管海娃

1.浙江工業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院，杭州 310023

2.溫州科技職業(yè)學(xué)院，浙江 溫州 325006

1 引言

迭代學(xué)習(xí)控制技術(shù)適用于有限時間區(qū)間上重復(fù)作業(yè)的控制對象。這種控制技術(shù)利用前次或前幾次運行結(jié)果來修正本次控制輸入，只要足夠多次的運行，可實現(xiàn)在整個作業(yè)區(qū)間上的完全跟蹤。在實際應(yīng)用場合，機器人系統(tǒng)經(jīng)常需要執(zhí)行重復(fù)性工作任務(wù)（例如執(zhí)行搬運、裝配等任務(wù)的工業(yè)機械臂），鑒于機器人運動的重復(fù)性特點和迭代學(xué)習(xí)控制的特性，自1984年提出以來，迭代學(xué)習(xí)控制技術(shù)已被廣泛應(yīng)用于機器人運動控制[1-5]。

近年來，類Lyapunov方法下迭代學(xué)習(xí)控制技術(shù)已經(jīng)成為研究的熱點[6-11]。目前的研究成果主要集中于不確定系統(tǒng)，包括參數(shù)化情形和非參數(shù)化情形的學(xué)習(xí)控制，非一致軌跡跟蹤問題以及初值問題。文獻(xiàn)[12]針對具有時變和時不變參數(shù)不確定系統(tǒng)，提出一種新的迭代學(xué)習(xí)控制方法，能有效地跟蹤不同的期望軌跡。文獻(xiàn)[13]提出的魯棒自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制方法能夠處理離散非線性系統(tǒng)中的參數(shù)和非參數(shù)不確定。文獻(xiàn)[14]通過迭代學(xué)習(xí)控制算法，解決了一類多輸入多輸出系統(tǒng)的非參數(shù)不確定性。文獻(xiàn)[15]針對在任意初值和可變軌跡下，研究了一類離散不確定系統(tǒng)的自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制方法。文獻(xiàn)[16]利用障礙Lyapunov函數(shù)設(shè)計控制器，實現(xiàn)控制過程中的輸出約束。文獻(xiàn)[17]借助文獻(xiàn)[16]的思想，構(gòu)造二次分式型障礙Lyapunov函數(shù)函數(shù)，提出實現(xiàn)狀態(tài)約束的迭代學(xué)習(xí)控制算法。文獻(xiàn)[18]通過自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制，處理高階非線性多智能系統(tǒng)的一致跟蹤問題。

初始定位是應(yīng)用迭代學(xué)習(xí)控制技術(shù)的一個必要條件，它要求在每次迭代開始時系統(tǒng)的初值要和期望軌跡的初值一致。大量較早的文獻(xiàn)研究機器人系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制方法，往往假定系統(tǒng)初始誤差為零[19-21]。但由于實際精度的限制，初始定位誤差難以避免，上述假設(shè)很難滿足。因此，研究在任意初態(tài)下的迭代學(xué)習(xí)控制算法具有重要的理論與實際意義。針對連續(xù)系統(tǒng)的Lyapunov方法，解決初值問題的方案有時變邊界層、誤差跟蹤、有限時間吸引子和初始修正等。文獻(xiàn)[22]基于Lyapunov方法研究了迭代學(xué)習(xí)控制中的五種不同初始條件。文獻(xiàn)[23]在非零初始誤差條件下，引入時變邊界層，構(gòu)造模糊自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制器。文獻(xiàn)[24]借助初始修正吸引子的概念，提出有限時間迭代學(xué)習(xí)控制方法，實現(xiàn)在預(yù)先指定的區(qū)間上零誤差跟蹤。文獻(xiàn)[25]研究在任意初始條件下非線性系統(tǒng)的誤差跟蹤學(xué)習(xí)算法。近年來，人們提出重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法處理機器人系統(tǒng)的初值問題，這種控制方法在實施時不需要進(jìn)行定位操作，而以上一周期終點時刻系統(tǒng)狀態(tài)信息作為下一周期系統(tǒng)的初值。文獻(xiàn)[26]針對不確定機器人的軌跡跟蹤問題，提出了一種自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法。文獻(xiàn)[27]通過設(shè)計重復(fù)學(xué)習(xí)控制方案，處理時變機器人系統(tǒng)的定常和時變參數(shù)不確定性。文獻(xiàn)[28]提出一種新的非線性分散重復(fù)學(xué)習(xí)控制，處理非線性機器人系統(tǒng)的軌跡跟蹤問題，實現(xiàn)全局漸近收斂。文獻(xiàn)[29]構(gòu)造新型Barrier函數(shù)，實現(xiàn)機器人系統(tǒng)位置約束的重復(fù)學(xué)習(xí)控制算法。重復(fù)學(xué)習(xí)控制，回避了迭代學(xué)習(xí)控制的初始定位問題，但要求參考軌跡是光滑閉合的。針對非零初始誤差，文獻(xiàn)[30]通過修正參考軌跡，提出機器人系統(tǒng)變軌跡問題的迭代學(xué)習(xí)控制算法。這種方法，在每次實現(xiàn)時，需要設(shè)計起始段軌跡。本文借助初始吸引子概念。以回避這一問題。它在任意初態(tài)條件下，實現(xiàn)機器人系統(tǒng)在有限時間內(nèi)對期望軌跡的完全跟蹤問題。

本文通過構(gòu)造一個含有初始修正項的誤差變量，采用Lyapunov-like方法，設(shè)計迭代學(xué)習(xí)控制器處理系統(tǒng)中不確定性，并進(jìn)行性能分析。所提的方法在任意初始條件下，實現(xiàn)跟蹤誤差在預(yù)先指定區(qū)間收斂于零。本文分別針對定常/時變機器人系統(tǒng)，采用未含/含限幅學(xué)習(xí)機制，保證閉環(huán)系統(tǒng)各變量的一致有界性。仿真實例中，以三自由度刨床機械臂系統(tǒng)和二自由度的時變機器人系統(tǒng)，來說明方法的有效性。本文主要由以下幾個貢獻(xiàn)點：（1）針對非零初始條件，將初始吸引子方法運用于定常/時變機器人系統(tǒng)，實現(xiàn)跟蹤誤差在預(yù)先指定區(qū)間收斂于零。（2）本文構(gòu)造一個修正誤差信號，并給出兩種新的ζ(t)函數(shù)的構(gòu)造方案，改進(jìn)了現(xiàn)有的同類設(shè)計方案。文中所給出的修正誤差構(gòu)造方案，具有結(jié)構(gòu)簡單和實施便捷的特點。

2 問題的描述

2.1 定常機器人系統(tǒng)

考慮下述n自由度剛性定常機器人系統(tǒng)：

其中，q,q?,q?∈Rn分別是關(guān)節(jié)的位置、速度和加速度向量，τ∈Rn是輸入力矩向量，D(q)∈Rn×n是慣性矩陣，C(q,q?)是向心力和哥氏力矩陣，g(q)∈Rn是重力向量。

機器人系統(tǒng)（1）具有如下三個重要的性質(zhì)：

性質(zhì)1D(q)是對稱正定的矩陣。

性質(zhì) 2D?(q)-2C(q,q?)是反對稱矩陣。

性質(zhì)3動態(tài)方程（1）可線性參數(shù)化成如下形式：

其中，p 是未知的定常參數(shù)向量，φp(q,q?,q?)是相應(yīng)的回歸矩陣。

2.2 時變機器人系統(tǒng)

在實際情況下，許多機器人系統(tǒng)的載荷會隨時間變化，針對時變不確定性，考慮下述時變機器人系統(tǒng)：

其中，?∈R?是參數(shù)向量，D(q,?)∈Rn×n是慣性矩陣，C(q,q?,?)是向心力和哥氏力矩陣，g(q,?)∈Rn是重力向量，F(xiàn)(q,?)是由于引入時變參數(shù)?而增加的相關(guān)項，其他量的定義同系統(tǒng)（1）。

時變機器人系統(tǒng)（3）同樣具有三個重要的性質(zhì)：

性質(zhì)4D(q,?)是對稱正定的矩陣。

性質(zhì)5D?(q,?)-2C(q,q?,?)-F(q,??)是反對稱矩陣。

性質(zhì)6動態(tài)方程（3）可線性參數(shù)化成如下形式：

D(q,?)q?+C(q,q?,?)q?+F(q,??)q?+g(q,?)=

其中，?=[p,θ(t)]T,p是未知的定常參數(shù)向量，θ(t)是未知的時變參數(shù)向量，φp(q,q?,q?)和 φθ(q,q?,q?)是相應(yīng)的回歸矩陣。

當(dāng)系統(tǒng)在區(qū)間[ ]0,T 上重復(fù)執(zhí)行任務(wù)時，下標(biāo)k記重復(fù)運行次數(shù)。給定二階連續(xù)可導(dǎo)的期望軌跡qd()t,定義跟蹤誤差ek=qd-qk。

本文的控制任務(wù)是，在任意初態(tài)的情形下，即ek(0)≠0，分別針對定常/時變機器人系統(tǒng)設(shè)計迭代學(xué)習(xí)控制器τk，使得跟蹤誤差ek能夠在預(yù)先設(shè)定的區(qū)間上實現(xiàn)完全跟蹤(0<Δ

3 修正誤差信號的構(gòu)造

對于微分方程：其中，α>0，其解可表示為：

方程（5）有唯一的吸引子 χ=0。顯然，對于非零χ0，這是無窮時間吸引子，當(dāng)時間趨于無窮大時，χ收斂于該吸引子，即在迭代學(xué)習(xí)控制器的設(shè)計中，一種更誘人的控制性能是有限時間收斂性。

定義1[24]對于微分方程：

其中，α>0，如果存在初始修正作用r=r(χ0,t)，使得對于給定的Δ>0，有：

那么，稱 χ=0為 χ?=-αχ-r的初始修正吸引子。

下面給出一種初始修正作用：

式中，ζ(t)是關(guān)于t的函數(shù)，滿足：

由于引入初始修正作用（8），微分方程（7）的解為：

由上式可知，方程的解具有有限時間收斂性。對式（10）求導(dǎo)，可得：

由 ζ- 函數(shù)的定義可知，ζ(Δ)=0 ，可使得 χ?(Δ)=0 ，因此，χ(t)在Δ時刻可光滑對接。

鑒于上述初始修正吸引子的概念，本文針對非零初始誤差情形，為了實現(xiàn)有限時間完全跟蹤性能，構(gòu)造修正誤差變量：

其中，c>0是可調(diào)整的參數(shù)，rk是為處理非零初態(tài)條件而引入的修正作用，其可表示為：

其中，ek(0)是初始誤差。為了設(shè)計迭代學(xué)習(xí)控制器，選取的ζ(t)在滿足式（9）的前提下，要使得下式恒成立：

注2本文系統(tǒng)初始誤差ek(0)≠0，不滿足常規(guī)迭代學(xué)習(xí)控制算法的要求。為了解決這個問題，構(gòu)造修正誤差變量σk(t)，并要滿足σk(0)=0。

當(dāng)e?k(0)=0時，本文給出一種ζ(t)函數(shù)的構(gòu)造方案：

其中，00是可調(diào)整的參數(shù)，需要滿足下式：

當(dāng)c=3,d=0.2,Δ=0.3,ζ1(t)函數(shù)圖像如圖1。

圖1 ζ1(t)函數(shù)

ζ(t)函數(shù)的構(gòu)造方案有很多種，類似的，本文給出另一種ζ(t)函數(shù)：其中，00是可調(diào)整的參數(shù)需要滿足下式：

注3現(xiàn)有的幾種ζ(t)函數(shù)，在t=0,t=Δ處不連續(xù)，或在t=Δ處不可導(dǎo)。本文給出兩種新的ζ(t)函數(shù)的構(gòu)造方案，由式（15）、（16）可以看出，構(gòu)造的兩種 ζ(t)函數(shù)在(0 ,T ]上是連續(xù)可微的，相應(yīng)的，rk在(0 ,T]上是連續(xù)可微的。由式（12）可知σk在[0 , T]上也是連續(xù)可微的。

若當(dāng)σk(t)=0,t∈[0 , T ]成立，式（12）可寫成：

由定義1可知，ek(t)=0,t∈[Δ ,T ]，并且可得 e?k(t)=0,t∈[Δ ,T]。

由上面的分析可得，設(shè)計迭代學(xué)習(xí)控制器，經(jīng)過足夠多次迭代后，若能實現(xiàn)在整個作業(yè)區(qū)間[0 , T]上，σk(t)=0，即可實現(xiàn)在[Δ ,T ]，ek(t)=0 和 e?k(t)=0 。這是下一章控制器設(shè)計的策略所在。

4 定常機器人系統(tǒng)的控制器設(shè)計與性能分析

引入新的變量：

修正誤差變量可轉(zhuǎn)換為：

建立修正誤差變量的動態(tài)方程：

將式（1）代入式（20），并利用性質(zhì)3可得：

其中，Yp(qk,q?k,q?σ,k,q?σ,k)是相應(yīng)的相容矩陣，記為Yp,k。

為設(shè)計迭代學(xué)習(xí)控制器，考慮正定函數(shù)：

對Vk求導(dǎo)：

通過上面的推導(dǎo)，本文可采取如下控制器：

其中，p?k是對 p的估計，p?k的更新律由下式給出：

其中，Q,Γ是對角正定矩陣。應(yīng)用力矩輸入式（24），并結(jié)合性質(zhì)2，式（23）可寫成：

為分析閉環(huán)系統(tǒng)的收斂性和穩(wěn)定性，考慮下述Lyapunov-like函數(shù)：

容易得到Vk()0=0。Lk在第k次的迭代差分為：

由分部積分，可得：

將式（26）、（29）代入式（28）得：

應(yīng)用參數(shù)更新律（25），式（30）可寫成：

由于：

那么：

由于 p?k(0)=p?k-1(T)，再令 t=T ，得到：

依據(jù)式（34），容易證明下述定理。

定理1對于在任意初態(tài)情形下的機器人系統(tǒng)（1），采用力矩輸入（24），以及參數(shù)更新律（25），可以保證：

（1）閉環(huán)系統(tǒng)中的所有變量在[ ]0,T上一致有界。

（2）當(dāng)k→∞時，跟蹤誤差在[ ]Δ,T 上一致收斂于零，即：

證明 首先對L0(t)求導(dǎo)：

因此，Lk(t)在上是有界的，由式（27）可知Vk(t)，p?k(t)和 σk(t)在上都是有界的。由σk的有界性可得 ek和 e?k在上是有界的。由qd,q?d和rk的有界性，可得上也是有界的。進(jìn)而，由

式（24），可知 τk(t)在上也是有界的。因此，閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號都是有界的。

為證明誤差σk(t)一致收斂，對式（34）進(jìn)行累加：

由Lk(T)≥0和L0(T)的有界性，得到：

5 時變機器人系統(tǒng)的控制器設(shè)計與性能分析

同上一章，引入變量 q?σ,k,q?σ,k，利用時變機器人系統(tǒng)的性質(zhì)6，建立修正誤差變量的動態(tài)方程：

給出如下控制器：

其中，p?k和 θ?k分別是對 p 和 θ 的估計，p?k和 θ?k的更新律由如下式子給出：

定理2對于在任意初態(tài)情形下的時變機器人系統(tǒng)（3），采用力矩輸入（37）以及參數(shù)更新律（38）、（39），可以保證：

其中，Q,Γ1和Γ2是對角正定矩陣。sat為飽和函數(shù)，本文sat(?)定義為，對于a∈R：

（2）有界性證明。首先對L0(t)求導(dǎo)：

由 θ 和 θˉ-1的有界性可知是有界的，類似于定理1的有界性證明過程，可是有界的，進(jìn)而可得上是都是有界的。由式（37），可知τk(t)在[ ]0,T上是有界的，因此閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號都是有界的。進(jìn)一步可得上一致收斂于零。由前面的分析可知，上一致收斂于零。

6 仿真算例

例1考慮如下三自由度的機械臂系統(tǒng)[31]，其模型為：

其中，D(q)=[Dij],C(q,q?)=[Cij],g(q)=[gi]，具體各值具體各值可參考文獻(xiàn)[31]，q1,q2,q3分別表示各關(guān)節(jié)的位置，q?1,q?2,q?3分別表示各關(guān)節(jié)的速度，l1,l2,l3分別是各關(guān)節(jié)長度，m1,m2,m3分別是各關(guān)節(jié)的重量，i1,i2和i3是三個和慣性有關(guān)的定常參數(shù)，g表示重力加速度。對機械臂系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)化，有p=[m1,m2,m3,i1,i2,i3]T，Yp是相應(yīng)的相容矩陣，給定如下：

采用式（13）所示的初始修正作用，其中，ζ(t)選取為式（15）的形式，其中參數(shù)取值為：T=2 s,Δ=0.3 s,d=0.2 s,t1=1 s,c=2。

采用力矩輸入式（24）以及參數(shù)更新律式（25）。參數(shù)取值為Q=diag[8 , 6,6]，Γ=diag[17]。其他數(shù)值取為：

仿真結(jié)果由圖2～圖9所示。由圖2～圖5可看出，在非零初始誤差下，引入初始修正作用，設(shè)計的迭代學(xué)習(xí)控制器，經(jīng)過足夠多次迭代，可實現(xiàn)關(guān)節(jié)的位置和速度軌跡在時間區(qū)間[0 . 3,2]上完全跟蹤上相應(yīng)的期望軌跡。圖6給出了在k=10時的關(guān)節(jié)力矩輸入。圖7表示關(guān)節(jié)1的兩個性能指標(biāo)隨迭代次數(shù)的變化情況，其定義為：分別表示在[Δ ,T ]上關(guān)節(jié)1的位置和速度誤差絕對值的最大值。圖8表示關(guān)節(jié)2的兩個性能指標(biāo)隨迭代次數(shù)的變化情況，定義為：分別表示在 [Δ ,T ]上關(guān)節(jié)2的位置和速度誤差絕對值的最大值。圖9表示關(guān)節(jié)3的兩個性能指標(biāo)隨迭代次數(shù)的變化情況，定義為分別表示在[Δ ,T]上關(guān)節(jié)3的位置和速度誤差絕對值的最大值。

例2考慮二自由度的剛性機械臂系統(tǒng)[27]，假設(shè)機械臂的載荷是時變的，其系統(tǒng)模型為：

圖2 當(dāng)k=0時，系統(tǒng)位置q和期望軌跡qd

圖3 當(dāng)k=0時，系統(tǒng)速度q?和期望軌跡q?d

圖4 當(dāng)k=10時，系統(tǒng)位置q和期望軌跡qd

圖5 當(dāng)k=10時，系統(tǒng)速度q?和期望軌跡q?d

圖6 當(dāng)k=10時，力矩輸入τ

圖7 指標(biāo)Jp1,k和Jv1,k

圖8 指標(biāo)Jp2,k和Jv2,k

圖9 指標(biāo)Jp3,k和Jv3,k

期望軌跡設(shè)計同例1。采用式（13）所示的初始修正作用，其中，ζ(t)選取為式（15）的形式，其中參數(shù)取值為：T=2 s,Δ=0.3 s,d=0.2 s,c=2。采用力矩輸入式（37）和參數(shù)更新律式（38）、（39）。參數(shù)取值為Q=diag[2 0,10]，其他數(shù)值取為：

由圖10和圖11分別表示k=0時，機械臂關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的位置和速度軌跡。迭代20次后，仿真結(jié)果由圖12～16所示。由圖12和圖13可看出，經(jīng)過足夠多次迭代，關(guān)節(jié)的位置和速度軌跡在時間區(qū)間[ ]0.3,2上完全跟蹤上相應(yīng)的期望軌跡。關(guān)節(jié)力矩輸入在第20次迭代期間的取值情況見圖14。圖15表示關(guān)節(jié)1的兩個性能指標(biāo)Jp1,k和Jv1,k隨迭代次數(shù)的變化情況。圖16表示關(guān)節(jié)2的兩個性能指標(biāo)Jp2,k和Jv2,k隨迭代次數(shù)的變化情況。指標(biāo)Jp1,k、Jv1,k、Jp2,k和Jv2,k的定義同例1。

圖10 當(dāng)k=0時，系統(tǒng)位置q和期望軌跡qd

圖11 當(dāng)k=0時，系統(tǒng)速度q?和期望軌跡q?d

圖12 當(dāng)k=20時，系統(tǒng)位置q和期望軌跡qd

圖13 當(dāng)k=20時，系統(tǒng)速度q?和期望軌跡q?d

圖14 力矩輸入τ

圖15 指標(biāo)Jp1,k和Jv1,k

圖16 指標(biāo)Jp2,k和Jv2,k

7 結(jié)束語

本文提出定常/時變機器人系統(tǒng)的有限時間迭代學(xué)習(xí)控制方法，解決在任意初態(tài)下的完全跟蹤問題。通過構(gòu)造修正誤差變量，利用Lyapunov-like方法，分別設(shè)計迭代學(xué)習(xí)控制器處理系統(tǒng)中的不確定性，經(jīng)過足夠多次迭代后，修正誤差變量在整個作業(yè)區(qū)間上一致收斂于零。借助初始修正作用，實現(xiàn)跟蹤誤差在預(yù)先指定區(qū)間上的完全跟蹤。最后的仿真實驗驗證了這種學(xué)習(xí)控制方法的有效性。