王開強(qiáng) 張柏楠

（中國(guó)空間技術(shù)研究院載人航天總體部，北京 100094）

0 引言

隨著超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的發(fā)展，高超聲速巡航飛行器逐漸進(jìn)入科研人員的研究視線。其推進(jìn)效率相比于傳統(tǒng)火箭得到大幅提高，可在20km 以上的高度進(jìn)行馬赫數(shù)大于5 的高超聲速巡航飛行，隨后返回地面的預(yù)定機(jī)場(chǎng)水平著陸，在未來(lái)的空基發(fā)射入軌領(lǐng)域具有很好的發(fā)展前景。目前，僅有美國(guó)X-43 高超聲速試驗(yàn)飛行器實(shí)現(xiàn)了10s時(shí)間量級(jí)、馬赫數(shù)大于7 的穩(wěn)態(tài)巡航飛行[1]。對(duì)于可返回高超聲速巡航飛行器，其飛行階段較多，且各階段均包含了眾多不同類型的約束條件。因此其飛行軌跡設(shè)計(jì)較為復(fù)雜，需要借助優(yōu)化的方法手段。

目前，國(guó)內(nèi)外已開展了一些關(guān)于巡航軌跡優(yōu)化的研究。文獻(xiàn)[2-3]采用差分進(jìn)化算法和MATLAB 優(yōu)化工具箱等，對(duì)高超聲速乘波體飛行器在周期性巡航和穩(wěn)態(tài)巡航2 種模式下的軌跡優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[4-5]基于航空交通管制規(guī)則，采用分支定界法對(duì)民航飛機(jī)的巡航程序和軌跡進(jìn)行了優(yōu)化。文獻(xiàn)[6]基于EUROCONTROL’S 軟件的模型和優(yōu)化算法，考慮風(fēng)的影響，得到了不同巡航高度下飛行時(shí)間和耗油量最優(yōu)的軌跡；文獻(xiàn)[7]采用模式搜索的確定性算法對(duì)巡航軌跡進(jìn)行了優(yōu)化，以改善民航飛行管理；文獻(xiàn)[8]同樣應(yīng)用確定性優(yōu)化算法，對(duì)定高巡航飛行軌跡優(yōu)化算法進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[9-13]僅針對(duì)高超聲速周期性巡航軌跡進(jìn)行了優(yōu)化研究；文獻(xiàn)[14]采用遺傳算法對(duì)平流層飛艇的巡航機(jī)動(dòng)航跡進(jìn)行了優(yōu)化。目前已有的這些研究大多僅僅針對(duì)巡航段，采用不同的直接法、間接法，配合不同的優(yōu)化算法，進(jìn)行軌跡設(shè)計(jì)優(yōu)化。

關(guān)于高超聲速巡航飛行器全軌跡優(yōu)化方面，目前的研究較少。僅有文獻(xiàn)[15]將其飛行軌跡分為助推段、上升段、巡航段、俯沖段4個(gè)階段進(jìn)行優(yōu)化，其中巡航段事先人為確定了一個(gè)固定的巡航高度、馬赫數(shù)等，以便于進(jìn)行其它飛行階段的優(yōu)化。軌跡多目標(biāo)優(yōu)化方面，國(guó)內(nèi)已有一些關(guān)于高超聲速再入飛行器的相關(guān)研究[16-18]，尚無(wú)針對(duì)高超聲速巡航飛行器的軌跡多目標(biāo)優(yōu)化研究。實(shí)際上，可返回的高超聲速巡航飛行器相比于再入飛行器，其飛行階段劃分更多，各階段可能存在獨(dú)特的優(yōu)化目標(biāo)，并且各階段之間可能存在一定的先后順序和耦合關(guān)聯(lián)，因此有必要對(duì)該類飛行器的全飛行軌跡開展分步與多目標(biāo)優(yōu)化研究。

本文面向空基發(fā)射入軌任務(wù)，對(duì)配置超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的可返回地面預(yù)定機(jī)場(chǎng)的高超聲速巡航飛行器全軌跡分步與多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行研究。首先，對(duì)本文使用的飛行動(dòng)力學(xué)模型、飛行器模型和地球物理模型進(jìn)行介紹。其次，對(duì)整個(gè)全軌跡分步多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行描述，對(duì)軌跡分步多目標(biāo)優(yōu)化的策略步驟、優(yōu)化算法、優(yōu)化建模等內(nèi)容進(jìn)行說(shuō)明。然后，對(duì)剩余段軌跡多目標(biāo)優(yōu)化中采用的第三代直接搜索域（Directed Search Domain-III，DSD-III）的經(jīng)典多目標(biāo)優(yōu)化算法進(jìn)行簡(jiǎn)要描述。最后給出優(yōu)化算例和仿真結(jié)果，并基于得到的多目標(biāo)優(yōu)化解集在設(shè)計(jì)空間中的分布特性，進(jìn)一步分析設(shè)計(jì)解選擇決策的建議，為實(shí)際工程設(shè)計(jì)提供參考。

1 飛行動(dòng)力學(xué)模型及方法

1.1 動(dòng)力學(xué)方程

本文采用經(jīng)度—緯度—高度3個(gè)變量描述飛行器質(zhì)心在三維空間中運(yùn)動(dòng)的位置信息，采用的動(dòng)力學(xué)方程如下（其中考慮了地球扁率，以及地球自轉(zhuǎn)引起的牽連加速度和科氏慣性加速度）

式中t為飛行時(shí)間；v、γ、Az、m、h、λ、δ分別為飛行速度、航跡傾斜角、速度方位角（也稱航向角）、飛行器質(zhì)量、高度、經(jīng)度和緯度，這7個(gè)變量構(gòu)成了本文飛行器飛行軌跡的狀態(tài)變量；F為發(fā)動(dòng)機(jī)推力；m˙為發(fā)動(dòng)機(jī)質(zhì)量流量；α為飛行攻角；g為地球重力加速度；ωe=7.292×10–5rad/s 為地球自轉(zhuǎn)角速度；re為地球半徑；D、L分別為飛行過(guò)程中受到的氣動(dòng)阻力和升力，可由公式計(jì)算得到

式中Ar是飛行器的參考面積；CD、CL分別為阻力系數(shù)、升力系數(shù)，一般由馬赫數(shù)、飛行攻角計(jì)算得到，或在各系數(shù)隨馬赫數(shù)和攻角的二維插值表中進(jìn)行線性插值得到；q為動(dòng)壓為大氣密度）。

1.2 發(fā)動(dòng)機(jī)模型

本文飛行器在助推爬升段和巡航飛行段分別使用固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)、超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行飛行。對(duì)于固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)，為便于分析計(jì)算，假設(shè)其推力和比沖均為一恒定值，因此有

式中ve為發(fā)動(dòng)機(jī)比沖，單位為m/s。

對(duì)于超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)，本文根據(jù)桑格爾的發(fā)動(dòng)機(jī)數(shù)據(jù)表[19]，通過(guò)線性插值得到推力和質(zhì)量流量。其中，插值變量為馬赫數(shù)Ma、高度h、攻角α。

1.3 質(zhì)量模型

飛行器包含固體火箭助推器（包含過(guò)渡段）和巡航飛行器本體2 部分，整個(gè)組合體在發(fā)射時(shí)刻的初始質(zhì)量m0如下

式中m1d、m1p分別為助推器干質(zhì)量和推進(jìn)劑質(zhì)量，m2d、m2p分別為飛行器本體干質(zhì)量和燃料質(zhì)量。

當(dāng)固體助推器結(jié)束工作轉(zhuǎn)入無(wú)動(dòng)力滑行段時(shí)，固體助推器被拋離，此時(shí)無(wú)動(dòng)力滑行段初始時(shí)刻飛行器的質(zhì)量m02為

1.4 地球物理模型

本文采用J2引力模型描述重力加速度和地球半徑

式中μe=398600km3/s2為地球引力常數(shù)；J2=1.08264×10–3為J2引力常數(shù)；ra=6378.135km 和rb=6356.912km分別為地球赤道半徑和極半徑。

大氣模型采用美國(guó)SA76 模型，其根據(jù)飛行高度計(jì)算得到大氣密度ρ和大氣溫度T，此時(shí)一定高度上的聲速vs可由公式（7）[15]計(jì)算

2 軌跡分步多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題

2.1 飛行剖面

本文中飛行任務(wù)剖面與美國(guó)X43 的飛行過(guò)程類似，不同的是本文中的高超聲速巡航飛行器需安全返回至地面預(yù)定的機(jī)場(chǎng)著陸。整個(gè)飛行剖面主要分為以下5個(gè)階段，如圖1 所示。

圖1 飛行剖面Fig.1 Flight profile

1）爬升段：整個(gè)固體火箭助推器與飛行器的組合體由載機(jī)運(yùn)送至高空進(jìn)行空中發(fā)射，然后在固體助推器的作用下進(jìn)行爬升，直至推進(jìn)劑燃盡后關(guān)機(jī)，并與飛行器本體分離。

2）無(wú)動(dòng)力滑行段：飛行器本體與助推器分離后，進(jìn)行無(wú)動(dòng)力滑行至規(guī)定的巡航高度和馬赫數(shù)。

3）巡航段：飛行器的超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火，進(jìn)行定高定速的穩(wěn)態(tài)巡航飛行，直至燃料燃盡后關(guān)機(jī)，巡航段結(jié)束。

4）返回段：飛行器向預(yù)定的著陸機(jī)場(chǎng)進(jìn)行無(wú)動(dòng)力的返回飛行，并達(dá)到規(guī)定的進(jìn)場(chǎng)著陸入口飛行狀態(tài)。

5）進(jìn)場(chǎng)著陸段：飛行器瞄準(zhǔn)著陸機(jī)場(chǎng)，通過(guò)變換下降飛行的軌跡策略，逐步降低高度和速度，并調(diào)整航跡傾斜角，直至在機(jī)場(chǎng)著陸。

本文軌跡優(yōu)化中，將爬升段和無(wú)動(dòng)力滑行段合并為爬升滑行段進(jìn)行優(yōu)化。此外，進(jìn)場(chǎng)著陸段的飛行軌跡設(shè)計(jì)方法較為特殊，與前面各飛行階段完全不同，不屬于本文研究的范疇，因此本文的軌跡優(yōu)化僅包含爬升滑行段、巡航段和返回段。

2.2 軌跡分步多目標(biāo)優(yōu)化

本文將整個(gè)軌跡優(yōu)化分為第一步巡航段優(yōu)化和第二步剩余段優(yōu)化兩步依次進(jìn)行，各段有其對(duì)應(yīng)的優(yōu)化目標(biāo)。主要有以下兩方面考慮：

1）從飛行任務(wù)層面，空基發(fā)射入軌任務(wù)中，巡航段是最主要的飛行階段，入軌飛行器的空基投放就是在該段完成。因此，巡航軌跡與飛行主任務(wù)直接相關(guān)，應(yīng)首先予以優(yōu)化確定。

2）從軌跡優(yōu)化步驟層面，剩余飛行段的軌跡優(yōu)化須基于巡航飛行狀態(tài)進(jìn)行。其中爬升滑行段需要初始巡航飛行狀態(tài)作為其軌跡優(yōu)化的終端狀態(tài)約束，從而在該段結(jié)束時(shí)順利轉(zhuǎn)入高超聲速巡航飛行；而返回段的軌跡優(yōu)化則需要以巡航段結(jié)束時(shí)刻的飛行狀態(tài)作為狀態(tài)變量的初始值。因此，巡航飛行狀態(tài)也是其它飛行段軌跡優(yōu)化的前提基礎(chǔ)。

整個(gè)軌跡分步多目標(biāo)優(yōu)化的流程如圖2 所示。首先對(duì)巡航段飛行軌跡進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化，得到最優(yōu)巡航初始飛行狀態(tài)參數(shù)。然后基于此進(jìn)行剩余段的軌跡多目標(biāo)優(yōu)化，其首先根據(jù)最優(yōu)初始巡航狀態(tài)進(jìn)行爬升滑行段的軌跡優(yōu)化；然后進(jìn)行巡航段飛行仿真，得到巡航段結(jié)束時(shí)刻的飛行狀態(tài)參數(shù)；最后基于此進(jìn)行返回段的軌跡優(yōu)化，最終得到整個(gè)飛行軌跡。

圖2 分步軌跡優(yōu)化流程Fig.2 Procedure of multistep trajectory optimization

優(yōu)化算法方面，第一步巡航段軌跡單目標(biāo)優(yōu)化采用序列二次規(guī)劃算法（Sequential Quadratic Programming，SQP）；第二步剩余段則采用經(jīng)典多目標(biāo)優(yōu)化方法中的第三代直接搜索域法DSD-III[20-21]。

2.3 各段優(yōu)化目標(biāo)討論

（1）巡航段優(yōu)化目標(biāo)

巡航段的優(yōu)化目標(biāo)對(duì)應(yīng)于飛行任務(wù)級(jí)目標(biāo)。在本文針對(duì)的空基發(fā)射入軌任務(wù)中，為入軌飛行器提供更多的初始機(jī)械能是其追求的目標(biāo)。

（2）剩余段優(yōu)化目標(biāo)

剩余段軌跡優(yōu)化的目標(biāo)是減小爬升滑行段和返回段的飛行難度，在保證達(dá)到規(guī)定巡航飛行狀態(tài)要求的前提下，減小整個(gè)飛行任務(wù)執(zhí)行的難度。本文主要從駐點(diǎn)峰值熱流密度和軌跡振蕩程度兩方面評(píng)價(jià)飛行難度，并作為優(yōu)化目標(biāo)考慮：

1）駐點(diǎn)峰值熱流密度最?。簽榱藴p小高超聲速巡航時(shí)的阻力，巡航飛行器的外形非常扁平，因而其前緣駐點(diǎn)處的半徑很小，此時(shí)飛行過(guò)程中的駐點(diǎn)熱流密度較大。根據(jù)X43 飛行器的相關(guān)數(shù)據(jù)[22]，其在30km以馬赫數(shù)7 和2°攻角進(jìn)行巡航時(shí)的駐點(diǎn)熱流約為6.2MW/m2。因此，本文研究的這一類巡航飛行器中，駐點(diǎn)峰值熱流問(wèn)題較為突出，應(yīng)予以優(yōu)化減小，從而減輕對(duì)結(jié)構(gòu)熱防護(hù)的設(shè)計(jì)壓力。

2）軌跡振蕩最小：爬升滑行段和返回段的飛行可能出現(xiàn)一定的軌跡振蕩，頻繁、大幅的軌跡振蕩對(duì)飛行控制不利。尤其在返回段，軌跡振蕩可能影響轉(zhuǎn)進(jìn)場(chǎng)著陸段時(shí)的飛行狀態(tài)，進(jìn)而對(duì)最終的著陸過(guò)程產(chǎn)生不利影響。因此，以軌跡振蕩最小為優(yōu)化目標(biāo)，有助于降低整個(gè)任務(wù)的飛行難度。

考慮到上述兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)存在此消彼長(zhǎng)的制約關(guān)系，本文采用多目標(biāo)優(yōu)化方法求解剩余段軌跡優(yōu)化問(wèn)題，以期得到多目標(biāo)優(yōu)化解集（Pareto 非劣解集）。

2.4 巡航段軌跡優(yōu)化模型

巡航段優(yōu)化目標(biāo)為

式中vcr和hcr分別為巡航速度和高度。該目標(biāo)可以在空基發(fā)射入軌任務(wù)中為入軌飛行器提供更多的初始機(jī)械能。

巡航段設(shè)計(jì)變量為：1）巡航初始時(shí)刻的高度h0cr；2）巡航初始時(shí)刻的馬赫數(shù)Ma0cr；3）巡航期間的飛行攻角αcr。在定高定速的穩(wěn)態(tài)巡航模式中，巡航高度和馬赫數(shù)基本不變。因此由上述3個(gè)設(shè)計(jì)變量即可確定巡航段的飛行狀態(tài)。三者的取值范圍須處于超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的工作窗口內(nèi)。本文參考“桑格爾”沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)[19]的窗口參數(shù)給出取值范圍如表1 所示。

表1 設(shè)計(jì)變量取值范圍Tab.1 Ranges of the design variables

巡航段約束條件為：

1）根據(jù)穩(wěn)態(tài)巡航的推阻平衡和升質(zhì)量平衡條件，得巡航期間飛行馬赫數(shù)、航跡傾斜角的理論變化量應(yīng)為零，但在實(shí)際飛行中很難保證上述變化量絕對(duì)為零，需要給定一個(gè)很小的容許變化范圍，本文對(duì)最大、最小巡航馬赫數(shù)和以及巡航期間最大航跡傾斜角最小航跡傾斜角作如下限定：

2）動(dòng)壓約束，實(shí)際飛行動(dòng)壓q應(yīng)小于動(dòng)壓約束上邊界

3）駐點(diǎn)峰值熱流約束，駐點(diǎn)熱流Qs的最大值即駐點(diǎn)峰值熱流Qsm應(yīng)小于上邊界

2.5 剩余段軌跡優(yōu)化模型

剩余段軌跡優(yōu)化為二維多目標(biāo)優(yōu)化

Δγsum為軌跡振蕩總量，用航跡傾斜角的全程累積變化量表示

式中tf為全軌跡的總飛行時(shí)間。

剩余段軌跡優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量為：

1）爬升滑行段飛行攻角αcg，取值范圍為–10°≤αcg≤25°；

2）返回段飛行攻角αrt，取值范圍為0°≤αrt≤5°。

剩余段軌跡優(yōu)化的約束條件為：

1）動(dòng)壓約束：q≤qub；

2）過(guò)載約束：實(shí)際過(guò)載nload應(yīng)小于許用過(guò)載上限

4）爬升滑行段終端飛行狀態(tài)約束。爬升滑行段結(jié)束時(shí)，其高度hfcg和馬赫數(shù)Mafcg必須與第一步優(yōu)化得到的巡航段入口高度h0cr和馬赫數(shù)Ma0cr相等，且此時(shí)航跡傾斜角γfcg應(yīng)基本為0，這里同樣設(shè)置一個(gè)很小的容許范圍0.1°，則有以下約束：

5）進(jìn)場(chǎng)著陸初始飛行狀態(tài)約束。本文飛行器最終在地面航程已定的指定機(jī)場(chǎng)著陸，因此返回段結(jié)束時(shí)須滿足一定的關(guān)于高度、速度、航跡傾斜角和航程的進(jìn)場(chǎng)著陸條件

式中hfr為飛行高度f(wàn)h的要求值；和分別為飛行速度vf的上、下邊界；和分別為航跡傾斜角γf的上、下邊界；和則分別限定了航程xf的上、下邊界。

3 多目標(biāo)優(yōu)化方法

一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題可由以下形式表達(dá)：

式中x是設(shè)計(jì)變量；f(x)為多目標(biāo)函數(shù)向量；fi(i=1, 2, …,n)為第i個(gè)目標(biāo)函數(shù)；n為目標(biāo)函數(shù)數(shù)量；D*是可行設(shè)計(jì)空間。各目標(biāo)函數(shù)構(gòu)成了目標(biāo)空間。滿足約束條件的目標(biāo)空間稱為可行目標(biāo)空間，記為Y*。

多目標(biāo)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)中，任意兩個(gè)目標(biāo)之間都是此消彼長(zhǎng)的制約關(guān)系，因此其解不唯一。Pareto 優(yōu)化解，也稱多目標(biāo)優(yōu)化非劣解，其對(duì)應(yīng)的所有n個(gè)目標(biāo)函數(shù)取值不可能同時(shí)小于任何其它優(yōu)化解對(duì)應(yīng)的相應(yīng)目標(biāo)函數(shù)值。否則，該解為劣解，不屬于Pareto 優(yōu)化解。

本文采用第三代直接搜索域DSD-III 的經(jīng)典多目標(biāo)優(yōu)化方法。其基于錨點(diǎn)進(jìn)行多目標(biāo)尋優(yōu)。每個(gè)錨點(diǎn)對(duì)應(yīng)于一個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的單目標(biāo)最優(yōu)解，因此n個(gè)目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)n個(gè)錨點(diǎn)。例如，在圖3 所示的二維多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題中，f1和f2為兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)，因而總共存在兩個(gè)錨點(diǎn)。其中，左上方的錨點(diǎn)對(duì)應(yīng)于目標(biāo)f1最優(yōu)（最?。r(shí)的單目標(biāo)優(yōu)化解，而右下方的錨點(diǎn)則對(duì)應(yīng)于目標(biāo)f2最優(yōu)時(shí)的單目標(biāo)優(yōu)化解。過(guò)所有錨點(diǎn)可構(gòu)建一個(gè)目標(biāo)空間，稱為理想超平面。在圖3 中，該超平面實(shí)際為經(jīng)過(guò)兩個(gè)錨點(diǎn)的直線（圖3 中的虛線）。圖中左下方黑色曲線段為Pareto 前緣，其中的點(diǎn)構(gòu)成了Pareto 前緣點(diǎn)集。

圖3 多目標(biāo)優(yōu)化的基本定義Fig.3 Basic definitions of MOO

DSD-III 可以較為高效的求得多目標(biāo)優(yōu)化Pareto 前緣點(diǎn)集，且該點(diǎn)集能較為全面和均勻的覆蓋Pareto前緣。Pareto 點(diǎn)集的分布均勻性，能夠以有限的點(diǎn)表征優(yōu)化目標(biāo)之間的量化制約變化信息，為進(jìn)一步對(duì)優(yōu)化解的選擇和決策提供支持。有關(guān)該方法的詳細(xì)描述可參閱原始文獻(xiàn)[21]。

4 算例及優(yōu)化結(jié)果

4.1 算例描述

算例中的助推器及巡航飛行器各部分質(zhì)量如表2 所示。巡航飛行器由載機(jī)進(jìn)行空基投放發(fā)射，投放高度為12km，投放初速度為236m/s，初始航跡傾斜角為5°。其中，固體火箭助推器總推力為240kN，比沖為2893m/s。

表2 助推器及巡航飛行器質(zhì)量Tab.2 Mass of booster and the cruise vehicle單位：kg

約束條件方面，動(dòng)壓約束設(shè)置為不超過(guò)qub=130kPa，過(guò)載不超過(guò)5，駐點(diǎn)峰值熱流小于5MW/m2，進(jìn)場(chǎng)著陸初始狀態(tài)約束參考航天飛機(jī)[23]設(shè)置如下：

4.2 優(yōu)化結(jié)果

本文采用MATLAB R2016a 軟件進(jìn)行整個(gè)優(yōu)化過(guò)程的仿真計(jì)算。其中采用了fmincon 優(yōu)化器，選用SQP 算法作為底層的單目標(biāo)優(yōu)化算法。

（1）第一步優(yōu)化結(jié)果

第一步巡航段單目標(biāo)最優(yōu)軌跡如表3 所示，飛行器巡航期間高度和馬赫數(shù)基本不變，滿足穩(wěn)態(tài)巡航的狀態(tài)要求。

表3 巡航段優(yōu)化解Tab.3 The cruise optimal solution

（2）第二步優(yōu)化結(jié)果

基于上述巡航飛行狀態(tài)，得到的剩余段軌跡二維多目標(biāo)優(yōu)化Pareto 前緣點(diǎn)集如圖4 所示。其中，所有點(diǎn)均為有效點(diǎn)，未得到冗余的優(yōu)化點(diǎn)。同時(shí)，該前緣點(diǎn)集較為均勻的勾勒出了該多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的Pareto 前緣，其變化趨勢(shì)具有較強(qiáng)的非線性。分析該P(yáng)areto 點(diǎn)集的分布可知，在圖中左側(cè)駐點(diǎn)峰值熱流Qsm較小的區(qū)域中，隨著航跡傾斜角全程累積變化量Δγsum的大幅降低，Qsm的增加量很小。而隨著Qsm的增加，航跡傾斜角累積變化量的降低幅度逐漸減小。在圖4 中的右側(cè)，當(dāng)Qsm＞4.35MW/m2時(shí)，降低Δγsum需要付出的熱流代價(jià)較高。因此在設(shè)計(jì)解的選擇和決策時(shí)，建議在Pareto 前緣點(diǎn)集分布圖中相對(duì)靠左的區(qū)域（Qsm＜4.35MW/m2）選擇設(shè)計(jì)解，避免熱流代價(jià)很高的設(shè)計(jì)解區(qū)域。最終的設(shè)計(jì)解，還需進(jìn)一步結(jié)合防熱技術(shù)發(fā)展現(xiàn)狀和實(shí)際工程具體設(shè)計(jì)需求進(jìn)行分析確定。

圖4 剩余段軌跡優(yōu)化Pareto 前緣點(diǎn)集Fig.4 Pareto frontier set of rest trajectory optimization

圖4 中位于最左上方的Pareto 點(diǎn)對(duì)應(yīng)于駐點(diǎn)峰值熱流Qsm最小的單目標(biāo)優(yōu)化解，最右下方的Pareto 點(diǎn)則對(duì)應(yīng)于軌跡振蕩程度Δγsum最小的單目標(biāo)優(yōu)化解。兩者的對(duì)比如圖5 所示，主要軌跡參數(shù)如表4 所示。

圖5 兩個(gè)軌跡優(yōu)化解對(duì)比Fig.5 Comparison of the two optimal trajectories

表4 軌跡參數(shù)Tab.4 Trajectory parameters

由表4 所示數(shù)據(jù)可得，所有約束條件均滿足，且剩余段軌跡多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果體現(xiàn)了兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的最優(yōu)性以及兩者之間量化制約變化關(guān)系。其中，將Qsm最優(yōu)解和Δγsum最優(yōu)解進(jìn)行相互對(duì)比可知，兩者分別將各自的優(yōu)化目標(biāo)Qsm和Δγsum相對(duì)削減了8.6%和35.7%。

此外，結(jié)合圖5 的飛行攻角曲線可以看出，在兩條最優(yōu)軌跡中，作為設(shè)計(jì)變量的爬升滑行段（100s以前）飛行攻角存在明顯的不同；而返回段（120s 以后）的飛行攻角在初期較為近似，350s 后逐漸顯現(xiàn)出差異。因此，兩條軌跡的設(shè)計(jì)變量對(duì)于優(yōu)化目標(biāo)尋優(yōu)的期望值差異主要集中在爬升滑行段和返回段中期以后的飛行過(guò)程。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文面向空基發(fā)射入軌任務(wù)，對(duì)配置超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的可返回高超聲速巡航飛行器的軌跡多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了構(gòu)建、分析和求解，該飛行器須在巡航結(jié)束之后減速返回地面預(yù)定機(jī)場(chǎng)水平著陸。首先將高超聲速巡航飛行器的軌跡設(shè)計(jì)劃分為巡航段軌跡單目標(biāo)優(yōu)化和剩余段軌跡多目標(biāo)優(yōu)化兩步先后進(jìn)行，其次對(duì)各段飛行軌跡優(yōu)化模型進(jìn)行了定義，最后應(yīng)用SQP 優(yōu)化算法和DSD-III 多目標(biāo)方法對(duì)整個(gè)軌跡優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了求解。

研究結(jié)果表明，針對(duì)高超聲速巡航飛行器，采用分步進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化的策略，可以協(xié)調(diào)處理其不同階段飛行軌跡之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系和各飛行階段的不同優(yōu)化需求，并將整個(gè)軌跡設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為具體模型化表達(dá)的優(yōu)化問(wèn)題。通過(guò)采用相應(yīng)的優(yōu)化算法，求解各段飛行軌跡優(yōu)化問(wèn)題，最終綜合形成完整的飛行軌跡優(yōu)化解。優(yōu)化方法層面，在剩余段軌跡多目標(biāo)優(yōu)化中，采用DSD-III 方法優(yōu)化得到的Pareto 前緣點(diǎn)集無(wú)冗余優(yōu)化點(diǎn)，且較為均勻的描繪出了多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的非線性Pareto 前緣；兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)均取得了不同幅度的優(yōu)化效果，所有約束條件均滿足要求，可有效求解該軌跡多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。本文的研究成果可為類似的實(shí)際工程優(yōu)化設(shè)計(jì)提供一種從問(wèn)題構(gòu)建、到采用相關(guān)優(yōu)化算法進(jìn)行求解、再到根據(jù)多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行制約權(quán)衡設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)思路和參考范式。