摘 要：“數(shù)學(xué)化”包括“橫向數(shù)學(xué)化”和“縱向數(shù)學(xué)化”?！翱v向數(shù)學(xué)化”強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)世界中進(jìn)行符號生成、重塑和使用，能夠促使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從低階邁向高階，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用“縱向數(shù)學(xué)化”理論，可以促進(jìn)學(xué)生的本質(zhì)性學(xué)習(xí)、結(jié)構(gòu)性學(xué)習(xí)和反思性學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);縱向數(shù)學(xué)化;深度學(xué)習(xí);本質(zhì)性學(xué)習(xí);結(jié)構(gòu)性學(xué)習(xí);反思性學(xué)習(xí)

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：1008-3561（2020）19-0084-02

荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家費(fèi)賴登塔爾在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書中明確提出了“橫向數(shù)學(xué)化”和“縱向數(shù)學(xué)化”的理論。當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)，普遍重視“橫向數(shù)學(xué)化”，即注重引導(dǎo)學(xué)生從“生活”到“數(shù)學(xué)”的過渡。其實(shí)，“數(shù)學(xué)化”是有層次的，在數(shù)學(xué)的世界中符號的生成、重塑和使用，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不斷從低階邁向高階，這就是縱向數(shù)學(xué)化的基本過程。在筆者看來，“縱向數(shù)學(xué)化”更有助于促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。

一、 縱向數(shù)學(xué)化，促進(jìn)學(xué)生的本質(zhì)性學(xué)習(xí)

從根本上說，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是不斷追尋數(shù)學(xué)本質(zhì)的過程?？v向數(shù)學(xué)化能促進(jìn)學(xué)生的本質(zhì)性學(xué)習(xí)，本質(zhì)性學(xué)習(xí)是深度學(xué)習(xí)的一種，是相對于淺層學(xué)習(xí)而言的，是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不斷舍棄非本質(zhì)的東西，而保留本質(zhì)性的東西。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生以縱向數(shù)學(xué)化為思考方向，讓學(xué)生追根究底，悟得真知，悟得數(shù)學(xué)思想。

例如，教學(xué)蘇教版五年級下冊“3的倍數(shù)的特征”，筆者在教學(xué)中運(yùn)用“縱向數(shù)學(xué)化”理論，這樣引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。首先，筆者通過一個(gè)有趣的游戲，幫助學(xué)生建立“3的倍數(shù)的特征”的感性認(rèn)知。游戲設(shè)計(jì)：讓學(xué)生想好或者用筆記錄下一個(gè)“3的倍數(shù)的數(shù)”，或不是“3的倍數(shù)的數(shù)”，然后在計(jì)數(shù)器上一個(gè)個(gè)撥算珠，表示出“3的倍數(shù)的數(shù)”或者不是“3的倍數(shù)的數(shù)”。在學(xué)生撥完算珠之后，筆者僅通過聽算珠聲音，就能判斷這個(gè)數(shù)是否是3的倍數(shù)。這樣的游戲，一方面激發(fā)了學(xué)生的好奇心，另一方面更激發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。學(xué)生思考：老師所聽的算珠的聲音與這個(gè)數(shù)之間有著怎樣的關(guān)系呢？在深度思考中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，老師聽算珠的聲音，其實(shí)就是在判斷有幾個(gè)算珠，也就是將這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和加起來。

縱向數(shù)學(xué)化，還要引導(dǎo)學(xué)生從感性認(rèn)知上升到理性認(rèn)知。為此，筆者借助多媒體，將學(xué)生所舉的“3的倍數(shù)的數(shù)”，用數(shù)形結(jié)合的方式展示出來。比如，一位學(xué)生舉出了“234”，為此，筆者將“234”用小正方形圖表示出來。正方形圖分成三個(gè)部分：2個(gè)百、3個(gè)十以及4個(gè)一。通過對圖形的直觀探討，學(xué)生認(rèn)識到：判斷一個(gè)數(shù)是否是3的倍數(shù)，就是看這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和。這樣基于縱向數(shù)學(xué)化的溯本求源的教學(xué)，是一種直抵?jǐn)?shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)，因而促進(jìn)了學(xué)生的深度理解。

二、 縱向數(shù)學(xué)化，促進(jìn)學(xué)生的結(jié)構(gòu)性學(xué)習(xí)

縱向數(shù)學(xué)化是建立在學(xué)生比較、分析、抽象、概括等數(shù)學(xué)化活動(dòng)的基礎(chǔ)之上的。有效的縱向數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)，不僅要求學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，更要求學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)，明晰數(shù)學(xué)知識的各個(gè)節(jié)點(diǎn)如生長點(diǎn)、生發(fā)點(diǎn)、鏈接點(diǎn)，等等。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識，還要讓學(xué)生有縱向的穿透能力和多元的勾連能力。

比如，教學(xué)蘇教版五年級上冊的“梯形的面積”，通常教法是，教師引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出梯形的面積公式之后，就引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行梯形面積公式的應(yīng)用。教師的教學(xué)目標(biāo)緊緊定位于引導(dǎo)學(xué)生掌握梯形的面積公式，而忽視引導(dǎo)學(xué)生將梯形面積公式與平行四邊形面積公式、三角形面積公式進(jìn)行勾連、比較，導(dǎo)致了學(xué)生對多邊形面積公式理解不全面。“縱向數(shù)學(xué)化”要求引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較性學(xué)習(xí)、結(jié)構(gòu)性學(xué)習(xí)、整體性學(xué)習(xí)。基于“縱向數(shù)學(xué)化”的理論視角，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生理解梯形的面積公式，更要引導(dǎo)學(xué)生將其他面積公式（包括平行四邊形的面積公式、三角形的面積公式）進(jìn)行比較，從而在不同面積公式表征形式的背后，探尋更為一般、更為普適的視角。這樣的一種觀點(diǎn)，筆者稱之為“大視角”或者“高觀點(diǎn)”。借助多媒體課件，筆者向?qū)W生動(dòng)態(tài)展示梯形演變成三角形、梯形演變成平行四邊形的過程。通過多媒體的動(dòng)態(tài)演示，學(xué)生直觀地看到：當(dāng)梯形的上底或下底逐漸變小，最后演變成一個(gè)點(diǎn)時(shí)，梯形就演變?yōu)槿切?當(dāng)兩個(gè)同樣的梯形顛倒拼接在一起，梯形就演變?yōu)槠叫兴倪呅?。這樣，學(xué)生就能感悟到，原來平行四邊形、三角形以及梯形的面積并不是孤立的，而是相互關(guān)聯(lián)、相互統(tǒng)一的。學(xué)生就能用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)來審視、看待梯形的面積公式，從而在梯形的面積公式、三角形的面積公式以及平行四邊形的面積公式之間形成某種關(guān)聯(lián)。當(dāng)三角形的面積公式、平行四邊形的面積公式都被納入到梯形的面積公式之下，梯形的面積公式就更具一般性、普適性。通過“縱向數(shù)學(xué)化”，學(xué)生就會感悟到圖形面積之間的相互轉(zhuǎn)化，感受到圖形面積的關(guān)聯(lián)性。

縱向數(shù)學(xué)化就是要求教師在教會學(xué)生數(shù)學(xué)知識的同時(shí)，要追求知識背后的思想，要追求思想背后的更高層次的數(shù)學(xué)觀念。高觀點(diǎn)、大思想的建立，能讓學(xué)生洞悉數(shù)學(xué)知識之間的結(jié)構(gòu)性關(guān)聯(lián)。通過縱向數(shù)學(xué)化，學(xué)生感受、體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識的嚴(yán)密性、邏輯性，從學(xué)習(xí)平行四邊形的面積、三角形的面積到學(xué)習(xí)梯形的面積，學(xué)生的推導(dǎo)方法能發(fā)生有效的遷移，比如“倍拼法”“剪拼法”等，學(xué)生能感受到貫穿其中的數(shù)學(xué)思想的內(nèi)在統(tǒng)一。

三、縱向數(shù)學(xué)化，促進(jìn)學(xué)生的反思性學(xué)習(xí)

反思性學(xué)習(xí)，說到底就是要求學(xué)生善于“回頭看”。很多時(shí)候，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之所以膚淺，之所以停留在表層，關(guān)鍵在于學(xué)生不善于反思。所謂“反思”，又稱“后思”，是指“學(xué)生在學(xué)習(xí)之后對學(xué)習(xí)歷程、結(jié)果的一種再思考”。作為教師，在教學(xué)中不僅要善于引導(dǎo)學(xué)生探索，還要善于引導(dǎo)學(xué)生反芻、反思、反省、反問。通過反思，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更深刻、更嚴(yán)謹(jǐn)。

比如在教學(xué)蘇教版五年級下冊“異分母分?jǐn)?shù)加、減法”時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷縱向數(shù)學(xué)化，即通過不同的方法如“畫圖法”“化小數(shù)法”“通分法”等將異分母分?jǐn)?shù)化成同分母分?jǐn)?shù)。在學(xué)生建構(gòu)了一般性的“通分法”將異分母分?jǐn)?shù)化成同分母分?jǐn)?shù)之后，筆者引導(dǎo)學(xué)生反思，促進(jìn)學(xué)生的反思性學(xué)習(xí)。追問一：為什么要將異分母分?jǐn)?shù)也就是不同分母的分?jǐn)?shù)化成同分母分?jǐn)?shù)？追問二：這一方法和整數(shù)加減法中的什么知識、小數(shù)加減法中的什么知識是一致的？這樣的追問，還能讓學(xué)生主動(dòng)追溯已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識，比如整數(shù)加減法法則、小數(shù)加減法法則。不僅如此，這樣的追問能引發(fā)學(xué)生的深度思考：整數(shù)加減法法則、小數(shù)加減法法則、異分母分?jǐn)?shù)加減法的法則之間有什么共同的規(guī)律？通過小組交流、研討，學(xué)生能夠達(dá)成共識，即“只有計(jì)數(shù)單位相同才能直接相加減”。相比較于“異分母分?jǐn)?shù)加減法”的法則，這一反思性的結(jié)論顯然更為抽象，更具普適性、一般性，更能強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，更能統(tǒng)馭學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)的整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法等相關(guān)知識。學(xué)生認(rèn)識到，加減法無論是整數(shù)加減法、小數(shù)加減法還是分?jǐn)?shù)加減法法則，貫穿其中的乃是“計(jì)數(shù)單位”，乃是“計(jì)數(shù)單位相同”。有了這樣的核心性、主導(dǎo)性的認(rèn)知，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自然顯得更有深度。

總之，要實(shí)現(xiàn)“縱向數(shù)學(xué)化”，關(guān)鍵是教師要善于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行本質(zhì)性學(xué)習(xí)、結(jié)構(gòu)性學(xué)習(xí)和反思性學(xué)習(xí)。沒有“縱向數(shù)學(xué)化”過程，學(xué)生就不能領(lǐng)略數(shù)學(xué)知識精髓，就無法形成對數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)性把握。作為教師，要為學(xué)生創(chuàng)造“縱向數(shù)學(xué)化”的課堂，組織學(xué)生經(jīng)歷“縱向數(shù)學(xué)化”的思考?xì)v程。

參考文獻(xiàn)：

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Vertical Mathematization：

Promoting Students' Deep Learning

Xu Xuhong

（Rucheng Experimental Primary School， Rucheng Town， Rugao City， Jiangsu Province， Rugao 226500， China）

Abstract： "Mathematization" includes "horizontal mathematization" and "vertical mathematization". "Vertical mathematicization" emphasizes the generation， reconstruction and use of symbols in the mathematical world， which can promote students' mathematics learning from low level to high level， and promote students' mathematics in-depth learning. Teachers can promote students' essential learning， structural learning and reflective learning by applying the theory of "longitudinal mathematicization" in mathematics teaching.

Key words： primary school mathematics; longitudinal mathematization; deep learning; essential learning; structural learning; reflective learning

作者簡介：許旭紅（1979-），女，江蘇南通人，中小學(xué)高級教師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。