羅建宇

(江蘇省張家港市沙洲中學 215600)

在“互聯(lián)網(wǎng)+”時代，有效應用技術以解決教與學的實際問題，推動學生對數(shù)學本質(zhì)的認識和數(shù)學思維的提升，已成為當下數(shù)學教育工作者面臨的新課題．GeoGebra(簡稱GGB)作為一款“專為教與學的動態(tài)數(shù)學軟件”，能實現(xiàn)幾何作圖、代數(shù)運算和數(shù)據(jù)處理等的跨平臺聯(lián)動，能深入學科內(nèi)部而幫助學習者洞悉數(shù)學本質(zhì)，能構建“抽象的數(shù)”與“可見的形”間的聯(lián)系通道而提升思維層次，更能突破數(shù)學“難以意會、無法言傳”的障礙而轉(zhuǎn)變學習方式.于是,讓GGB走進課堂，實現(xiàn)GGB與數(shù)學教與學的深度融合，已成為諸多一線教師的共同選擇，“懂得GGB，她就給你獨到眼光，讓你洞悉數(shù)學世界”[1]．

GGB中有著多樣的工具和豐富的指令，與之相對應的是，構造數(shù)學對象時有工具構造和指令輸入兩種基本方式．前者是所有動態(tài)幾何軟件的通用方法，具有面向?qū)ο蟮膬?yōu)勢，操作方式直觀易懂；后者恰是GGB的一個顯著特色，只要在指令輸入框中輸入相應指令，便可實現(xiàn)數(shù)學對象的構造．在教學實踐中，我們發(fā)現(xiàn)GGB中更有創(chuàng)建自定義工具的功能，當我們將需要重復構造的對象自動“記憶”成工具后，便可以如同復制粘貼一樣反復使用，可以說自定義工具讓GGB如虎添翼，帶來的是更加靈動的數(shù)學和便捷的學習．本文以GeoGebra Classic 5.0.553.0-d版本(中文界面)為例，談談如何創(chuàng)建自定義工具以及如何應用自定義工具推動深度學習，進而發(fā)展學生數(shù)學學力．

1 自定義工具的創(chuàng)建舉例

1.1 阿波羅尼斯圓的構造

到兩定點A,B的距離之比為定值t(t>0且t≠1)的點P的軌跡為圓.這個結論是阿波羅尼斯(Apollonius,約公元前260-前190)發(fā)現(xiàn)的，所以稱為阿波羅尼斯圓(簡稱阿氏圓)．

如圖1，阿氏圓以MN為直徑，因此構造的關鍵是找到點M,N，其中點M在線段AB上(稱為A,B的內(nèi)分點)，點N在線段AB的延長線上(稱為A,B的外分點)．

圖1

(1)新建窗口，構造滑動條t(范圍0～5)，構造任意兩點A，B；輸入指令“位似(B,t/(t+1),A)”“位似(B,t/(t-1),A)”，得到阿氏圓的直徑端點M,N．

說明“位似”指令的語法結構為“位似(<幾何對象>,<位似比>,<位似中心> )”，這樣以點A為中心、以t/(t+1)為位似比，將點B縮放得到點B，相較幾何畫板而言，GGB的構造要簡捷許多[2]．

圖2

說明相較幾何畫板而言，GGB中創(chuàng)建自定義工具更加智能，當我們選定“輸出對象”時，軟件會自動提示構造對象的父對象(即先決條件)為“輸入對象”(通常默認即可，也可在下拉菜單中重新選擇或更改順序)．

1.2 橢圓光學性質(zhì)的擬合

圖3

如圖3，光線PQ經(jīng)過橢圓一個焦點A，經(jīng)橢圓內(nèi)壁位置Q反射后得到的反射光線必經(jīng)過另一焦點B，這就是橢圓的光學性質(zhì)．橢圓的光學性質(zhì)在生產(chǎn)與科技方面有著廣泛應用，如電影放映機的聚光燈泡以及光能的換位聚焦等就是利用橢圓的這一性質(zhì)．

(4)新建窗口，構造任意三點A,B,C，輸入指令“橢圓(A,B,C)”得到橢圓c；構造橢圓c內(nèi)一點P和橢圓c上一點Q．

(5)輸入指令“切線(Q,c)”，得到橢圓c在點Q處的切線f；輸入指令“反射(P,f)”，得到P關于f的反射點P′；輸入指令“射線(P′,Q)”，得到射線g；輸入指令“交點(c,g,2)”，得到射線g與橢圓c的第2個交點R．

說明(5)中的四步操作可以用一句指令“交點(c,射線(對稱(P,切線(Q,c)),Q),2)”來替代，在減少中間對象的同時提高構造效率，體現(xiàn)指令輸入法快捷靈動的特性．

圖4

說明在自定義工具時需要特別注意“輸入對象”的順序，“輸入對象”的順序直接決定了自定義工具的語法法則.如本例語句“反射位置點(c,P,Q)”中，P為起始點，Q為反射點，得到的點D為反射位置點．

2 自定義工具的應用

從上述兩個案例可以發(fā)現(xiàn)，GGB中創(chuàng)建自定義工具還是比較方便的，我們可以將一系列操作整體打包定義為一個工具(指令)，一旦定義成功，便可以在菜單工具欄中調(diào)用，也可作為指令在指令區(qū)輸入.(3)和(6)中涉及的只是自定義工具的簡單應用，如果加上“迭代”“序列”指令， 帶給我們的將不僅是令人震驚的視覺沖擊，更有豁然開朗后的數(shù)學理解．

2.1 構建有趣的數(shù)學情境

橢圓的光學性質(zhì)對學生而言不難理解，然而當光線無數(shù)次反射后呢？結果卻有著異樣的精彩：當入射光線經(jīng)過橢圓的一個焦點時，反射光線經(jīng)過另一焦點的同時向長軸方向“聚合”(圖5(1)).而當入射光線不過焦點時，反射光線構成的輪廓(或者說包絡)為圓錐曲線，其中點P位于A,B之外(在橢圓內(nèi))時，輪廓為橢圓(圖5(2))；點P位于A,B之間時，輪廓為雙曲線(圖5(3))．而“發(fā)現(xiàn)”這樣的結論只需要增加一行指令：

圖5

(7)構造整數(shù)滑動條n(范圍1～100)，輸入指令“迭代列表(反射位置點(c,P,Q),P,Q,{P,Q},n)”，得到列表l1；輸入指令“序列(向量(元素(列表1,i), 元素(列表1,i+1)),i,1,n,1)”，得到列表l2．

數(shù)學的學習離不開情境的作用，數(shù)學概念的理解、數(shù)學命題的掌握、數(shù)學技巧的形成、數(shù)學思想的應用、數(shù)學問題的解決都要基于數(shù)學情境的創(chuàng)設、運行、反思來完成．應用自定義工具可以創(chuàng)設有趣的數(shù)學情境，從簡單到復雜、由已知探未知，復雜多變的圖形背后蘊涵著深刻的數(shù)學規(guī)律，正如“以境啟知，由知怡情”．數(shù)學情境是產(chǎn)生數(shù)學學習的條件，只有學生積極主動地參與進來，課堂氛圍才能活躍、教學效果才能凸顯．

2.2 實現(xiàn)有勁的深度學習

圖6

2.3 推動有用的應用探索

我們知道，玫瑰線的極坐標方程為ρ=asinkθ，如果說輸入“曲線((a+sin(kθ);θ),θ,0,2π)”可以揭開玫瑰線神秘面紗的話,那么將玫瑰線定義為工具1，輸入“序列(工具1(t,k),t,0,5,0.2)”，則可以從整體上探究玫瑰線背后的數(shù)學故事．事實上，系數(shù)a決定玫瑰線的線徑，參數(shù)k則決定花瓣數(shù)，當k是奇數(shù)時玫瑰線有k個花瓣(圖7)，當k是偶數(shù)時玫瑰線則有2k個花瓣(圖8)．以此為基礎，可以將玫瑰線應用于生活中，設計成窗簾、地毯圖案來裝扮我們的生活，正如數(shù)學源于生活又應用于生活．

圖7

圖8

GGB走進課堂，構建了交互式、多樣化的學習環(huán)境，也讓數(shù)學的推理演繹過程可視化；而創(chuàng)設、應用自定義工具，呈現(xiàn)不一樣的數(shù)學的同時，也讓學生對數(shù)學有用、有趣有了直接的感知，從而保證學生可以“看他們以往只能‘想象’的數(shù)學，‘做’他們以往不能做的數(shù)學”．當然，發(fā)揮教育技術在數(shù)學教學中的優(yōu)勢，需要更好地理解數(shù)學教學中的技術，不斷地挖掘和開發(fā)課程資源，用“火熱的思考”融化“冰冷的美麗”，唯其如此才能推動學生的數(shù)學思維往更高層次發(fā)展．