雍龍泉，黎延海 ，賈 偉

1.陜西理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 漢中 723000

2.陜西省工業(yè)自動(dòng)化重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 漢中 723001

1 引言

優(yōu)化問(wèn)題來(lái)源于人類對(duì)某種最優(yōu)結(jié)果的追求，傳統(tǒng)優(yōu)化方法主要包括解析法、迭代法等。自從法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西提出最速下降法之后，最優(yōu)化的理論與算法逐漸形成。隨著復(fù)雜、不可微、大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題的出現(xiàn)，優(yōu)化問(wèn)題的求解算法也從牛頓法、共軛梯度法、Powell法等發(fā)展到智能優(yōu)化算法。文獻(xiàn)[1]中給出了百余種智能優(yōu)化算法，并對(duì)這些算法進(jìn)行了歸類。大體分為如下幾類。

（1）仿植物生長(zhǎng)算法，包括人工植物優(yōu)化算法、人工藻類算法、樹(shù)根優(yōu)化算法、森林優(yōu)化算法、入侵雜草優(yōu)化算法、種子優(yōu)化算法、花朵授粉優(yōu)化算法等。

（2）群體智能優(yōu)化算法，包括蟻群算法、粒子群算法、人工蜂群算法、蛙跳算法、人工魚(yú)群算法、鯨魚(yú)優(yōu)化算法、細(xì)菌覓食算法、細(xì)菌趨藥性算法、狼群算法、猴群算法、貓群優(yōu)化算法、灰狼優(yōu)化算法、布谷鳥(niǎo)優(yōu)化算法、螢火蟲(chóng)算法、生物地理學(xué)優(yōu)化算法等。

（3）進(jìn)化算法，包括遺傳算法、進(jìn)化規(guī)劃、進(jìn)化策略、分布估計(jì)算法、差分進(jìn)化算法、DNA計(jì)算、Memetic算法、文化算法等。

（4）仿自然優(yōu)化算法，包括模擬退火算法、混沌優(yōu)化算法、隨機(jī)分形搜索算法、量子搜索算法、智能水滴優(yōu)化算法、水波優(yōu)化算法、人工雨滴算法、云搜索算法、氣象模型優(yōu)化算法、風(fēng)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化算法、宇宙大爆炸算法、引力搜索算法、極值動(dòng)力學(xué)優(yōu)化算法、閃電搜索算法、光線優(yōu)化算法、化學(xué)反應(yīng)優(yōu)化算法等。

（5）仿人智能優(yōu)化算法，包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、免疫算法、內(nèi)分泌算法、人工代謝算法、禁忌搜索算法、和聲搜索算法、思維進(jìn)化算法、社會(huì)進(jìn)化算法、人口遷移算法、頭腦風(fēng)暴優(yōu)化算法、教與學(xué)優(yōu)化算法等。

近十年涌現(xiàn)了眾多優(yōu)秀的智能優(yōu)化算法，然而一個(gè)算法在某些優(yōu)化問(wèn)題上的優(yōu)異表現(xiàn)并不能保證其在其他問(wèn)題上的有效性，即不存在一個(gè)算法能有效解決所有的優(yōu)化問(wèn)題，這便是著名的“無(wú)免費(fèi)午餐”定理（No Free Lunch，NFL）。于是學(xué)者們不斷嘗試開(kāi)發(fā)新的算法。正弦余弦算法（Sine Cosine Algorithm，SCA）是一種新型的群智能優(yōu)化算法（屬于仿自然優(yōu)化算法），由澳大利亞學(xué)者M(jìn)irjalili于2016年提出，該算法利用正弦余弦函數(shù)的性質(zhì)，使解震蕩性的趨于全局最優(yōu)，算法中自適應(yīng)參數(shù)和隨機(jī)性參數(shù)較好地平衡了算法的探索和開(kāi)發(fā)能力，并解決了機(jī)翼設(shè)計(jì)問(wèn)題[2]。正弦余弦算法具有參數(shù)少、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易實(shí)現(xiàn)、收斂速度快等優(yōu)點(diǎn)，在實(shí)際應(yīng)用中具有較優(yōu)的性能，因此，近三年以來(lái)引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。

本文首先給出了正弦余弦算法，接著分析了正弦余弦算法的搜索原理和影響算法性能的主要參數(shù)，并對(duì)正余弦算法的改進(jìn)及應(yīng)用進(jìn)行了綜述，最后展望了正余弦算法的發(fā)展前景。

2 正弦余弦算法

2.1 基本的SCA算法

下面給出正弦余弦算法的主要步驟。

初始化算法參數(shù)：種群規(guī)模N，空間維數(shù)D，控制參數(shù)a，最大迭代次數(shù)Tmax；在可行域空間中隨機(jī)初始化N個(gè)個(gè)體組成初始種群；t=1；計(jì)算當(dāng)前每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)值，并記錄最優(yōu)個(gè)體位置P(t)；while(t＜Tmax)

fori=1toN do //對(duì)每一個(gè)個(gè)體進(jìn)行更新

forj=1toD do //對(duì)每一維上進(jìn)行更新

根據(jù)式r1=a-at/Tmax計(jì)算r1的值；

隨機(jī)產(chǎn)生r2∈U[0,2π],r3∈U[0,2],r4∈

end for

end for

越界處理；

計(jì)算每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)值并更新種群的最優(yōu)個(gè)體位置 P(t)；t=t+1；

end while

正弦余弦算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)，其最顯著的特點(diǎn)是基于正弦函數(shù)式（1）和余弦函數(shù)式（2）值的變化來(lái)達(dá)到尋優(yōu)目的。在正弦余弦算法中，主要有r1,r2,r3,r4四個(gè)參數(shù)。其中，最關(guān)鍵的是自適應(yīng)參數(shù)r1，控制算法從全局搜索到局部開(kāi)發(fā)的轉(zhuǎn)換。當(dāng)r1的值較大時(shí)，算法傾向于全局搜索；當(dāng)r1的值較小時(shí)，算法偏向于局部開(kāi)發(fā)。該算法利用正弦余弦函數(shù)的周期實(shí)現(xiàn)全局搜索和局部開(kāi)發(fā)。

圖1給出了a=2,Tmax=300與a=2,Tmax=1 000時(shí)r1sin(r2)與r1cos(r2)的圖像。

當(dāng)r1>1時(shí)，函數(shù)r1sin(r2)與r1cos(r2)值才有可能大于1或者小于-1；當(dāng)r1≤1時(shí)，函數(shù)r1sin(r2)與r1cos(r2)值必在-1和1之間。根據(jù)SCA算法設(shè)計(jì)原理，算法先進(jìn)行全局搜索再進(jìn)行局部開(kāi)發(fā)。當(dāng) | r1sin(r2)|>1或者|r1cos(r2)|>1時(shí)，算法進(jìn)行全局搜索；當(dāng) | r1sin(r2)|≤1或者|r1cos(r2)|≤1時(shí)，算法進(jìn)行局部開(kāi)發(fā)；如圖2所示。

圖1 r1sin(r2)與r1cos(r2)的圖像

圖2 r1=2,r3=1時(shí)r1sin(r2)和r1cos(r2)的波動(dòng)性及算法搜索策略

2.2 SCA算法測(cè)試結(jié)果

圖3 ～6給出了函數(shù)圖像及收斂性曲線。

本節(jié)給出采用SCA算法求解幾個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，包括單峰函數(shù)與多峰函數(shù)，程序用MatlabR2009a編寫(xiě)，參數(shù)設(shè)置N=30,a=2,Tmax=1 000。表1給出了測(cè)試函數(shù)，

3 正弦余弦算法分析

SCA中每個(gè)個(gè)體更新通過(guò)下面的迭代實(shí)現(xiàn)：

表1 測(cè)試函數(shù)

圖3 函數(shù) f1的圖像及SCA算法收斂性曲線

圖4 函數(shù) f2的圖像及SCA算法收斂性曲線

圖5 函數(shù) f3的圖像及SCA算法收斂性曲線

圖6 函數(shù) f4的圖像及SCA算法收斂性曲線

迭代式（3）與（4）各以0.5的概率選取，由于正弦函數(shù)平移后便可以得到余弦函數(shù)，所以正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的函數(shù)值分布是相同的。因此，雖然r2∈U[0,2π]是隨機(jī)數(shù)，但是從概率角度而言，r1sin(r2)與r1cos(r2)的函數(shù)值分布幾乎相同。

取a=2,Tmax=10 000,r1=a-at/Tmax,r2∈U[0,2π]，圖7給出了r1sin(r2)與r1cos(r2)函數(shù)值的頻數(shù)分布直方圖。

從圖3可知，r1sin(r2)與r1cos(r2)頻數(shù)直方圖幾乎是等效的。結(jié)合圖1與r1=a-at/Tmax可以得出，當(dāng)?shù)螖?shù)之后，r1<1，于是算法不再進(jìn)行全局探索。

表2對(duì)基本粒子群算法（PSO）、差分進(jìn)化算法（DE）、和聲搜索算法（HS）、正余弦算法（SCA）進(jìn)行了橫向?qū)Ρ?，主要列舉了算法中影響全局搜索或局部開(kāi)發(fā)的主要參數(shù)及更新模式。

圖7 函數(shù)r1sin(r2)與r1cos(r2)的頻數(shù)直方圖

表2 PSO，DE，HS，SCA四種算法的搜索機(jī)制對(duì)比

SCA算法主要由4個(gè)參數(shù)r1,r2,r3,r4決定，算法后期主要進(jìn)行局部開(kāi)發(fā)，因此與其他智能算法一樣，也存在早熟現(xiàn)象；與其他算法不同的是，SCA算法跳出了一般智能優(yōu)化算法的思路，僅僅利用正弦余弦函數(shù)的震蕩性趨于最優(yōu)。

4 正弦余弦算法改進(jìn)

4.1 參數(shù)的改進(jìn)

（1）對(duì)參數(shù)r1的改進(jìn)

鑒于參數(shù)r1控制著算法的搜索過(guò)程，因此大部分的學(xué)者對(duì)參數(shù)r1的改進(jìn)做了許多的研究。諸如采用非線性遞減的拋物線函數(shù)r1=a(1-t/Tmax)2和指數(shù)函數(shù)r1=aexp(-t/Tmax)。若采用拋物線函數(shù)，則當(dāng)t>(1-1/a)Tmax時(shí)r1<1；若采用指數(shù)函數(shù)，則當(dāng)t>Tmaxlna時(shí)r1<1。王遠(yuǎn)在文獻(xiàn)[3]中給出了更多的參數(shù)r1表達(dá)式；石磊在文獻(xiàn)[4]中構(gòu)造了一個(gè)平衡全局搜索和局部開(kāi)發(fā)、尾部收斂適中的參數(shù)r1；劉勇等人對(duì)其參數(shù)r1展開(kāi)研究，提出轉(zhuǎn)換參數(shù)r1非線性遞減的正弦余弦算法[5-9]。表3中給出了6種參數(shù)r1的表達(dá)式，圖8、9給出了參數(shù)r1的圖像。

圖8 參數(shù)=1,i=1,2,…,6的圖像（橫向看）

圖9 參數(shù)=1,i=1,2,…,6的圖像（縱向看）

對(duì)轉(zhuǎn)換參數(shù)r1的改進(jìn)，要么采用凸函數(shù)、要么采用凹函數(shù)；從圖9可以看出，同等條件下，當(dāng)進(jìn)化代數(shù)達(dá)到一半時(shí)，計(jì)算可得r(2)1

（2）對(duì)參數(shù)r2的改進(jìn)

石磊在文獻(xiàn)[4]中提出了正弦大擾動(dòng)分布和余弦小擾動(dòng)分布，對(duì)參數(shù)r2做了改進(jìn)；曲良東等人研究了r1sin(r2)和r1cos(r2)函數(shù)值的等效性，用式（3）替換式（4），提出了一個(gè)簡(jiǎn)化的正弦余弦算法，稱之為正弦算法[5]；同樣，若用式（4）替換式（3），便可以得到余弦算法。

（3）對(duì)參數(shù)r3的改進(jìn)

石遠(yuǎn)在文獻(xiàn)[3]中對(duì)參數(shù)r3的改進(jìn)，結(jié)合反向?qū)W習(xí)策略，給出了一種改進(jìn)的正弦余弦算法，并應(yīng)用于焊接梁的設(shè)計(jì)。

（4）增加慣性權(quán)重

表3 更多參數(shù)r1的表達(dá)式

借鑒對(duì)基本粒子群算法增加慣性權(quán)重得到標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法的思路，文獻(xiàn)[6]給出了帶有正弦余弦權(quán)重的粒子群算法；文獻(xiàn)[4]給出了帶有權(quán)重的正弦余弦算法。

為了提升SCA算法的性能，擴(kuò)展SCA算法的應(yīng)用領(lǐng)域，研究者們開(kāi)發(fā)了多種SCA算法的變體。

4.2 搜索機(jī)制的改進(jìn)

針對(duì)高維優(yōu)化問(wèn)題，文獻(xiàn)[7]提出了SCA的改進(jìn)版本（ISCA）。提出了一種引入慣性權(quán)重的修正位置更新方程，以加快收斂速度，避免陷入局部最優(yōu)狀態(tài)。另外，為了平衡對(duì)SCA的探索和開(kāi)發(fā)，使用了一種基于高斯函數(shù)的新型非線性轉(zhuǎn)換參數(shù)策略。

文獻(xiàn)[8]提出了一種新穎的正弦余弦算法改進(jìn)版本，提高了解的利用能力，并減少了經(jīng)典SCA搜索方程中存在的多樣性溢出問(wèn)題。算法主要將交叉開(kāi)發(fā)技術(shù)與個(gè)體最優(yōu)狀態(tài)相融合，并引入了自學(xué)習(xí)和全局搜索機(jī)制。

文獻(xiàn)[10]提出了一種基于鄰域搜索和貪婪Levy變異的改進(jìn)正弦余弦算法。算法采用指數(shù)遞減轉(zhuǎn)換參數(shù)和線性遞減慣性權(quán)重的方法來(lái)平衡算法的全局搜索能力和局部開(kāi)發(fā)能力。并利用最優(yōu)個(gè)體附近的隨機(jī)個(gè)體代替原算法中的最優(yōu)個(gè)體，使算法容易跳出局部最優(yōu)，有效地增加了搜索范圍。

文獻(xiàn)[11]提出了基于Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)變異策略的改進(jìn)正弦余弦算法（RFSCA）。新算法采用擬反向?qū)W習(xí)對(duì)種群進(jìn)行初始化，提高了種群的多樣性。采用具有二階精度的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的近似公式，構(gòu)造了一種新的變異方法來(lái)更新最優(yōu)個(gè)體，提高了算法的計(jì)算精度。

4.3 與其他算法混合

文獻(xiàn)[12]提出了一種增強(qiáng)型腦風(fēng)暴正弦余弦算法（EBS-SCA）算法。算法采用EBS策略來(lái)改善種群多樣性，提出了2個(gè)新的個(gè)體更新策略：個(gè)體更新策略與開(kāi)發(fā)策略，實(shí)現(xiàn)全局搜索與局部開(kāi)發(fā)之間的有效平衡。

文獻(xiàn)[13]將粒子群算法與正弦余弦算法中的位置更新方程和levy飛行方法相結(jié)合，提出了基于正弦余弦算法和Levy-flight的混合粒子群優(yōu)化算法。

為增強(qiáng)正弦余弦算法的全局尋優(yōu)能力，避免算法陷入局部最優(yōu)，文獻(xiàn)[14]將正弦余弦算法作為一種局部算法嵌入到花授粉中，對(duì)花粉個(gè)體分別進(jìn)行正弦和余弦優(yōu)化，提出一種融合正弦余弦算法的花授粉算法；文獻(xiàn)[15]在算法迭代后期，引入正弦余弦操作來(lái)更新當(dāng)前蝙蝠個(gè)體的位置，提出了一種融合正弦余弦的蝙蝠算法。

文獻(xiàn)[16]在保持SCA算法框架不變的情況下，使用云模型來(lái)自適應(yīng)地調(diào)整控制參數(shù)，提出了一種基于云模型的正弦余弦算法（CSCA），通過(guò)13個(gè)具有不同維度的基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)對(duì)CSCA進(jìn)行評(píng)估，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，CSCA算法在魯棒性和可擴(kuò)展性方面優(yōu)于其他SCA變體。

文獻(xiàn)[17]提出了改進(jìn)的正弦余弦算法，根據(jù)擾動(dòng)率的相反數(shù)生成反向種群，并在SCA的搜索方程中增加了自適應(yīng)機(jī)制，從而有助于跳出局部最優(yōu)。

文獻(xiàn)[18]提出了一種多目標(biāo)正弦余弦算法（MO-SCA）。MO-SCA采用精英非支配排序和擁擠距離方法來(lái)獲得不同的非支配級(jí)別，并分別保留最優(yōu)解集之間的多樣性。更多的改進(jìn)算法見(jiàn)文獻(xiàn)[19-26]。

5 正弦余弦算法應(yīng)用

目前SCA算法已成功應(yīng)用到0-1背包問(wèn)題、城市土地利用空間的優(yōu)化配置、環(huán)境保護(hù)、NoC測(cè)試中，并獲得了較好的結(jié)果[27-30]。文獻(xiàn)[31]提出了一種正弦余弦算法與穩(wěn)態(tài)遺傳算法的混合算法來(lái)解決工程設(shè)計(jì)問(wèn)題，該算法綜合了穩(wěn)態(tài)遺傳算法（SSGA）的開(kāi)發(fā)能力和正余弦算法（SCA）的搜索能力，通過(guò)SSGA的交叉和變異操作以及SCA的機(jī)制生成新一代個(gè)體，并將算法應(yīng)用于兩個(gè)復(fù)雜的工程設(shè)計(jì)問(wèn)題。下面結(jié)合國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀，對(duì)正弦余弦算法的應(yīng)用進(jìn)行分類歸納。

5.1 調(diào)度問(wèn)題

在水熱動(dòng)力系統(tǒng)調(diào)度問(wèn)題（HTS）中，文獻(xiàn)[32]提出了一種新的正弦余弦算法，算法合理地利用了SCA的不同控制參數(shù)來(lái)平衡探索和開(kāi)發(fā)階段，從而找到接近全局的最優(yōu)解，并被應(yīng)用于解決不同的情況（經(jīng)濟(jì)負(fù)荷調(diào)度、經(jīng)濟(jì)排放調(diào)度、組合經(jīng)濟(jì)排放調(diào)度）和水熱風(fēng)調(diào)度（HTWS）問(wèn)題。

文獻(xiàn)[33]將正弦余弦算法應(yīng)用于非光滑經(jīng)濟(jì)/生態(tài)排放負(fù)荷調(diào)度（EELD）問(wèn)題，通過(guò)同時(shí)優(yōu)化EELD問(wèn)題中兩個(gè)相互矛盾的目標(biāo)——經(jīng)濟(jì)和排放，在搜索空間中創(chuàng)建了搜索代理的隨機(jī)初始種群，獲得了帕累托最優(yōu)解。

短期熱液調(diào)度的目的是在特定的時(shí)間間隔內(nèi)優(yōu)化不同熱液?jiǎn)卧拿啃r(shí)發(fā)電量，以最大程度地降低發(fā)電總成本。在兼顧閥點(diǎn)負(fù)載效應(yīng)和傳輸損耗的情況下，文獻(xiàn)[34]將正弦余弦算法用于解決短期熱液調(diào)度問(wèn)題，并使用六個(gè)具有不同成本函數(shù)的不同測(cè)試系統(tǒng)，與通過(guò)其他最新開(kāi)發(fā)的技術(shù)獲得的結(jié)果進(jìn)行比較，所提方法在生成成本和仿真時(shí)間方面優(yōu)于現(xiàn)有結(jié)果。文獻(xiàn)[35]將正弦余弦算法用于解決電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)調(diào)度問(wèn)題。

5.2 控制器優(yōu)化

文獻(xiàn)[36]利用正弦余弦算法優(yōu)化分?jǐn)?shù)階串級(jí)控制器，研究了可再生能源和實(shí)際裝置對(duì)熱系統(tǒng)的影響。提出了一種新的分?jǐn)?shù)階串級(jí)控制器的新組合，使用隨機(jī)正余弦算法對(duì)所有二級(jí)控制器的增益和所需參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，并與傳統(tǒng)控制器進(jìn)行了性能對(duì)比，結(jié)果表明其性能優(yōu)于其他控制器。

文獻(xiàn)[37]將改進(jìn)的正弦余弦算法（MSCA）應(yīng)用于常規(guī)PID和模糊PID控制器的設(shè)計(jì)中，以積分時(shí)間絕對(duì)誤差為目標(biāo)函數(shù)，將過(guò)沖、欠沖和穩(wěn)定時(shí)間作為暫態(tài)參數(shù)，分析了無(wú)控制電力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。分析結(jié)果表明，基于MSCA的FPID控制器具有較好的瞬態(tài)響應(yīng)特性，其欠沖、超沖和穩(wěn)定時(shí)間均較短。通過(guò)改變電力系統(tǒng)的一些重要參數(shù)進(jìn)行魯棒性分析，表明所提出的FPID控制器對(duì)參數(shù)變化的敏感性較低。

文獻(xiàn)[38]使用正余弦算法來(lái)設(shè)計(jì)自動(dòng)電壓調(diào)節(jié)器（AVR）系統(tǒng)最優(yōu)比例積分微分（PID）控制器的參數(shù)，采用時(shí)域性能指標(biāo)對(duì)所提出的SCA-PID控制器進(jìn)行了驗(yàn)證。與差分進(jìn)化（DE）、人工蜂群（ABC）和基于生物地理學(xué)的優(yōu)化（BBO）相比，結(jié)果表明方法在改善AVR系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)方面具有高效性和魯棒性。

文獻(xiàn)[39]提出了一種通過(guò)改進(jìn)的正弦余弦算法（ISCA）優(yōu)化的自適應(yīng)模糊邏輯PID控制器（AFPID），并應(yīng)用于自主發(fā)電系統(tǒng)的負(fù)載頻率控制。

文獻(xiàn)[40]對(duì)正弦余弦算法中影響算法全局探索和局部開(kāi)發(fā)能力的重要參數(shù)進(jìn)行了調(diào)整，使搜索結(jié)果更精確，將改進(jìn)后的算法用于模糊控制器量化因子和比例因子的優(yōu)化。

5.3 電力系統(tǒng)優(yōu)化

針對(duì)電力系統(tǒng)穩(wěn)定器的優(yōu)化設(shè)計(jì)，文獻(xiàn)[41]提出由特征值和基于時(shí)域的目標(biāo)函數(shù)組成多目標(biāo)函數(shù)，利用SCA技術(shù)實(shí)現(xiàn)了該目標(biāo)函數(shù)的最小化和穩(wěn)定器參數(shù)的優(yōu)化，并測(cè)試了用SCA設(shè)計(jì)的穩(wěn)定器對(duì)不同擾動(dòng)下電力系統(tǒng)低頻振蕩的魯棒性和有效性。通過(guò)線性模型穩(wěn)定性分析和非線性時(shí)域仿真，將所提出的基于SCA的PSS（SCAPSS）與基于BAT算法的PSS（BAPSS）和基于共生有機(jī)體搜索算法的PSS（SOSPSS）進(jìn)行結(jié)果比較，分析結(jié)果表明，該方法能使同步電機(jī)轉(zhuǎn)子的低頻振蕩具有更快的阻尼和最小的超調(diào)，在最終解的精度、收斂速度、計(jì)算時(shí)間、阻尼比、轉(zhuǎn)子角度的確定時(shí)間等方面，SCA都優(yōu)于其他兩種算法。

文獻(xiàn)[42]根據(jù)總成本、總功率損耗、總電壓偏差和電壓穩(wěn)定指標(biāo)，采用正余弦算法對(duì)應(yīng)急電力加載穩(wěn)定性進(jìn)行了優(yōu)化。

文獻(xiàn)[43]在標(biāo)準(zhǔn)的正余弦算法的基礎(chǔ)上增加了Levy飛行策略，提出了一種基于正余弦技術(shù)的最優(yōu)潮流算法，并應(yīng)用于不同目標(biāo)函數(shù)下的最優(yōu)潮流問(wèn)題?；谙到y(tǒng)的運(yùn)行和經(jīng)濟(jì)性能指標(biāo)，以IEEE30和IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例，并與其他優(yōu)化方法對(duì)比，驗(yàn)證了所提算法的有效性和潛力。

為了優(yōu)化最大功率點(diǎn)跟蹤（MPPT），文獻(xiàn)[44]給出了一個(gè)改進(jìn)的正弦余弦優(yōu)化的算法。實(shí)驗(yàn)分析表明，在穩(wěn)態(tài)、動(dòng)態(tài)條件下，算法收斂速度快，易于實(shí)現(xiàn)，計(jì)算量少。

5.4 數(shù)據(jù)挖掘

文獻(xiàn)[45]使用正余弦算法（SCA）來(lái)優(yōu)化自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)（ANFIS）模型中的參數(shù)，并用于預(yù)測(cè)石油消費(fèi)量。文獻(xiàn)[46]給出了一種基于多目標(biāo)正弦余弦算法（MOSCA）混合預(yù)測(cè)系統(tǒng)，來(lái)同時(shí)提高預(yù)測(cè)精度和穩(wěn)定性。并以兩個(gè)風(fēng)電場(chǎng)采集的8個(gè)風(fēng)速數(shù)據(jù)為例，對(duì)所開(kāi)發(fā)的預(yù)測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行了性能分析。結(jié)果表明，所開(kāi)發(fā)的預(yù)測(cè)系統(tǒng)在精度和穩(wěn)定性方面均優(yōu)于比較模型，是一種有效的風(fēng)速預(yù)測(cè)方法。

文獻(xiàn)[47]利用正弦余弦算法來(lái)優(yōu)化支持向量回歸SVR中的懲罰參數(shù)和核參數(shù)，提出了一種新的SCA-SVR模型，提高了對(duì)未知數(shù)據(jù)的泛化性能。并在常用基準(zhǔn)數(shù)據(jù)集上，與其他一些元啟發(fā)式優(yōu)化算法進(jìn)行比較，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該模型能夠找到SVR參數(shù)的最優(yōu)值。

文獻(xiàn)[48]使用改進(jìn)的自適應(yīng)正弦余弦算法（ASCA）和快速學(xué)習(xí)網(wǎng)（FLN）建立了汽輪機(jī)熱耗率綜合預(yù)測(cè)模型，并應(yīng)用某600 MW超臨界汽輪機(jī)組現(xiàn)場(chǎng)運(yùn)行數(shù)據(jù)建立汽輪機(jī)熱耗率預(yù)測(cè)模型，并將ASCA算法優(yōu)化的結(jié)果與其他方法的結(jié)果進(jìn)行比較，檢驗(yàn)了所提方法的有效性。

文獻(xiàn)[49]提出了基于最優(yōu)變分模分解（OVMD）和帶有混沌的正弦余弦算法的最小二乘支持向量機(jī)（LSSVM）；文獻(xiàn)[50-53]使用正弦余弦算法來(lái)優(yōu)化支持向量機(jī)（SVM）的最佳學(xué)習(xí)參數(shù)，并成功應(yīng)用于模擬電路故障診斷、年徑流豐枯識(shí)別、氣象預(yù)測(cè)、故障預(yù)報(bào)等問(wèn)題。

5.5 圖像處理

文獻(xiàn)[54-55]應(yīng)用正弦余弦優(yōu)化算法研究多閾值圖像分割。文獻(xiàn)[56]提出了一種結(jié)合極限學(xué)習(xí)機(jī)（extreme learning machine）的正弦余弦算法，并應(yīng)用于腦病理檢測(cè)；在三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集上與其他有效方案進(jìn)行了嚴(yán)格的比較評(píng)估，結(jié)果表明，該方法在分類精度和所需特征數(shù)方面均優(yōu)于同類方案，能夠?qū)崟r(shí)有效地識(shí)別腦病理。

5.6 目標(biāo)跟蹤問(wèn)題

針對(duì)目標(biāo)跟蹤問(wèn)題，文獻(xiàn)[57]提出了正弦余弦優(yōu)化與差分進(jìn)化算法的混合算法（SCA-DE），并與其他算法進(jìn)行了比較研究，結(jié)果表明，混合算法能夠在各種挑戰(zhàn)條件下對(duì)任意目標(biāo)進(jìn)行魯棒跟蹤。文獻(xiàn)[58]提出了一種求解優(yōu)化問(wèn)題和目標(biāo)跟蹤問(wèn)題的混合算法（SCA-PSO），將粒子群算法搜索原理嵌入到SCA中，該算法結(jié)合PSO算法的開(kāi)發(fā)能力和SCA算法的搜索能力，實(shí)現(xiàn)全局搜索。

5.7 無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化

為了提高無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)（WSN）的性能，文獻(xiàn)[59]提出了一種基于改進(jìn)正弦余弦算法（ESCA）。ESCA算法引入雙曲正弦調(diào)節(jié)因子和動(dòng)態(tài)余弦波權(quán)重系數(shù)，并引入基于拉普拉斯和高斯分布的變異策略以平衡算法的全局探索與局部開(kāi)發(fā)能力，將ESCA應(yīng)用于WSN節(jié)點(diǎn)部署優(yōu)化，結(jié)果表明其優(yōu)化覆蓋率優(yōu)于改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法、人工蜂群算法、灰狼優(yōu)化算法和自適應(yīng)混沌量子粒子群算法。文獻(xiàn)[60]采用正弦余弦算法求解無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)的生存期優(yōu)化問(wèn)題，并與遺傳算法和粒子群算法進(jìn)行了比較。

6 結(jié)束語(yǔ)

正弦余弦算法通過(guò)不斷調(diào)整正弦函數(shù)和余弦函數(shù)值來(lái)達(dá)到尋優(yōu)目的，算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)，提出雖然不到3年，但是已被廣泛應(yīng)用于各類工程優(yōu)化問(wèn)題。作為智能優(yōu)化算法，正弦余弦算法同樣也存在早熟收斂、求解精度低等缺點(diǎn)，下一步還有許多工作需要研究。

（1）改進(jìn)算法。借鑒粒子群算法（PSO）、差分進(jìn)化算法（DE）、和聲搜索算法（HS）、教與學(xué)優(yōu)化算法（TLBO）、生物地理學(xué)優(yōu)化（BBO）等算法的優(yōu)點(diǎn)，來(lái)改進(jìn)正弦余弦算法，旨在提高種群多樣性[61]，從而增強(qiáng)算法的全局搜索能力。

（2）算法應(yīng)用。目前正弦余弦算法大多應(yīng)用于求解確定性優(yōu)化問(wèn)題，在不確定優(yōu)化，如魯棒優(yōu)化、機(jī)會(huì)約束優(yōu)化、隨機(jī)優(yōu)化、動(dòng)態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化等領(lǐng)域仍待進(jìn)一步研究。

（3）理論分析。對(duì)正弦余弦算法建立數(shù)學(xué)模型，從理論上研究其收斂性；通過(guò)差分方程、馬爾科夫鏈等數(shù)學(xué)理論來(lái)研究正弦余弦算法的收斂性。