趙金麗

(浙江省杭州市余杭中學(xué)，311120)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出，要注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在課堂上滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，讓學(xué)生不斷體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，從而培養(yǎng)新時(shí)代學(xué)生的自我學(xué)習(xí)研究能力和創(chuàng)新活力是重中之重.

課堂形式是多樣的，一般來(lái)講，可大致分為新授課、綜合應(yīng)用課和試卷評(píng)價(jià)課.而在試卷評(píng)價(jià)教學(xué)中，可以選擇一個(gè)題目或一類題型展開變式教學(xué).本文以浙江省2017年高考題為載體，探索研究變式教學(xué)的方法.

一、原題呈現(xiàn)

2017年浙江省高考數(shù)學(xué)簡(jiǎn)答題的第2題，使得很多學(xué)生在該題上思維受阻，原因是用向量法建系時(shí)很難讓所有坐標(biāo)軸落在四棱錐的邊上，以常規(guī)方法建系時(shí)四棱錐的頂點(diǎn)不能在z軸上，而用幾何法找角時(shí)又不能直接通過(guò)斜線上的一點(diǎn)去作該面的垂線，因此有一定的難度.原題呈現(xiàn)如下：

如圖1，已知四棱錐P-ABCD，?PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點(diǎn).

(1)證明：CE∥平面PAB；

(2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.

分析第(1)問(wèn)可運(yùn)用幾何法，即用線面平行的判定理.第(2)問(wèn)給出兩種方法解決，運(yùn)用向量法和幾何法找到線面角求值，關(guān)鍵就是找線面垂直，而這種垂直往往會(huì)利用面面垂直的性質(zhì)定理.

解析(1)證明：取AP的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，F(xiàn)B，如圖2所示.由于EFBC,所以四邊形EFBC是平行四邊形，則CE∥BF.又因?yàn)镃E?平面PAB，BF?平面PAB，由線面平行的判定定理，可知CE∥平面PAB.

(2)方法1(幾何法)

所以CE2=CD2+ED2-2CD·EDcos∠PDC

方法2(向量法)

二、變式訓(xùn)練

變式1如圖5，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BC=CD=1，AD∥BC，E是PD的中點(diǎn).

(1)證明：CE∥平面PAB；

(2)若∠DAB=60°，求BE與平面PBC所成角的正弦值.

解題指導(dǎo)(1)證明線面平行，一般通過(guò)線面平行的判定定理或者面面平行的定義得到，因此可以從這兩個(gè)方面入手.本題可以在平面PAB中找一條與CE平行的直線，通過(guò)線面平行的判定定理得到.(2)求線面角可以通過(guò)幾何法找到線面角求出，或者通過(guò)等體積法求出高，再求出線面角，也可以通過(guò)建系，用向量法，最后代入線面角的公式求出.

解題過(guò)程略.

變式2如圖6，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BC=CD=1，AD∥BC.

(1)若E是PD的中點(diǎn)，證明：CE∥平面PAB；

解析(1)證明：在AP上取中點(diǎn)F，連結(jié)EF，BF，則EFBC,所以四邊形EFBC是平行四邊形，所以CE∥BF.又因?yàn)锽F?平面PAB,CE?平面PAB，所以CE∥平面PAB.

(2)方法1(空間向量法)

方法2(等體積法)

如圖8，過(guò)點(diǎn)B作BH垂直平面PCD，連結(jié)EH，則∠BEH即為直線BE與平面PCD所成角.

在立體幾何題上采用一題多解，由根生葉，并設(shè)置開放性問(wèn)題，把學(xué)生帶入立體幾何的海洋中遨游，可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，同時(shí)也有助于六大核心素養(yǎng)的滲透.