程黃和

（汕頭職業(yè)技術(shù)學(xué)院 自然科學(xué)系，廣東 汕頭 515078）

用Bernstein基函數(shù)定義的Bézier曲線曲面［1-2］是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)（CAGD）中一個(gè)經(jīng)典的造型工具，它具有許多優(yōu)良的性質(zhì)，在實(shí)際的工程中也得到了廣泛應(yīng)用.然而，Bézier曲線曲面也存在不足，如給定控制頂點(diǎn)后，Bézier曲線曲面的形狀是唯一的，如果要調(diào)整曲線曲面的形狀，就必須修改控制頂點(diǎn)，而且Bézier曲線只具有插值作為端點(diǎn)的控制頂點(diǎn)，對(duì)其他控制頂點(diǎn)不具有插值的特性，但插值曲線也是CAGD的主要研究對(duì)象.為了克服上述不足，學(xué)者們研究諸多帶形狀參數(shù)的Bézier曲線曲面［3-9］，通過(guò)引入形狀參數(shù)，使新的Bézier曲線曲面具有更加靈活的形狀可調(diào)性.但現(xiàn)有帶形狀參數(shù)的n 次Bézier 曲線曲面，多是由一組n+1 次多項(xiàng)式基函數(shù)來(lái)定義的，也就是說(shuō)擴(kuò)展了的n 次Bézier 曲線，雖然引入了可調(diào)整曲線形狀的參數(shù)，但提高了基函數(shù)的次數(shù)，且所定義的帶形狀參數(shù)的n次Bézier曲線曲面只具有類似Bézier曲線曲面逼近控制頂點(diǎn)的性質(zhì)，而不可插值控制頂點(diǎn).

本文給出了二次Bézier曲線的一種同次擴(kuò)展，在不改變Bézier曲線基函數(shù)次數(shù)的情況下，引入一個(gè)形狀參數(shù)，使得曲線有更多的自由度，更加的靈活調(diào)整曲線形狀，特別地，當(dāng)形狀參數(shù)λ=-1 時(shí)，所生成的曲線具有插值所有控制頂點(diǎn)的特性，能更好地滿足實(shí)際應(yīng)用中不同的需求.

1 二次λ-Bernstein 基函數(shù)及其性質(zhì)

首先給出帶形狀參數(shù)的二次λ-Bernstein 基函數(shù)，再討論其性質(zhì).

定義1：對(duì)?t ∈[0,1],0 ≤λ ≤1,稱關(guān)于t的多項(xiàng)式

為帶形狀參數(shù)λ 的二次λ-Bernstein 基函數(shù).

二次λ-Bernstein 基函數(shù)（1）具有下列性質(zhì)

性質(zhì)1 當(dāng)λ ∈[0,1),二次λ-Bernstein 基函數(shù)b0,2(λ,t),b1,2(λ,t),b2,2(λ,t)是線性無(wú)關(guān)性的.

性質(zhì)3 非負(fù)性.即對(duì)?t ∈[0,1],0 ≤λ ≤1,有bi,2(λ,t)≥0(i=0,1,2);特別地當(dāng)λ=0 時(shí)

此時(shí)二次λ-Bernstein 基函數(shù)為二次Berstein基函數(shù).

當(dāng)λ=1時(shí)

當(dāng)λ=-1時(shí)

性質(zhì)5 對(duì)稱性.b0,2(λ,t)=b2,2(λ,1-t)，b1,2(λ,t)=b1,2(λ,1-t).

2 帶形狀參數(shù)的二次Bézier曲線

本節(jié)給出帶形狀參數(shù)的二次Bézier曲線的定義及其性質(zhì).

定義2 給定控制頂點(diǎn)Pi∈Rd(d=2,3;i=0,1,...2n)和節(jié)點(diǎn)u0＜u1＜…＜un，對(duì)?u ∈[ui-1,ui],

i=1,2,…n,定義多項(xiàng)式曲線段

則曲線C (λi,u)(i=1,2,…n)是定義在[u1,un]上的分段多項(xiàng)式曲線，是二次Bézier曲線的推廣.通過(guò)改變形狀參數(shù)λi(i=1,2,…n)可以改變曲線的形狀.

性質(zhì)6 式（6）所定義的曲線段首末端點(diǎn)及導(dǎo)矢

即該曲線段插值首末端點(diǎn)，但僅當(dāng)λi=0(i=1,2,…n)時(shí)才與控制多邊形的首邊和末邊相切.

性質(zhì)7 由λ-Bernstein 基函數(shù)的性質(zhì)3 知，當(dāng)λi=-1(i=1,2,…n)時(shí)，曲線段Ci(λi,t)不僅過(guò)首末端點(diǎn)P2(i-1),P2i，且過(guò)控制點(diǎn)P2i-1.此時(shí)曲線C (λi,u)(i=1,2,…n)由若干插值曲線段組成.

由二次λ-Bernstein 基函數(shù)的性質(zhì)，容易得到式（6）所定義的曲線還具有對(duì)稱性、凸包性和幾何不變性.

3 曲線的應(yīng)用

圖3-1給出了形狀參數(shù)λ 取不同值得二次λ-B 基的圖像.從圖3-1可以看出當(dāng)λ(0 ≤λ ≤1)值較小時(shí)，3個(gè)二次λ-B 基圖像的切線斜率變化較大，因此當(dāng)λ(0 ≤λ ≤1)值較小時(shí)，本文所定義的帶形狀參數(shù)的二次Bézier曲線更靠近控制多邊形.

圖3-2給出了具有相同控制頂點(diǎn)，但形狀參數(shù)λ 取不同值的帶形狀參數(shù)的二次Bézier曲線.圖3-2中虛線為控制多邊形，實(shí)線部分依次為λ=2,1,0.5,0,-0.5,-1,2 時(shí)帶形狀參數(shù)的二次Bézier 曲線.可見(jiàn)，當(dāng)0 ≤λ ≤1 時(shí)，曲線位于控制多邊形內(nèi)，且λ 越小，曲線越靠近控制多邊形；當(dāng)λ =-1 時(shí)，曲線為過(guò)3各控制頂點(diǎn)的插值多項(xiàng)式曲線，λ =1 時(shí)，曲線為連接首末端點(diǎn)的線段，且這些性質(zhì)具有一般性.

圖3-3和圖3-4給出了λ =0.5,0.3,0,-1時(shí)的星形花瓣、六角形花瓣的應(yīng)用實(shí)例.

本文所定義的帶形狀參數(shù)λ 的二次Bézier 曲線，當(dāng)0 ≤λ ≤1 時(shí)，所生成的曲線位于二次Bézier曲線與連接控制頂點(diǎn)首末端點(diǎn)的線段之間，隨著形狀參數(shù)λ 的改變，可以調(diào)整曲線的形狀，當(dāng)λ=-1時(shí)，所生成的曲線為插值控制頂點(diǎn)的二次多項(xiàng)式曲線.后續(xù)將進(jìn)一步討論用（2）式定義一般的帶形狀參數(shù)的n次Bézier曲線，并討論其性質(zhì).

圖3-1

圖3-2

圖3-3 λ=0.5,0.3,-1

圖3-4 λ=0.5,0.3,0,-1