直角三角形性質(zhì))研究四邊形”的定位，不僅訓(xùn)練學(xué)生用綜合法證明涉及較多知識的幾何命題，從而提高推理論證能力，而且讓學(xué)生從分析圖形的要素和題設(shè)出發(fā)，經(jīng)過從特殊到一般、類比、歸納等探索性活動(dòng)發(fā)現(xiàn)結(jié)論、形成命題，通過邏輯推理給出證明，最終形成平行四邊形的知識體系.

(4)加大自主探究的力度

因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)在三角形中積累了較為豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，而平行四邊形的研究內(nèi)容、過程與方法與三角形有極大的可類比性，而且有相交線與平行線、三角形的知識儲備，以及平移、軸對稱、中心對稱等工具可用，所以應(yīng)把平行四邊形作為培養(yǎng)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)能力的載體，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)更大的自主學(xué)習(xí)空間，引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究，整體構(gòu)建平行四邊形的研究框架，在一般觀念的引領(lǐng)下，經(jīng)歷完整的“概念——性質(zhì)——判定——應(yīng)用”的過程，理解平行四邊形的概念內(nèi)涵、組成要素和相關(guān)要素等，再通過對內(nèi)涵、要素、相關(guān)要素等之間關(guān)系的探索，或通過建立相關(guān)概念的聯(lián)系而發(fā)現(xiàn)結(jié)論、提出猜想，最后通過邏輯推理證明結(jié)論、得出定理.同時(shí)，要通過適當(dāng)?shù)那榫?，引?dǎo)學(xué)生從一般到特殊，逐步提出值得研究的新對象、新問題，最終形成“四邊形——平行四邊形——矩形——菱形——正方形”的完整知識體系.

3 體現(xiàn)數(shù)學(xué)整體性的教學(xué)過程設(shè)計(jì)

下面以教學(xué)過程設(shè)計(jì)的形式具體呈現(xiàn)我們對四邊形內(nèi)容的教材設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)施的思考.

問題1前面比較系統(tǒng)地研究了三角形.你能回顧一下我們是如何展開研究的嗎？包括研究內(nèi)容、過程、方法，特別是發(fā)現(xiàn)和提出問題的方法.

師生活動(dòng)：先由學(xué)生思考，畫出三角形知識的邏輯結(jié)構(gòu)圖，再由教師幫助完善，形成圖1.要特別注意從“如何構(gòu)建幾何圖形的研究路徑”、“概念抽象的要點(diǎn)”、“圖形的性質(zhì)指什么”等進(jìn)行歸納總結(jié).

圖1

追問：類比三角形的研究，你認(rèn)為我們可以如何研究四邊形？

師生活動(dòng)：先讓學(xué)生獨(dú)立思考，再組織全班交流，得出研究的基本路徑：

抽象研究對象(給四邊形下定義)——研究性質(zhì)(研究四邊形的要素、相關(guān)要素之間的關(guān)系)——研究特例(要素有某些特殊關(guān)系或特殊取值的四邊形，以“定義——性質(zhì)——判定”的路徑展開).

設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生梳理研究思路，強(qiáng)化“定義——性質(zhì)——特例”的研究路徑，明確研究一個(gè)幾何圖形的基本套路，明確要研究的主要問題.

問題2類比三角形概念的抽象過程，你能抽象出四邊形的概念嗎？

追問1：抽象四邊形概念要完成哪些事情？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考后回答，要完成“定義——表示——分類”.學(xué)生模仿三角形定義給出四邊形的定義“由四條線段首尾相接組成的圖形叫做四邊形”后，讓學(xué)生根據(jù)這個(gè)“定義”畫出圖形.在學(xué)生畫圖的基礎(chǔ)上，利用學(xué)生做出的圖形(教師可以補(bǔ)充)，得出如圖2的三類圖形.

圖2

追問2：我們發(fā)現(xiàn)，僅僅模仿三角形的定義還不能得到嚴(yán)格的四邊形定義.你覺得應(yīng)再加上什么條件？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析上述圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，指出圖2(3)中有兩條線段相交，不是四邊形，所以應(yīng)加上“四條線段互不相交”的條件，并給出四邊形的邊、頂點(diǎn)等概念.

追問3：根據(jù)定義，我們發(fā)現(xiàn)四邊形有凹凸之分.你認(rèn)為該如何嚴(yán)格區(qū)分？

師生活動(dòng)：教師在引入對角線概念的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生分析兩類四邊形對角線的特征，發(fā)現(xiàn)凸四邊形的對角線一定相交(如圖3(1)，對角線AC，BD相交)，凹四邊形的對角線不相交(如圖3(2)，對角線AC，BD不相交)，然后教師指出：這里只研究凸四邊形.

圖3

設(shè)計(jì)意圖：先讓學(xué)生模仿三角形定義給出四邊形定義，通過作圖發(fā)現(xiàn)可以有多種情形，然后補(bǔ)充條件而得出嚴(yán)格的定義，可以讓學(xué)生領(lǐng)悟抽象數(shù)學(xué)概念的過程與方法，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

問題3有了四邊形的概念，接著要探索四邊形的性質(zhì).你認(rèn)為要探索哪些內(nèi)容？能得出哪些性質(zhì)？

師生活動(dòng)：先讓學(xué)生獨(dú)立思考，仿照三角形性質(zhì)的研究過程，通過探索四邊形的要素、相關(guān)要素之間的關(guān)系得出性質(zhì)，具體研究內(nèi)角和、外角和，邊與對角線的大小關(guān)系等.可以得到：

(1)四邊形的內(nèi)角和為360°，外角和為360°；

(2)四邊形的對角線之和大于周長的一半，小于周長.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生類比三角形性質(zhì)的研究，提出四邊形性質(zhì)所要研究的問題，并自己歸納、證明相關(guān)結(jié)論.這里的任務(wù)難度適當(dāng)，可由學(xué)生獨(dú)立完成，可以提升“四能”，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

問題4我們已經(jīng)研究了一般的四邊形，得出了相關(guān)性質(zhì).類比三角形的研究過程，接下來你想研究什么？如何研究？

師生活動(dòng)：由學(xué)生獨(dú)立思考后回答.學(xué)生可能會有兩種回答，一是研究兩個(gè)四邊形的關(guān)系，二是研究特殊的四邊形.教師可以指出，兩個(gè)四邊形的關(guān)系(全等、相似等)也是可以研究的，但有了三角形全等、相似的相關(guān)結(jié)論，這個(gè)問題的研究價(jià)值比特殊四邊形的研究價(jià)值小.對于特殊四邊形，可以提出如下問題：

追問：你認(rèn)為特殊的四邊形有哪幾類？如何定義？

師生活動(dòng)：先讓學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上交流，教師再引導(dǎo)討論，得出分類標(biāo)準(zhǔn)，即以四條邊的特殊位置關(guān)系、特殊大小關(guān)系或角的特殊取值為分類標(biāo)準(zhǔn).在充分討論的基礎(chǔ)上，教師可以說明，對于線段而言，位置關(guān)系中平行是最特殊的，大小關(guān)系中相等是最特殊的；角的取值中，四個(gè)角相等(都為90°)是最特殊的.所以，將“兩組對邊分別平行”作為平行四邊形的定義，而四條邊相等的四邊形、四個(gè)角都是直角的四邊形都是平行四邊形的特例.在研究的邏輯順序上應(yīng)先研究平行四邊形，再研究特殊的平行四邊形.

設(shè)計(jì)意圖：四邊形的特殊化可以有多個(gè)途徑，例如“邊相等”、“邊平行”、“邊垂直”，“角相等”、“角取特殊值90°”……特殊化以后可以再分析、再歸類，最后給出定義.這個(gè)過程主要涉及分類，而分類是認(rèn)識數(shù)學(xué)對象的重要環(huán)節(jié)，并且也是數(shù)學(xué)研究的一個(gè)關(guān)鍵特點(diǎn).正如陳省身先生在《從三角形到流形》中指出的：“考察某種數(shù)學(xué)對象的全部，并把它們加以分類，這是數(shù)學(xué)中的典型手法，這種手法在實(shí)驗(yàn)科學(xué)中是行不通的，因此它是理論科學(xué)和實(shí)驗(yàn)科學(xué)方法論上一個(gè)根本性的差別.”

四邊形的分類是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維的好素材，也與學(xué)生的認(rèn)知水平相適應(yīng).讓學(xué)生經(jīng)歷分類過程，并形成研究平行四邊形的邏輯結(jié)構(gòu)，即以“兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”為定義，以此為出發(fā)點(diǎn)，展開對四邊形的邊、角、對角線關(guān)系的研究，得出性質(zhì)定理和判定定理，這個(gè)過程可以有效培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，使數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)得到發(fā)展.

問題5我們已經(jīng)得到了平行四邊形概念，根據(jù)研究等腰三角形、直角三角形的經(jīng)驗(yàn)，接下來你想研究什么？

在學(xué)生回答“研究平行四邊形的性質(zhì)和判定”后，教師追問：

“平行四邊形的性質(zhì)”要研究的問題是什么？你能得出哪些猜想？你能證明這些猜想嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行小組交流，明確“要研究的問題”是：

如圖4，對于四邊形ABCD，以AB∥CD，AD∥CB為條件，研究它的元素及相關(guān)元素的位置關(guān)系、大小關(guān)系，即研究四邊形的四條邊、四個(gè)內(nèi)角、對角線等的位置關(guān)系、大小關(guān)系.

圖4

在明確問題之后，由學(xué)生進(jìn)行自主探索，完成后再組織全班交流，得出性質(zhì)定理及其證明.

設(shè)計(jì)意圖：對于平行四邊形性質(zhì)的探索與證明，以往的做法是“分別探索”，即按“猜想n——證得性質(zhì)定理n——例題——練習(xí)”的過程，一堂課完成一個(gè)性質(zhì)定理的教學(xué).這樣的過程，看似把每一個(gè)定理都“砸得很實(shí)”，但缺乏探索一個(gè)圖形性質(zhì)的整體性，割裂了性質(zhì)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，使原來在內(nèi)涵、思想方法上具有一致性和連貫性的內(nèi)容被人為切割，導(dǎo)致數(shù)學(xué)知識的碎片化，不僅對理解圖形的性質(zhì)不利，而且破壞探索的節(jié)奏，大大降低學(xué)習(xí)效率.

這里要強(qiáng)調(diào)，在給出平行四邊形定義后，給出含有兩條對角線的圖4，先讓學(xué)生思考、明確探索平行四邊形的性質(zhì)到底要做什么，即知道要做的事情是“以‘四邊形的兩組對邊分別平行’為條件，推出四邊形的邊、角、對角線有哪些確定的關(guān)系”，然后再觀察圖形，就容易得出相關(guān)性質(zhì).在圖4中有四組全等三角形，即△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA，△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，利用它們可以一氣呵成地推得平行四邊形的性質(zhì).

另外，課堂觀察發(fā)現(xiàn)，有的老師在平行四邊形性質(zhì)的教學(xué)中，把“已知四邊形ABCD為平行四邊形，那么AB∥CD，AD∥CB”作為第一條性質(zhì)，這個(gè)做法不符合“從定義出發(fā)，推出性質(zhì)”的邏輯規(guī)則，容易給學(xué)生造成思維混亂.對于平行四邊形而言，如下特性：

(1)兩組對邊互相平行，

(2)兩組對邊分別相等，

(3)兩組對角分別相等，

(4)兩條對角線互相平分，

(5)一組對邊平行且相等

具有邏輯等價(jià)性，即從任意一個(gè)特性成立，可以通過邏輯推理得出其余特性都成立.我們將(1)作為定義，實(shí)際上就是規(guī)定了推導(dǎo)平行四邊形性質(zhì)的邏輯基礎(chǔ)是(1)，以(1)成立作為前提，去推導(dǎo)(2)～(5)成立.

順便說明，我們其實(shí)可以把“以(1)～(5)中任意一個(gè)為條件，推出其他四個(gè)成立”作為練習(xí).這樣的作業(yè)難度不大，但對學(xué)生把握知識的邏輯結(jié)構(gòu)、發(fā)展邏輯思維和推理論證能力等，都很有好處.

問題6根據(jù)研究等腰三角形、直角三角形的經(jīng)驗(yàn)，接下來我們可以研究什么？你想如何研究？

在學(xué)生回答“接下來探索平行四邊形的判定”后，教師追問：

追問1：“平行四邊形的判定”要研究的問題是什么？

在學(xué)生回答“要探究的是由怎樣的條件可以推出四邊形的兩組對邊分別平行”后，教師繼續(xù)追問：

追問2：從平行線的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)和判定之間的邏輯關(guān)系看，“性質(zhì)”和“判定”有怎樣的內(nèi)在聯(lián)系？你能猜想并證明平行四邊形的判定定理嗎？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，明確判定定理和性質(zhì)定理之間互為逆命題的關(guān)系，再由學(xué)生獨(dú)立完成判定定理的猜想和證明，得出平行四邊形的判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

設(shè)計(jì)意圖：在探索并證明性質(zhì)定理，通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)鞏固后，及時(shí)提出平行四邊形判定定理的探索和證明的任務(wù).在具體探索之前，先引導(dǎo)學(xué)生回顧已有經(jīng)驗(yàn)，明確判定定理要研究的問題以及“判定”與“性質(zhì)”的邏輯關(guān)系，可以使學(xué)生順利猜想判定定理.與性質(zhì)定理的探索一樣，判定定理的猜想與證明也要一氣呵成.探索過程中，學(xué)生可以有不同的路徑，證明方法也可以是多樣化的.

同樣的，要注意判定定理要研究的問題是：對于一個(gè)四邊形，具備怎樣的條件，就可以推出它的兩組對邊分別平行.“定義”既是“性質(zhì)”也是“判定”，但在對圖形的探索中，“定義”是前提，是探索“性質(zhì)”、“判定”的出發(fā)點(diǎn)，探索“判定”就是探索“兩組對邊分別平行”的等價(jià)條件.

問題7以上我們對平行四邊形進(jìn)行了完整的研究，請你帶著下面的問題進(jìn)行總結(jié)：

(1)通過學(xué)習(xí)，你獲得了哪些知識？

(2)我們是按怎樣的路徑展開研究的，你能按照這個(gè)路徑畫出本單元內(nèi)容的思維導(dǎo)圖嗎？

(3)在研究一個(gè)幾何圖形時(shí)，定義、性質(zhì)、判定是基本而重要的研究任務(wù).你能說說這三者的邏輯關(guān)系嗎？

(4)平行四邊形是特殊的四邊形，實(shí)際上是在四邊形定義的基礎(chǔ)上增加一個(gè)限制條件.你能說說增加限制條件的方法嗎？利用這一方法，你能在平行四邊形定義的基礎(chǔ)上增加適當(dāng)?shù)臈l件，給出一種特殊的平行四邊形定義嗎？

師生活動(dòng)：先讓學(xué)生獨(dú)立思考后完成小結(jié)，再進(jìn)行小組和全班交流.

設(shè)計(jì)意圖：(1)是引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)學(xué)到的知識；(2)與(1)相結(jié)合，通過平行四邊形的知識結(jié)構(gòu)圖，促使學(xué)生形成清晰的平行四邊形認(rèn)知結(jié)構(gòu)；(3)通過回顧平行四邊形的定義、性質(zhì)、判定所研究的問題，明確它們的邏輯關(guān)系，使學(xué)生得到數(shù)學(xué)思維方式的訓(xùn)練，明白探索的邏輯順序以及每一個(gè)環(huán)節(jié)的研究任務(wù)，培養(yǎng)學(xué)生有邏輯地思考的習(xí)慣；(4)通過“圖形的組成元素、元素間的關(guān)系的特殊化給出值得研究的新對象”，進(jìn)一步加強(qiáng)“屬+種差”的定義方式，使“四邊形——平行四邊形——矩形、菱形——正方形”的研究邏輯更清晰，同時(shí)也為后續(xù)研究奠定基礎(chǔ).

4 關(guān)于特殊的平行四邊形的教學(xué)處理

從四邊形到平行四邊形的教學(xué)設(shè)計(jì)中，我們強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)內(nèi)在的邏輯性，從知識的發(fā)生發(fā)展過程中，自然而然地提出需要研究的問題，強(qiáng)調(diào)“定義”、“性質(zhì)”、“判定”之間的邏輯關(guān)系，在明確它們各自要研究的問題的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生有序地展開探索.同時(shí)，我們還強(qiáng)調(diào)通過類比三角形、平行線等探索過程，從數(shù)學(xué)內(nèi)部構(gòu)建情境，從數(shù)學(xué)角度提出明確的問題，讓學(xué)生在問題的引領(lǐng)下展開自主探索、合作學(xué)習(xí).這樣做的目的就是要發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，使學(xué)生通過本單元的學(xué)習(xí)，得到理性思維的發(fā)展.在如此設(shè)計(jì)的教學(xué)中，學(xué)生學(xué)到的就不僅僅是概念、性質(zhì)定理、判定定理等形式化知識，從中得到的關(guān)于研究一個(gè)幾何對象的基本套路、思想方法，對如何抽象一個(gè)幾何對象、幾何圖形“性質(zhì)”或“判定”所研究的問題是什么、如何發(fā)現(xiàn)、如何證明等等的領(lǐng)悟，可以容易地遷移到矩形、菱形、正方形的探索中，并且也能在研究其他圖形中發(fā)揮作用.因此，我們主張，特殊的平行四邊形，應(yīng)該讓學(xué)生自學(xué).可以采取“綜合實(shí)踐活動(dòng)”、“課題研究”或“數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”的方式展開教學(xué).

因?yàn)樘剿鞑⒆C明矩形、菱形、正方形的性質(zhì)定理、判定定理的過程與平行四邊形相關(guān)定理的探索過程完全一致，而且可以利用等腰三角形、直角三角形以及軸對稱、中心對稱等工具，這就使探索的內(nèi)容很豐富，探索的方法也更多樣化，所以這是一個(gè)發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力的好素材，具體細(xì)節(jié)不再贅述.

在研究平行四邊形時(shí)，我們總是利用三角形的知識，這是非常自然的.實(shí)際上，平行四邊形就是兩個(gè)全等三角形的相等邊疊合在一起而成的.作為平行四邊形對三角形的應(yīng)用，三角形中位線定理的探索和證明是一個(gè)好素材.教學(xué)中可以提出用不同方法證明定理的要求，例如下列圖5表明了不同的證法：

圖5

其中，(1)利用E為AC中點(diǎn)，延長DE至F，使EF=DE，構(gòu)造平行四邊形ADCF；(2)過AB中點(diǎn)D作DF∥AC，交BC于F，證明F即為BC中點(diǎn)；(3)構(gòu)造平行四邊形ABCG，延長DE交CG于F，可證BCFD為平行四邊形；(4)利用平行四邊形為中心對稱圖形，過中心O作EF∥BC，可證E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn).

5 小結(jié)

從四邊形到平行四邊形再到矩形、菱形、正方形是一個(gè)大單元，對它們的研究，無論是研究的內(nèi)容和結(jié)構(gòu)、過程和方法，都有極大相似性，圖6是本單元的結(jié)構(gòu)圖.

圖6

在教材編寫和課堂教學(xué)中，我們要利用好這個(gè)特點(diǎn).對于一般四邊形，要注重發(fā)揮四邊形概念的教育價(jià)值.從三角形的定義到四邊形的定義，既有一致性，又有拓展性，讓學(xué)生在首尾相接的四條線段形成的不同圖形的分類中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)對象的定義方法，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)定義的嚴(yán)謹(jǐn)性.平行四邊形的定義、性質(zhì)與判定是重點(diǎn)，要在“將四邊形組成元素的位置關(guān)系、大小關(guān)系特殊化”這一一般觀念的指引下，通過對不同特殊化圖形的分類活動(dòng)得出平行四邊形的定義；要在“研究平行四邊形的性質(zhì)，就是以兩組對邊分別平行為前提，探索它的組成元素、相關(guān)元素之間的位置關(guān)系、大小關(guān)系”的引導(dǎo)下，猜想性質(zhì)、給出證明；要在“研究判定，就是探索‘兩組對邊分別平行’的等價(jià)條件”的指引下，利用“判定”與“性質(zhì)”的邏輯關(guān)系，通過探索性質(zhì)定理的逆命題是否成立而得出判定定理.研究矩形、菱形和正方形的基本套路和思想方法是一樣的，都可以從平行四邊形的研究中遷移過來，因此可以設(shè)計(jì)為數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的素材，完全讓學(xué)生自主探究.