陳云

摘要：學(xué)校教育的首要任務(wù)是培養(yǎng)和提高學(xué)生的能力，而數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生能力的提高關(guān)鍵就在于數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。問(wèn)題“建?！笔菙?shù)學(xué)思維的基本形式，這個(gè)從具體的、熟知的生活情境中提煉、抽象、概括出“模式”的過(guò)程，能讓學(xué)生的比較、分析、抽象、概括等數(shù)學(xué)思維得到有效訓(xùn)練?；顒?dòng)“內(nèi)化”是數(shù)學(xué)思維的重要內(nèi)涵，也就是要在教學(xué)中通過(guò)“同化”“順應(yīng)”使新知和已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生聯(lián)系，從而達(dá)到對(duì)新知的“內(nèi)化”。策略“化歸”是數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)要求，長(zhǎng)期堅(jiān)持，學(xué)生的觀察、猜想及邏輯論證等能力都會(huì)有所提高。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維;問(wèn)題建模;活動(dòng)內(nèi)化;策略化歸

數(shù)學(xué)思維能力僵化現(xiàn)象在現(xiàn)代學(xué)生中是大量存在的，這與學(xué)生平時(shí)所受的思維訓(xùn)練有很大關(guān)系。教師在教學(xué)過(guò)程中過(guò)分強(qiáng)調(diào)程式化，不斷給學(xué)生歸納各種題型，學(xué)生只會(huì)按部就班地解題，知其然不知其所以然，這樣的教學(xué)使學(xué)生的思維缺乏應(yīng)變能力，在面臨問(wèn)題時(shí)就不能夠從多種角度進(jìn)行思考，并迅速建立起自己的思路，真正做到舉一反三。如何更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力？本文從數(shù)學(xué)思維的形式、內(nèi)涵、本質(zhì)要求三個(gè)方面對(duì)此進(jìn)行闡述。

課程改革十余年，在探索前行中，仍有一些現(xiàn)象需要審視。在教學(xué)對(duì)象上，同一起點(diǎn)的學(xué)生由不同的教師教，思維存在較大的差異;在教學(xué)效果上，重負(fù)低效、輕負(fù)高效反差明顯;在教學(xué)追蹤上，高分低能、越學(xué)越差的現(xiàn)象仍有發(fā)生……如何有效凈化滋生這種現(xiàn)象的土壤，掘思維“源頭”，引思維“活水”呢？這就要求耕耘在一線的老師不僅要了解數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容本身的規(guī)律和含義，還要切實(shí)樹(shù)立整體和長(zhǎng)遠(yuǎn)的觀念，不斷地挖掘數(shù)學(xué)思維的素材，尋找培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的切入點(diǎn)。只有這樣才能達(dá)到《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中所要求的：“讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等方面得到進(jìn)步和發(fā)展?！?/p>

一、問(wèn)題“建?！笔菙?shù)學(xué)思維的基本形式

數(shù)學(xué)是“模式”的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)不能僅僅讓學(xué)生單純地去探究某個(gè)現(xiàn)實(shí)情境中特定的、單一的問(wèn)題，而要從“某個(gè)”“某種”過(guò)渡到“某些”“某類”，從而抽象為普遍的“模式”。其間從具體的、熟知的生活情境中提煉、抽象、概括出“模式”的過(guò)程就是問(wèn)題“建?！?，這是數(shù)學(xué)思維的基本形式。如在“分類”知識(shí)的教學(xué)中，針對(duì)低年級(jí)學(xué)生，教師會(huì)引入豐富的現(xiàn)實(shí)情境，從整理房間、整理書(shū)包入手：用學(xué)具代替物品分一分、擺一擺;把書(shū)包里的東西倒出來(lái)整理一下……這種鼓勵(lì)學(xué)生用“實(shí)踐”的方法去解決問(wèn)題的方式是可取的，但如果就此收兵，學(xué)生獲得的就僅僅是單一的、淺表的分類結(jié)果。倘若此時(shí)改變情境，讓學(xué)生給花園里的花、森林里的動(dòng)物、操場(chǎng)上的人分類……學(xué)生拿出學(xué)具，卻一臉茫然：“老師，我的學(xué)具不夠怎么辦？”“老師，我忘了帶動(dòng)物卡片，這可怎么擺啊？”“老師，操場(chǎng)上又是老師，又是小朋友，這可怎么分呢？”……緣何學(xué)生的思維停留在初級(jí)的實(shí)踐階段，還是需要依靠老師的提示去擺一擺、圈一圈、連一連才能得出結(jié)果呢？如果在整理房間、整理書(shū)包后，教師及時(shí)引導(dǎo)反思：“你是如何整理的？”“整理時(shí)只有一種分類方法嗎？”“你用什么方式把分類的結(jié)果直觀、簡(jiǎn)潔地表示出來(lái)？”……學(xué)生通過(guò)比較兩次整理活動(dòng)，從中發(fā)現(xiàn)、總結(jié)出分類的思維程序：“我知道：整理時(shí)首先要確定分類標(biāo)準(zhǔn)。”“原來(lái)同一些物品可以有不同的分類標(biāo)準(zhǔn)呀！”“確定了標(biāo)準(zhǔn)，還要?jiǎng)澐殖龊线m的類別呢?！薄拔蚁矚g用序號(hào)法表示分類結(jié)果，就是先給要分類的東西編上序號(hào)……”“我認(rèn)為集合圖更直觀……”這些表述說(shuō)明學(xué)生的思維超越了具體問(wèn)題，上升到抽象的高度，從而在這些“分類”的不同問(wèn)題中揭示出它們事實(shí)上具有相同或類似的數(shù)學(xué)結(jié)果。這時(shí)候，再出示后面的幾個(gè)問(wèn)題，學(xué)生就不需要擺學(xué)具、圈圖畫(huà)，而能理性地進(jìn)行分類了。在這個(gè)問(wèn)題“建?！钡倪^(guò)程中，學(xué)生不但獲得了分類的結(jié)果，更重要的是比較、分析、抽象、概括的數(shù)學(xué)思維得到了有效的訓(xùn)練。

二、活動(dòng)“內(nèi)化”是數(shù)學(xué)思維的重要內(nèi)涵

著名哲學(xué)家、兒童心理學(xué)家皮亞杰早就明確指出了“內(nèi)化”對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的特殊重要性。皮亞杰認(rèn)為，新的知識(shí)只有納入到原有知識(shí)結(jié)構(gòu)中才能被吸收，同化和順應(yīng)是使新知識(shí)和已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生聯(lián)系的過(guò)程，也就是內(nèi)化的過(guò)程。例如，在“面積的計(jì)算”教學(xué)中，教師給出幾個(gè)不同大小的長(zhǎng)方形，如何得到它們的面積？經(jīng)過(guò)上節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生會(huì)想到去進(jìn)行實(shí)際的操作（用1平方厘米的小正方形去鋪需要測(cè)量面積的幾何圖形），第一個(gè)圖形鋪一次，第二個(gè)圖形“依葫蘆畫(huà)瓢”再鋪一次，第三個(gè)圖形不厭其煩地又鋪一次……雖然這是一種方法，但思維層面始終停留于實(shí)際的操作，未能在頭腦中實(shí)現(xiàn)必要的重構(gòu)或認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重組。教師在教學(xué)中可否考慮：第一個(gè)圖形用小正方形“滿鋪”，這是學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu);第二個(gè)圖形換成稍大些的?！袄蠋?，我的小正方形不夠用了怎么辦？”“我的也是……”學(xué)生的認(rèn)知因新出現(xiàn)的狀況而產(chǎn)生沖突，如何變通？“想一想，有沒(méi)有什么辦法，用你手中僅有的小正方形，甚至不用這些正方形，也能測(cè)量出這個(gè)長(zhǎng)方形含有多少個(gè)1平方厘米？合作試一試，看哪個(gè)小組用的小正方形最少?！睂W(xué)生經(jīng)歷了反復(fù)討論及驗(yàn)證后展示了不同的方法：“我是沿著長(zhǎng)鋪一行，沿寬鋪一列，我們發(fā)現(xiàn)如果鋪滿是5行6列，也就是30個(gè)1平方厘米?！薄拔抑挥昧艘粋€(gè)正方形，就是拿這個(gè)正方形的邊分別去量長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬，也能知道鋪滿是5行6列，所以得出的結(jié)果是一樣的?！薄拔覀冃〗M根本就沒(méi)用小正方形，我們直接用直尺量出了長(zhǎng)是6厘米，說(shuō)明能鋪6個(gè)邊長(zhǎng)是1厘米的小正方形，再量寬……”此時(shí)學(xué)生已經(jīng)由“全鋪”過(guò)渡到了“巧鋪”“意鋪”，從多個(gè)“巧鋪”到單個(gè)“意鋪”，還在此基礎(chǔ)上通過(guò)直尺測(cè)量實(shí)現(xiàn)了由“面”向“邊”的過(guò)渡。像這樣，學(xué)生把外界所提供的信息整合到自己原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)內(nèi)的過(guò)程就是“同化”。接下來(lái)，不再鋪了，老師隨意報(bào)出一組長(zhǎng)、寬，請(qǐng)學(xué)生閉上眼睛想象出這個(gè)圖形，并說(shuō)說(shuō)它的面積是多少，為什么。這時(shí)信息環(huán)境再次發(fā)生變化，學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)無(wú)法同化新環(huán)境提供的信息，這就進(jìn)入了認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行重組與改造的“順應(yīng)”過(guò)程。當(dāng)學(xué)生通過(guò)想象就能口答出長(zhǎng)方形的面積時(shí)，面積計(jì)算的算理、算法完全得到了“內(nèi)化”。這個(gè)從“全鋪”到“巧鋪”“意鋪”再到“想象”的過(guò)程，學(xué)生從實(shí)際操作逐步過(guò)渡到用思維去把握對(duì)象，不斷地“同化”“順應(yīng)”，從而達(dá)到新知的“內(nèi)化”，正是數(shù)學(xué)思維的內(nèi)涵呈現(xiàn)。

三、策略“化歸”是數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)要求

解決問(wèn)題的策略“化歸”，往往不是直擊問(wèn)題，而是換道、變形、轉(zhuǎn)化，化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化生為熟……例如，像23×38這樣兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式計(jì)算教學(xué)，“能口算嗎？選擇合適的方式把你口算的過(guò)程記錄下來(lái)?！睂W(xué)生利用老師提供的點(diǎn)子圖、表格等將23×38轉(zhuǎn)化為如下的幾道算式：20×30、20×8、3×30、3×8?！拔野?3×38變成了整十?dāng)?shù)乘整十?dāng)?shù)、一位數(shù)乘整十?dāng)?shù)、一位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算，這樣我就會(huì)做了?！薄澳悄懿荒馨涯愕倪@個(gè)計(jì)算過(guò)程用豎式表示出來(lái)？”學(xué)生列出了這樣的豎式：

“回憶一下23×8、23×30的豎式計(jì)算，再把這兩個(gè)豎式和23×38的豎式計(jì)算進(jìn)行比較，想一想你還可以怎樣讓豎式簡(jiǎn)便？”“原來(lái)把23×8、23×30這兩個(gè)豎式合在一起就行了。”“有了數(shù)位知識(shí)，用十位上的數(shù)去乘另一個(gè)乘數(shù)，積寫(xiě)在十位的下面就行了，個(gè)位的0都可以省略呢！”……這些方法都是“化歸”法的巧妙運(yùn)用，以此類推，后面的多位數(shù)乘多位數(shù)的筆算都可以化歸成原先已經(jīng)得到了解決并較為簡(jiǎn)單的“一位數(shù)乘一位數(shù)”的問(wèn)題。通過(guò)這樣的教學(xué)，長(zhǎng)期堅(jiān)持，潛移默化，學(xué)生的觀察、猜想、分析、歸納、概括及邏輯論證等數(shù)學(xué)思維都會(huì)“柳暗花明又一村”。

（責(zé)任編輯：奚春皓）