周宇劍 唐耀平 袁娟

摘要：轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中非常重要的思想，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)適時滲透轉(zhuǎn)化思想。文章以“最短路徑問題”為例，讓學(xué)生經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再進一步轉(zhuǎn)化為已知的、可以解決的問題進行解決的過程。在培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題能力的同時，讓學(xué)生體驗轉(zhuǎn)化思想，引導(dǎo)學(xué)生認識到在生活中遇到困難時不要輕易退縮，盡量將其轉(zhuǎn)化為熟悉的、容易解決的問題。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)化思想；教學(xué)設(shè)計；問題解決

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》把基本思想作為“四基”之一，說明義務(wù)教育階段對學(xué)生進行數(shù)學(xué)思想方法的滲透是重要且必須的。匈牙利著名數(shù)學(xué)家路沙·彼得（Rozar Peter）在《無窮的玩藝》中寫道：數(shù)學(xué)往往不是對問題進行正面攻擊，而是不斷對它進行變形，直到把它轉(zhuǎn)化成能夠解決的問題。轉(zhuǎn)化思想在日常生活中經(jīng)常被用到，本文以在“最短路徑問題”的教學(xué)設(shè)計中應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想為例進行論述。

一、教材分析

“最短路徑問題”是人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊第十三章“軸對稱”第四節(jié)的內(nèi)容，本節(jié)課的主要內(nèi)容是利用軸對稱研究某些最短路徑問題，在此之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了軸對稱的概念和性質(zhì)，以及“兩點之間線段最短”“垂線段最短”等簡單的最短路徑問題。本節(jié)課的教學(xué)讓學(xué)生經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再進一步轉(zhuǎn)化為已知的、可以解決的問題進行解決，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

二、學(xué)情分析

八年級學(xué)生思維活躍，善于表現(xiàn)，喜歡交流。對新鮮事物好奇心強，學(xué)習(xí)興趣濃厚，具有較強的探究欲望。學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了軸對稱的概念及性質(zhì)，且了解“兩點之間線段最短”等簡單的最短路徑問題，有自主探究得出結(jié)論的能力。學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想方法的意識比較薄弱，大多依賴教師的點撥。

三、教學(xué)目標

（1）能將實際問題中的地點、河流抽象為數(shù)學(xué)中的點和線，使實際問題數(shù)學(xué)化；掌握利用軸對稱知識解決簡單的最短路徑問題的方法；能夠利用“兩點之間線段最短”驗證得到的最短距離。

（2）經(jīng)歷探索發(fā)現(xiàn)的過程，養(yǎng)成探究、歸納、分析的思維習(xí)慣；經(jīng)歷利用“兩點之間線段最短”驗證最短距離的過程，體會證明的必要性，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力并初步培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力；經(jīng)歷多次轉(zhuǎn)化后解決問題的思考方式，體驗轉(zhuǎn)化的思想方法。

（3）初步學(xué)會在具體情境中，從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決簡單的實際問題。增強應(yīng)用意識，提高實踐能力。

（4）通過創(chuàng)設(shè)情境，結(jié)合實際生活問題，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、操作、交流和反思，認識數(shù)學(xué)是解決實際問題和進行交流的重要工具，了解數(shù)學(xué)對促進社會進步和發(fā)展人類理性精神的積極作用；通過觀察、比較、總結(jié)、應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動，感受數(shù)學(xué)活動充滿探索性和創(chuàng)造性，體驗發(fā)現(xiàn)和轉(zhuǎn)化的快樂，提高應(yīng)用意識；在獨立思考的基礎(chǔ)上，通過小組合作，積極參與對數(shù)學(xué)問題的討論，敢于發(fā)表自己的觀點，尊重并理解他人的見解，在交流中獲益。

四、教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

有一位牧馬人在帶馬喝水的時候遇到了一個問題，我們一起來看看能不能幫幫他呢。如圖1，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊讓馬喝水，然后去往B地。牧馬人到河邊的什么地方讓馬喝水，可以使所走的路徑最短？

【設(shè)計意圖】從飲馬的生活情境出發(fā)，提出問題，觸發(fā)學(xué)生強烈的好奇心和求知欲，為后面學(xué)習(xí)新知識創(chuàng)造良好的開端。

2.合作交流，探索新知

（1）探究。

探究1：飲馬問題是一個生活中的實際問題，我們該怎么做？

探究2：如圖2，引導(dǎo)學(xué)生把河邊l近似看成一條直線，地點A，B看成兩個點，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：C為直線l上的一個動點，當點C在直線l的什么位置時，線段AC與CB的和最??？

【設(shè)計意圖】學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的就是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題，通過分析問題情境，引導(dǎo)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。既能幫助學(xué)生樹立模型意識，又能讓學(xué)生體會轉(zhuǎn)化思想。

探究3：如圖3，如果點A，B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在直線l上找到一個點，使這個點到點A與點B的距離之和最短？

解決方案：如圖4，根據(jù)“兩點之間線段最短”的基本事實，連接AB，交直線l于點C，點C即為所求的點。

【設(shè)計意圖】雖然已經(jīng)將實際問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題，但是學(xué)生仍然不容易根據(jù)已有經(jīng)驗找到直線上到直線同側(cè)兩固定點的距離和最小的點，引導(dǎo)學(xué)生先考慮確定直線上到直線異側(cè)的兩個點的距離和最小的點，再一次體驗轉(zhuǎn)化思想。

探究4：如圖5，點A，B分別是直線l同側(cè)的兩個點，如何在直線l上找到點C，使這個點C到點A與點B的距離和最短？

在解決了尋找直線上到直線異側(cè)固定點的距離和最小的點的問題后，思考將同側(cè)問題轉(zhuǎn)化為異側(cè)問題：能否在直線l的另一側(cè)找到一點B′，使在直線l上的任意一點C，都滿足CB=CB′，此時點C到點A和點B的距離和最短問題就可以轉(zhuǎn)化為點C到點A和點B′的距離和最短的問題。有沒有符合這種想法的點B′呢？有的話，要怎樣找到它？

思考并交流：如圖6，利用軸對稱的知識找到點B′，點B′即為點B關(guān)于直線l的對稱點，此時，取直線l上的任意一點C，都滿足CB=CB′。

此時，問題順利轉(zhuǎn)化為如何在直線l上找到一個點，使這個點到點A和點B′的距離和最短。

教師留給學(xué)生充足的思考時間，學(xué)生以小組為單位進行交流討論，并推選代表匯報、展示作法。

作法：如圖7，①作點B關(guān)于l的對稱點B′；②連接AB′，與直線l相交于點D，則點D即為所求。

探究5：點D是使AD + BD的和最小的點嗎？

分析：要證明點D即為所求，只需要在直線l上任找一個不與點D重合的點，根據(jù)“兩點之間線段最短”可以證明。

如圖8，在直線l上取不與點D重合的任意點C，可知AD+BD=AD+DB′=AB′

（2）課堂升華。

這節(jié)課我們解決了牧馬人飲馬的問題。首先，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；其次，將尋找直線上到直線同側(cè)的兩個點的距離和最小的點的問題，轉(zhuǎn)化為尋找直線上到直線異側(cè)的兩個點的距離和最小的點的問題；最后，由解決異側(cè)問題時獲得的啟示，解決同側(cè)問題。期間多次用到轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中一個非常重要的思想。我們在生活中遇到困難不要輕易退縮，要想一想能否轉(zhuǎn)化成我們熟悉的、容易解決的問題。

【設(shè)計意圖】在學(xué)生會解決直線異側(cè)兩點和的距離的問題后，引導(dǎo)學(xué)生將同側(cè)問題轉(zhuǎn)化為異側(cè)問題進行解決，進而解決課前引入的實際問題。同時引導(dǎo)學(xué)生在日常生活中也要注意運用轉(zhuǎn)化思想解決問題，讓學(xué)生體驗轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用的廣泛性，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣和實用性。

本教學(xué)設(shè)計從實際問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的建模過程，培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力。在分析過程中將問題轉(zhuǎn)化、分解，化繁為簡，讓學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)解決問題的方法和思路，有利于提高學(xué)生思維的靈活性和廣闊性。

在實際教學(xué)中，教師不僅要教會學(xué)生知識技能，更重要的是要教會學(xué)生思考，教給學(xué)生解決問題的思想和方法。轉(zhuǎn)化思想就像架在新知和舊知之間的一座橋梁，能夠幫助學(xué)生有效解決未知問題。教師要引導(dǎo)學(xué)生樹立轉(zhuǎn)化意識，讓學(xué)生在遇到數(shù)學(xué)問題甚至生活中的問題時，能夠想到對問題進行轉(zhuǎn)化，進而解決問題。

基金項目：2019年湖南省普通高校教學(xué)改革研究項目——專業(yè)認證背景下師范生培養(yǎng)模式構(gòu)建與實踐（湘教通[2019]291號No.854）；

2016年湖南省教改項目——地方應(yīng)用型本科院校卓越中學(xué)數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)的研究與實踐（湘教通[2016]400號No.719）；

2018年湖南科技學(xué)院應(yīng)用特色學(xué)科項目資助——數(shù)學(xué)、教育學(xué)（湘科院校發(fā)[2018]83號）。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.