王 壯

（南京郵電大學(xué)，江蘇 南京 210000）

0 引言

隨著無線數(shù)據(jù)流量和干擾的爆炸性增長，電磁環(huán)境變得越來越復(fù)雜[1]。在這樣的電磁環(huán)境中，由于多徑傳播和非理想信道特性，很容易引起符號間干擾（InterSymbol Interference，ISI），嚴重惡化接收信號的質(zhì)量[2]。這種情況下，即使沒有任何訓(xùn)練信號，盲均衡也被廣泛應(yīng)用于消除ISI 和提高通信質(zhì)量。在傳統(tǒng)的盲均衡方法中，信道噪聲通常被假定為高斯噪聲。然而，這種假設(shè)在復(fù)雜的電磁環(huán)境中是不現(xiàn)實的[3]。由于自然或人為信號源的影響，信道噪聲通常伴隨著脈沖特性，如突然爆發(fā)和尖峰脈沖[4]。因此，采用加性高斯白噪聲（Additive White Gaussian Noise，AWGN）作為信道噪聲模型是不合適的。在非高斯噪聲環(huán)境下，常規(guī)的盲均衡方法會使性能嚴重下降，且魯棒快速盲均衡仍然是一個挑戰(zhàn)。

為了處理非高斯噪聲，文獻[5]提出了一種廣義恒模算法，其中分數(shù)階低階統(tǒng)計量用于抑制非高斯噪聲。文獻[6]采用自適應(yīng)加權(quán)系數(shù)的方法減少非高斯噪聲。文獻[7]提出了一種抑制非高斯噪聲的魯棒自適應(yīng)加權(quán)多模數(shù)算法。文獻[8]提出了一種變步長的改進盲均衡方法。雖然上述盲均衡方法可以抑制非高斯噪聲，但它們的性能尤其是收斂速度仍然需要進一步改進。最近，為了消除非高斯噪聲的影響，出現(xiàn)了一種被稱為有界非線性函數(shù)（Bounded Nonlinear Function，BNF）的新概念。與其他去噪方法相比，BNF 可以有效消除非高斯噪聲而無需使用先驗知識[9]，但它在通信中的應(yīng)用仍然受到限制。本文嘗試將其應(yīng)用擴展到盲均衡，以便在抑制非高斯噪聲方面發(fā)揮優(yōu)勢。同時，考慮到傳統(tǒng)的盲均衡中的迭代方法在收斂速度上存在弊端，因此采用擬牛頓法加快收斂速度，取得了良好效果。

基于BNF 和擬牛頓法，本文提出了一種在非高斯噪聲下魯棒且快速的盲均衡算法。首先，利用基于BNF 的代價函數(shù)有效消除非高斯噪聲的影響。其次，采用擬牛頓法提高收斂速度和精度。理論分析表明，所提算法具有魯棒的收斂性能。仿真結(jié)果也表明，該算法在非高斯噪聲環(huán)境下具有優(yōu)異的性能。

1 系統(tǒng)模型和前提條件

考慮一個典型的頻率平坦衰落信道，假定接收信號時間同步，然后在時刻n上的基帶接收信號為：

其中y(n)是接收信號，也是盲均衡器的輸入信號。h(k)表示具有L階的信道脈沖響應(yīng)，x(n)表示發(fā)送的數(shù)據(jù)序列。η(n)=Re[η(n)]+jIm[η(n)]是加性復(fù)合非高斯噪聲，通常由α穩(wěn)定分布[10]建模。由于α穩(wěn)定分布不具有概率密度函數(shù)的封閉形式[4]，所以它的特征函數(shù)通常表示為：

其中γ∈(0,+∞)是對稱參數(shù)，β∈[-1,1]是位置參數(shù)，α∈(-∞,+∞)表示特征指數(shù)，決定了密度函數(shù)的沖動性水平。α∈(0,2]表示確定密度函數(shù)的脈沖水平的特征指數(shù)。當(dāng)α＜2 時，在這種噪聲環(huán)境下會有許多尖銳的脈沖，此時盲均衡的輸出可以表示為：

其中ω=[w(0),w(1),…,w(m-1)]表示盲均衡的抽頭系數(shù)，階數(shù)為m，z1(n)表示盲均衡的輸出信號，y(n)=[y(n),y(n-1),…,y(n-m+1)]T表示輸入向量。

盲均衡的目的是消除接收信號y(n)中的ISI 和噪聲影響，并進一步恢復(fù)發(fā)送序列x(n)。然而，在非高斯噪聲環(huán)境中，當(dāng)α＜2 時，這種分布將不存在二階及高階統(tǒng)計量。因此，傳統(tǒng)的基于二次統(tǒng)計量或均方誤差（Mean Square Error，MSE）準(zhǔn)則的盲均衡方法在非高斯噪聲環(huán)境下嚴重退化，甚至無法實現(xiàn)均衡。

2 提出BNF-NL-CMA 算法

對于傳統(tǒng)的盲均衡器，CMA 可能是應(yīng)用最廣泛的方法，因為其簡單、穩(wěn)定[6]。CMA 的成本函數(shù)表述為：

其中p＞0 是一個整數(shù)，R=E[|x(n)|2p]/E[|x(n)|p]。此外，在梯度下降法的基礎(chǔ)上，可以將ωn的更新公式定義為：

其中μ是步長。由式（4）和式（5）易知，高階統(tǒng)計量(|z1(n)|p-R)2包含在代價函數(shù)中，這將放大非高斯噪聲中大離群點的影響，并進一步導(dǎo)致盲均衡中嚴重的失調(diào)。BNF 可以有效消除脈沖噪聲，特別是對于非高斯噪聲中的較大異常值。因此，基于BNF 設(shè)計了一種新穎的盲均衡算法，以減輕非高斯噪聲引起的退化。

首先，將BNF 定義為：

其中y0、ζ、λ1和λ2是可調(diào)參數(shù)。為了更清楚地說明BNFg(y)，舉例來說，當(dāng)y0＝2.2、ζ=16.3、λ1＝1.06、λ2＝0.025 6 時，BNF 的曲線如圖1 所示。圖1 中能夠明顯看出g(y)是一個有界函數(shù)。當(dāng)y?(-y0,y0)時，g(y)為非線性的；當(dāng)y∈(-y0,y0)時，g(y)=y是一個完美的線性函數(shù)。如圖1 所示，非高斯噪聲中的脈沖部分可以通過非線性有界來抑制，同時可以通過BNF 中的線性部分保持接收信號的原始信息，包括信道信息。因此，BNF 的使用對接收信號的信息損失很小。此外，所提出的成本函數(shù)定義為：

圖1 BNF 曲線

如式（5）所示，傳統(tǒng)的盲均衡器通常采用梯度下降法，收斂速度較慢，特別是與擬牛頓法相比。為了加快收斂速度，提出的盲均衡算法采用了擬牛頓法，然后將其權(quán)重向量的更新公式定義為：

其中z(n)被定義為z(n)=g(yH(n))ω。此外，H(n)為Hessian 矩陣，定義如下：

其中函數(shù)D定義為：

實踐中，可以通過聯(lián)合式（11）估算式（9）中的期望值，其中λ∈(0,1)：

其中，Φ(n)為：

同時，Φ(n)還滿足以下的性質(zhì)：

此外，可以得到它的逆矩陣Q(n)=Φ-1(n)的遞推方程：

因此，Hessian 矩陣H(n)的逆可以寫成：

最后，通過上述分析可以得到更新算法的公式：

其中μ是一個常數(shù)，表示步長。與傳統(tǒng)的盲均衡算法相比，該算法由于利用了BNF，可以有效消除非高斯噪聲的影響，采用擬牛頓法大大加快了收斂速度。

3 收斂性能分析

其中：eα(n)=g[yH(n)]Δωn表示先驗估計誤差；θ為常數(shù)，通常設(shè)置為0。本文使用穩(wěn)態(tài)均方誤差（MSE）測量均衡器性能，表示為。式（8）中，兩邊同時減去ωopt(n)，則有：

其中fe(z)=(|z(n)|p-R)|z(n)|p-2z*(n)。然后，式（18）兩邊同時乘gH(y(i))，得到：

其中，ep(n)=gH[y(n)]Δωn表示后驗估計誤差，其中運算符定義為：

此外，根據(jù)文獻[11]，式（8）的能量守恒關(guān)系式可以表示為：

在n→∞時，均衡器將運行在穩(wěn)態(tài)狀態(tài)E[||Δωn+1。文獻[11]中為了不失一般性，還假設(shè)輸入向量的能量與fe(z)獨立，然后將等式（19）代入式（21），簡化后得到：

為了簡單起見，用它在點x的二階泰勒級數(shù)展開式代替fe(z)，為：

此外，文獻[11]中還有一個假設(shè)E[x(n)]=0，在圓度信號條件下，復(fù)數(shù)信號x(n)滿足E[x2(n)]，聯(lián)立式（22）和式（23）可以得到：

對于等式（22）的右邊，在等式（12）的基礎(chǔ)上可以得到E[Φ(n)]的近似公式：

然后，將式（15）和式（25）代入式（20），得到：

其中m表示盲均衡器的長度。

最后，將式（23）、式（24）、式（26）代入到式（22），得到MSE 的公式：

其中，參數(shù)A定義為：

顯然，對于給定的盲均衡器，所提方法的穩(wěn)態(tài)MSE 主要由步長μ1和長度m控制。因此，提出的算法是收斂的。

4 仿真結(jié)果

通過蒙特卡洛仿真對非高斯噪聲環(huán)境下的盲均衡方法和其他對比方法進行評價。這些方法的性能由MSE 和符號間干擾（ISI）衡量。

ISI 定義為：

如圖2 所示，用符號錯誤率（Symbol Error Rate，SER）評估提出的方法的穩(wěn)態(tài)性能。仿真中，α設(shè)為1.35，GSNR由18 dB 設(shè)置為26 dB。圖2 中，與其他對比方法相比，所提方法性能更穩(wěn)健，且在每個GSNR值上都能達到最低的SER。因此，該方法比其他方法具有更好的穩(wěn)態(tài)性能，能夠有效抑制非高斯噪聲。

圖2 SER 性能比較

然后，用GSNR=26 dB 的ISI 對所提出的方法與其他對比方法的收斂性能進行比較。如圖3 所示，當(dāng)α=1.3 時，所提出的方法可以在不到4 500 次迭代的情況下收斂到穩(wěn)定狀態(tài)，而其他對比方法至少需要7 500 次迭代才能達到穩(wěn)定狀態(tài)。此外，當(dāng)這些方法在穩(wěn)定狀態(tài)下運行時，所提方法可以收斂到比其他對比方法更小的ISI。

圖3 ISI 性能比較

此外，為了評估所提方法在不同步長下的收斂性能，在圖4 中給出了不同步長的ISI 曲線。顯然，在較大的步長情況下，該方法具有較快的收斂速度。然而，它也有很大的殘余ISI，導(dǎo)致均衡性能較差。當(dāng)步長較小時，可以達到理想的均衡性能，但是此時的收斂速度會較慢。從圖4 可以看出，當(dāng)μ=0.001 15 時，它是均衡性能和收斂速度之間的一個折衷。

圖4 BNC-NL-CMA 在不同步長下的ISI

最后，評估這些方法的計算復(fù)雜度。同文獻[6]一樣，為了不失一般性，本文忽略了這些方法中加法和減法運算的復(fù)雜度。假設(shè)盲均衡器的階數(shù)是L0，然后對于每個迭代步驟可以得到FLOS-CMA的復(fù)雜度約為2L0，RAWMMA 的復(fù)雜度約為3L0，所提出方法的復(fù)雜度約為5L0。雖然所提方法在每次迭代中的復(fù)雜性高，但是需要更少的迭代時間達到穩(wěn)定狀態(tài)，因為它具有快速的收斂速度。例如，如圖3 所示，為了達到穩(wěn)定狀態(tài)，所提方法需要大約4 500 次迭代時間，而VS-FLOS-MCMA和RAWMMA 方法分別需要7 500 次和25 000 次迭代時間。經(jīng)過計算，BNF-NL-CMA、RAWMMA、VS-FLOS-MCMA 的穩(wěn)態(tài)總復(fù)雜度分別為22 500L0、22 500L0、50 000L0。因此，與對比方法相比，所提方法的總復(fù)度是可以接受的。

5 結(jié)語

本文在BNF 和擬牛頓方法的基礎(chǔ)上，提出了一種新的非高斯噪聲環(huán)境下的盲均衡方法。該方法中采用BNF 抑制非高斯噪聲，同時將擬牛頓法結(jié)合到盲均衡器中，提高了收斂速度，最后推導(dǎo)了MSE以證明所提算法具有魯棒的收斂性能。通過蒙特卡洛仿真可以發(fā)現(xiàn)，所提方法可以在非高斯噪聲的情況下達到快速而穩(wěn)定的性能。